Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
число (2.22), называют n-мерным векторным пространством и обозначают Rn (в случае n = 1 оно совпадает с множеством действительных чисел R).
В случае n = 2 и n = имеем соответственно двумерное (R2) и трехмерное (R ) векторные пространства, а двумерные и трехмерные вектора имеют геометрическую интерпретацию: они изображаются направленными отрезками на плоскости и в пространстве [ , 12, 1 ].
Пусть в Rn заданы вектора
, 
Приведем свойства линейных действий векторами [ , 12]: 1) 
2) 
) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Длина (норма) вектора в пространстве Rn находится по формуле
(2.2 )
Например, задан вектор 
= (5, , –2). Используя (2.2 ) найдем, что его длина равна
Введем понятие скалярного произведения в действительном пространстве Rn.
81
Скалярным произведением двух векторов
= (x1, х2, …, хn) и 
= (у1, у2, …, уn)
в Rn (хi[Rn, уi[Rn, 
) называется число, получаемое по формулам [ , 12, 1 ]:
(2.24)
(2.25)
где есть угол между n-мерными векторами 
и 
(в случае n = 2 и n = будет углом между направленными отрезками на плоскости и в пространстве, а при n > векторы 
и 
являются математическими абстракциями).
Из формулы (2.25) следует, что угол между n-мерными векторами 
и 
равен
(2.26)
Если угол между векторами 
и 
равен , то скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е.
(2.27)
Пример 2.7.
Например, заданы векторы
= (2, , 7) и 
= (1, 6, 5) в -мерном пространстве R . Найти угол между ними.
По формуле (2.26) получим
82
Скалярное произведение в пространстве Rn обладает следующими свойствами [ , 12]:
1) 
(при этом равенство нулю будет только в том случае, если 
);
2))
Здесь 
— векторы в Rn, а k и t — действительные числа.
Пространство Rn, в котором введено понятие скалярного произведения по формуле (2.24), называется евклидовым n- мерным пространством [ , 12].
Задачидлясамостоятельногорешения
1. Найти произведения матриц
1.1.
1.2.
1. .
2. Вычислить определители:
2.1. 2.2.
8
2. .
. Найти матрицы, обратные данным:
.1. |
.2. |
. . |
4. Найти ранги матриц: |
|
|
4.1. |
|
4.2. |
4. .
5. Решить СЛАУ методами Гаусса и Крамера:
5.1. 5.2.
5. .
6. Найти собственные числа и собственные векторы матриц:
6.1. 6.2. 6. .
84
6.4.
7. Дано: 
= (1, –5, 6, 7, 10); 
= (–2, 7, 8, 11, –6).
Найти угол между векторами 
и 
. 8. Даны два ортогональных вектора
= ( , х2, 7) и 
= (1, 6, 8).
Найти координату х2.
вопросыдлясамопроверки
1.Что называется матрицей? Типы матриц.
2.Правило и свойства сложения матриц.
. Правило и основные свойства перемножения двух матриц.
4.Как найти матрицу, обратную заданной? Любая ли матрица имеет обратную?
5.Что называется определителем?
6.Что такое ранг матрицы?
7.Как определить, совместна ли заданная СЛАУ?
8.В каких случаях однородные СЛАУ имеют ненулевые решения?
9.В чем суть итерационных методов решения СЛАУ?
10.В чем состоит метод Гаусса решения СЛАУ?
11.В чем состоит метод Крамера решения СЛАУ?
12.Какие числа называются собственными значениями матрицы?
1 . Что такое след матрицы?
14.Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы?
15.Дать определение n-мерного векторного пространства.
16.Что называется нормой вектора?
17.Как найти угол между двумя векторами в n-мерном векторном пространстве?
18.Какое n-мерное пространство называется евклидовым?
85