Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

. Найти значение х и у из равенств:

а) 17x + 15i = 2 – 8iy;

b)6x – (5x – y)i = 7 + 2i;

c)(16 – i)x + (12 + 6)y = 10 + 6i;

d)(1 i – 10)x + (12 – 1 i)y = 12 – 2 i.

4.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

a) b)

c)t = 2 – 2i;

d)t = 6i.

5. Записать комплексные числа в алгебраической и тригонометрической формах.

a)

b)

c)

d)

вопросыдлясамопроверки

1.Что называется функцией одной независимой переменной?

2.Перечислить основные элементарные функции.

. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

4. Что такое предел функции y=f(x) при x → x0?

Дайте определение правого и левого пределов функции y =

=f(x).

5.Дайте определение предела последовательности.

106

6.Какая функция называется бесконечно большой величиной при x → x0?

7.Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами?

8.Сформулировать правила предельного перехода в случае арифметических действий.

9.В чем состоит правило предельного перехода для непрерывной функции?

10.Какое число называется комплексным?

11.Какие комплексные числа называются чисто мнимыми?

12.Какие комплексные числа называются сопряженными?

1 . Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

14.Как записываются комплексное число в тригонометрической форме?

15.Как записываются комплексное число в показательной

форме?

4.ОснОвыдиФФеренциальнОгОисчисления

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, связанный в основном с понятиями производной и дифференциала функции.

4.1.Производнаяпервогопорядка.дифференциал. Производнаявторогопорядка

Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении последнего к нулю [2, 20, 22].

т. е. производная функции

107

есть некоторая функция, полученная по определенным правилам из заданной функции.

Значение производной функции y = f(x) в какой-то точке x0 обозначают обычно так:

f (x0) или .

Механический смысл производной — это предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени.

Геометрический смысл производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4.1. Если значение производной от функции y = f(x) при x = x0 равно , то прямая, проведенная через точку M0(x0, y0) с угловым коэффициентом, равным , является касательной к графику функции в точке M0.

Геометрический смысл производной иллюстрируется на рис. 4.1.

108

Проведем через точки M0 и M1 секущую, угол между секущей и положительным направлением оси 0x равен:

Будем перемещать точку M1 по кривой в сторону точки M0 т. е. устремим Dx к нулю. Предельным значением секущей будет касательная, проходящая через точку M0. Тогда получим

[2, 16, 17]:

Установим связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Она видна из следующей теоремы,

Теорема 4.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она непрерывна. Обратное утверждение неверно. В качестве примера возьмем функцию y = |x|. Ее график показан на рис. 4.2.

Из него видно, что в точке х = 0 данная функция не имеет определенной касательной, а значит, не имеет в этой точке и производной.

Из определения производной следует способ ее вычисления. Найдем производную функции y = xn, где n [ Z, исходя из

определения производной

109

Итак, (xn) = nxn–1, например (x8) = 8x7.

Можно доказать, что полученная формула верна для всех n [ R [22].

Из приведенного примера видно, что использовать определение производной для ее вычисления дело достаточно трудоемкое. Поэтому гораздо проще, используя определение производной, вывести производные основных элементарных функций и сформулировать правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения, частного функций, сложной функции, обратной функции. По полученным формулам и правилам можно будет находить производные любых элементарных функций [2].

Производныеосновныхэлементарныхфункций

(xn) = nxn-1;

(ax) = ax ln a; (ex) = ex;

(sin x) = cos x;

110