Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
Сформулируем определение предела функции.
Число b называется пределом функции y = f(x) при x → x0, если для ; > 0 можно найти такое d > 0, что для всех x x0, удовлетворяющих условию |x – x0| < d, будет справедливо неравенство: |f(x) – b| < [2, 20]. Заметим, что функция не обязательно должна быть определена в предельной точке х0, она должна быть определена лишь в некоторой окрестности этой точки.
Тот факт, что b — предел функции y = f(x) при x → x0 записывается так: 
. Данное нами определение иллюс-
трируется рис. . . Используя приведенное определение предела, докажем, что
На основании определения имеем
( .2)
Таким образом, мы доказали, что исходная функция будет отличаться от 6 меньше, чем на , если будет выполняться неравенство ( .2). В данном случае = d.
Приведенное определение не дает способа вычисления пределов. Ниже мы рассмотрим некоторые из таких методов.
Дадим понятие о левых и правых пределах функции y = f(x) и точках ее разрыва.
Если f(x) → b1 при x → x0 так, что x принимает только зна- |
|
чения, меньшие x0, то пишут |
и называют b1 левым |
пределом. |
|
Аналогично, если f(x) →b2 при x →x0 |
так, что x принимает |
только значения, большие x0, то пишут |
и называ- |
ют b2 правым пределом [2, 20].
Геометрическая иллюстрация левого и правого пределов дана на рис. .4.
91
Рис. 3.4
Из рис. .4 следует, что в точке x0 функция y = f(x) имеет разрыв. Он носит название разрыва первого рода (в точке разрыва первого рода левый и правый пределы не равны b1 b2 и конечны). Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода [2, 20]. Примерами разрывов второго рода являются бесконечные разрывы (рис. .5).
Рис. 3.5
92
Предположим, что аргумент функции y = f(x) неограниченно возрастает x → `, т. е. является бесконечно большим аргументом. Может оказаться, что при этом функция f(x) стремится к некоторому пределу b (рис. .6).
Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → `, если для ; > 0 можно найти такое N > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > N, будет выполняться ус-
ловие | f(x) – b | < [2, 20, 22].
b+
b b-
Рис. 3.6
Теперь рассмотрим случай стремления функции y = f(x) к
бесконечности при x → x0. |
|
Функция y = f(x) стре- |
|
мится к бесконечности при |
|
x → x0, если для ;M > 0 |
|
можно найти такое d> 0, что |
|
для всех значений x x0, |
|
удовлетворяющих условию |
|
|x – x0| < d, выполняется не- |
|
равенство |f(x)| > M [2, 20]. |
|
Это определение ил- |
|
люстрируется рис. .7. |
|
Напомним,чтофункция |
|
y = f(x) называется огра- |
|
ниченной в данной области |
|
изменения аргумента, если |
|
существует N > 0 такое, что |
Рис. 3.7 |
|
9
для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области, будет выполняться неравенство |f(x)| # N. Если такого числа N нет, то функция y = f(x) является неограниченной в данной области.
Например, функция y = sin x является ограниченной на своей области определения x [ (–`; +`) (рис. .8).
Рис. 3.8
|sin x| # 1, т. е. N = 1.
Дадим определение бесконечно малой величины. |
||
Функция (х) называется бесконечно малой при х →х0 или |
||
х → `, если |
или |
. |
Например, функция y = (x – ) при х → есть бесконечно |
||
малая величина, так как |
. |
|
Постоянное очень малое число не является бесконечно малой величиной. Единственное число, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, это ноль. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин можно проследить из теоремы .1: если (x) — бесконечно малая величина, то
— бесконечно большая величина и наоборот [2].
Сравнениебесконечномалых
Если |
, то (x) есть бесконечно малая более вы- |
сокого порядка, чем b(x).
94
Например, |
. |
Если |
, то (x) есть бесконечно малая более низ- |
кого порядка, чем b(x).
Например, .
Если |
, где C [ R, то (x) и b(x) — бесконечно |
малые одного порядка. Например, 
.
Если |
, то (x) и b(x) есть эквивалентные беско- |
нечно малые.
Например, .
Теперь приведем основные свойства пределов, которые будем использовать при их вычислении [2, 9, 16].
Предел алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме пределов от этих функций, т. е.
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине, т. е.
где C [ R.
Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов от этих функций, т. е.
95