Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
|
x |
( |
) |
d |
|
D |
|
|
|
|
|
c |
C |
|
|
0 |
|
|
x |
|
Рис. 5.17 |
|
|
Россиипринятрефенц-эллипсоидспараметрамиа = 6 78245 м, ). Его сечением, в плоскости х0z будет эллипс:
. (см. рис. 5.18).
Таким образом, эллипсоид образован вращением вокруг
оси 0х функции |
|
, ограниченной прямыми х = -а и |
|||||
х = а, и осью 0х. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
a |
x |
|
|
|
|
|||||
b
Рис. 5.18
186
Тогда по формуле (5.14) получаем:
5.5.Приближенноевычислениеопределенныхинтегралов
В тех случаях, когда подынтегральная функция имеет сложный вид и неясно как ее преобразовать к табличной или же первообразная подынтегральная функции не выражается через элементарные функции, применяют приближенные методы вычисления определенных интегралов.
Приведем несколько способов приближенного интегрирования, исходя из определения интеграла как предела суммы.
а) Формула прямоугольников.
Пусть на [a,b] задана непрерывная функция y = f (x). Надо вычислить . Отрезок [a, b] разделим точками а = х0, х1,
х2,…, хn-1, хn = b на n одинаковых частей длины Dх, где 
(см. рис. 5.19).
Значения функции y = f (x) в точках х0, х1, х2,…, хn-1, хn обозначим через у0, у1, у2,…, уn-1, уn.
Теперь составим две суммы:
S1 = y0 Dx + y1 Dx + y2 Dx +…+ yn-1 Dx, |
(5.16) |
где S1 есть суммарная площадь прямоугольников, лежащих ниже y = f (x);
187
y |
y =f(x) |
yn
yn-1
y2
y1
y0
0 |
|
|
|
|
|
|
a = x0 |
x1 |
x2 |
xn-1 xn= b |
x |
|
|
|
|
|
Рис. 5.19 |
|
|
|
S2 = y1 Dx + y2 Dx +…+ yn Dx, |
|
(5.17) |
||||
где S2 есть суммарная площадь прямоугольников, лежащих выше y = f (x).
Истинная площадь фигуры, ограниченная y = f (x), удов-
летворяет условию S1 < Sист < S2.
Поэтому можно записать приближенные равенства [1,16]:
(5.18)
(5.19)
Приближенные равенства (5.18) и (5.19) и есть формулы прямоугольников. Ошибка, которую мы совершаем при вычислении интегралов по формулам (5.18) и (5.19) будет тем меньше, чем больше n. Для того чтобы определить, сколько точек деления надо взять, чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, надо использовать формулу оценки погрешности, которая получается при приближенном вычислении интеграла. Для метода прямоугольников она имеет вид:
188
где 
[9].
Приведем конкретный пример.
Пример 5.34.
Используя метод прямоугольников, вычислим приближенно интеграл
, взяв n = 10.
Заметим, что этот интеграл относится к числу неберущихся, т. е. он не выражается в элементарных функциях.
Используем для расчета формулу (5.18).
Теперь по формуле (5.18) имеем:
б) Формула трапеций.
Более точное значение определенного интеграла, чем по (5.18) и (5.19), получим, заменив исходную функцию y = f (x) ломаной линией (см. рис. 5.20).
189
An-1 B
y
f(x)
A2
A1
A
y0 |
y1 y2 |
yn-1 yn |
0 a = x0 x1 x2 |
xn-1 xn= b |
Рис. 5.20
То есть площадь криволинейной трапеции aABb заменим площадью фигуры, состоящей из прямоугольных трапеций: aAA1x1, x1A1A2x2, …, xn-1An-1Bb. Их площади будут равны:
. Поэтому определенный
интеграл приближенно будут равен [1, 16]:
,
или
(5.20)
Выражение (5.20) носит название формулы трапеций. Формула оценки погрешности, получающейся при прибли-
женном вычислении интеграла, в этом случае имеет вид [9]:
где 
190