Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
трапеций, то, следовательно, определенный интеграл можно ис- |
|||
пользовать для вычисления площадей плоских фигур [2, 16]. |
|||
Если функция y = f (x) или плоская фигура ABCD находят- |
|||
ся выше оси 0х (см. рис 5.5 и рис. 5.6), то мы имеем |
и |
||
|
. |
|
|
y |
|
y f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
0 |
a |
b |
x |
|
|
Рис. 5.5 |
|
y |
|
y f1(x) |
|
|
|
|
|
D |
|
C |
|
|
|
||
|
|
S2 |
|
A |
y |
f2(x) |
|
|
|
B |
|
0 |
a |
b |
x |
|
|
Рис. 5.6 |
|
Если функция y = f (x) находится полностью или частично |
|||
под осью 0х (см. рис. 5.7 и рис. 5.8), то мы получаем: |
|||
.
176
y 
|
a |
|
b |
0 |
|
S |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y f(x) |
|
|
|
Рис. 5.7 |
|
y |
|
|
|
a |
|
y f(x) |
c |
0 |
b |
|
x |
S4
Рис. 5.8
Если функция x = w(y) или плоская фигура ABCD прилегают к оси 0y, то (см. рис. 5.9 и рис. 5.10)
y 
bS5
x
(y)
a
0 |
x |
Рис. 5.9
177
y 
B
b
2 2(y)
a
A
0
C
S6
1
1(y)
D
x
Рис. 5.10
Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующей схеме:
1)В соответствии с условиями задачи делают схематический чертеж.
2)Искомую площадь представляют как сумму и (или) разность площадей криволинейных трапеций.
) Находят пределы интегрирования.
4)Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и искомую площадь фигуры.
Теперь рассмотрим конкретные примеры вычисления площадей плоских фигур.
Пример 5.29.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: х =
=4 – у2 , х = 0.
Сначала по условиям задачи строим схематический чер-
теж (см. рис. 5.11).
x = 4 – у2 — парабола. Найдем ее вершину х = -2у. y = 0, х = = 4 (max) и точки пересечения с осью 0у. 4 – у2 = 0, у = 2, у = -2.
y1 = -2 и y2 = 2 являются пределами интегрирования. Теперь найдем искомую площадь. Так как парабола сим-
метрична относительно оси абсцисс, то можно записать.
178
2x
4 
2
0 |
4 |
x |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
Рис. 5.11
кв. ед.
Пример 5.30.
Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 – 6x + 8; y = 0
Построим схематический чертеж искомой фигуры (см.
рис. 5.12)
|
y |
|
|
x2 |
|
6x 8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
4 |
x |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.12
Кривая y = x2 – 6x + 8 есть парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее характерные точки.
y = 2x – 6; y = 0;
179
2x – 6 = 0;
x = , y = -1 (min); x2 – 6x + 8 = 0;
D = 6 – 4·1·8 = 4;
(пределы интегрирования).
Теперь находим искомую площадь (знак модуля ставится, так как фигура находится под осью 0х).
кв. ед.
Пример 5.31.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 6, x + y – 7 = 0.
Построим схематический чертеж (см. 5.1 ) и найдем пределы интегрирования:
(пределы интегрирования) Теперь находим искомую площадь
= 5 – 17,5 – 6ln6 = (17,5 – 6ln6) кв. ед.
180