Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

при х → 0 у → 0,

тогда получим:

Пример 3.9.

т. е. бесконечно малое.

Пример 3.10.

Пример 3.11.

Пример 3.12.

Пример 3.13.

101

Пример 3.14.

Необходимо свести данный предел к первому замечательному пределу. Для этого делаем замену переменной, т. е. arcsin x = y, x = sin y, при х → 0 у → 0.

Тогда получим:

3.3.комплексныечисла

Комплексным числом t называется выражение следующего вида:

t = p + ig, p [ R, g [ R,

где i — мнимая единица (i2 = -1) [2].

В том случае, если р = 0 имеем чисто мнимое число t = ig. А если g = 0, то t = p, т. е. является действительным числом.

Поэтому множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел (С), т. е. R , C.

Величина p есть действительная часть комплексного числа t и обозначается p = Ret, а g — мнимая часть комплексного числа t и обозначается g = Imt [2].

Комплексные числа t = p + ig и = p – ig, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно сопряженными [2, 16].

102

Пример 3.15.

Комплексные числа t = 5 + 7i; = 5 – 7i являются комплексно сопряженными.

Два комплексных числа t1 = p1 + ig1 и t2 = p2 + ig2 будут равны только в том случае, когда равны их действительные и

мнимые части, т. е. p1 = p2 и g1 = g2

Пример 3.16.

Найти x и у из равенства 7у + 4хi = 18 – 9i.

Исходя из условия равенства комплексных чисел, получим

7y = 18 → y = 18/7;

4x = –9 → x = –9/4.

Любое комплексное число t = p + ig можно изобразить точкой А (р, g) на плоскости 0pg такой, что р = Rеt, g = Imt и, наоборот, каждую точку А (p, g) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа t (рис. .10).

Рис. 3.10

Плоскость 0pg называется комплексной плоскостью, ось 0р — действительной осью, а 0g — мнимой осью.

С каждой точкой А плоскости 0pg связан радиус-вектор

. Угол, образованный этим радиусом-вектором с поло-

его главным значением и обозначается аrg t. Заметим, что

-p < аrg t # p.

10

Значение аргумента находят по формулам (см. рис. .10).

где — модуль комплексного числа t [2, 16].

Алгебраической формой комплексного числа называется запись вида t = p + ig. А модуль и аргумент w комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число t (см. рис. .10).

Тогда получаем р = r cos w; g = r sin w; и, следовательно, комплексное число t = r(cos w + i sin w) можно записать в виде, который называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример 3.17.

Записать в тригонометрической форме комплексное число t = 1 + i.

Поэтому

arg t = w = p/4.

Следовательно, получим

Из формулы Эйлера cos w + i sin w = exp (iw) следует показательная форма комплексного числа [16]:

t = r exp (iw),

где r = |t|, а w = arg t.

Пример 3.18.

Найдем показательную форму комплексного числа.

104

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Найти области определения функций:

1.1.

1.2.y = log5 (6 cos x – 2);

1. .

1.4. y = 5x – 16x2 + 2x – 7. 2. Найти пределы функций:

2.1.

2.2.

2. .

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

105