Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

3.ФункциииПределы

3.1.некоторыесведенияофункциях

Влюбой области науки мы встречаемся с различными величинами. Под величиной понимают все то, что может быть измерено и (или) вычислено и выражено числом или числами [2].

Вестественных, технических и гуманитарных науках имеют дело с различными величинами, например, скоростью, силой, температурой, себестоимостью, валовым внутренним продуктом какой-либо страны, количеством преступлений в каком-то регионе и др.

Ав математике конкретные величины не участвуют, т. е. рассматривают величины вообще, не принимая во вниманиe их физический смысл.

Все величины можно разделить на переменные и постоянные.

Переменной называется такая величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, которая не меняет свое числовое значение, называется постоянной.

Все процессы характеризуются взаимоизменяемостью нескольких переменных величин, а это приводит к важнейшему понятию математики функциональной зависимости.[2, 22]

Часто одни и те же величины могут в одних случаях быть переменными, а в других постоянными.

Например, в формуле F = ma величины m (масса) и a (ускорение) могут быть как постоянными, так и переменными.

Но существуют и фундаментальные постоянные, которые сохраняют свое значение, по крайней мере, в нашей Mетага-

лактике.

Например, в законе всемирного тяготения ве-

Установление и описание связей между величинами одна из основных задач математического анализа, который включа-

86

ет в себя ряд дисциплин: теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисления, теорию рядов и др. [2]. Некоторые сведения из этих дисциплин мы рассмотрим в главах –7.

Теперь приведем определение функции одного независимого аргумента.

Переменная величина y называется функцией переменной величины x на множестве

определенияD,есликаждому значению x [D по како- му-то закону поставлено в

соответствие одно (несколько, бесконечно много) значение (значений) y [2, 20].

В первом случае функцияназываетсяоднознач-

ной, например, y = x + 1 (рис. .1).

Авовторомслучае—многозначной,например,y=Arcsin x

(рис. .2).

Рис. 3.2

Величину x из области D можно брать произвольно, поэтому она называется аргументом или независимой переменной. А

87

величина y будет зависеть от выбранной величины x, поэтому ее называют зависимой переменной или функцией.

Область D может быть любой, но, как правило, используются области двух видов:

множество целых неотрицательных чисел или какие-то части этого множества;

один или несколько интервалов (конечных или бесконечных) числовой оси.

В первом случае имеем функцию целочисленного аргумента, а во втором — непрерывного.

Тот факт, что величина y есть функция аргумента x, обычно записывают так: y = f(x).

Множество всех значений функции y обозначим через E. Функцию можно задать с помощью таблицы, в виде гра-

фика (преимуществом этого способа является его наглядность) или аналитически (формулой). Последний способ является самым распространенным.

Все функции можно разделить на два класса: элементарные и неэлементарные.

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции:

y = xn (n [ R), y = ax (a > 0, a 1),

y = loga x (a > 0, a 1), y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x,

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x

и функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции и заданные одной формулой [22].

Например,

и т. д.

Все функции, не подходящие под данное определение, элементарными функциями не являются.

88

Например, функция

-1 при x < 0; 0 при x = 0;

1 при x > 0

не является элементарной функцией, так как задана тремя формулами [6, 22].

А функция f(n) = 1 · 2 · · … n = n! не будет элементарной, так как количество операций умножения, которое нужно совершить для получения f(n), не будет являться конечным.

3.2.Пределпоследовательности.Пределфункции. вычислениепределов.

Прежде чем перейти к определению предела напомним, что в математике используются три вида бесконечностей +`, -`, `. Бесконечность не является числом, она показывает, как меняется переменная величина, которая конечна в любой момент времени.

Теперь определим понятие последовательности и ее предела.

Последовательностью называется множество чисел, которое перенумеровано с помощью целых чисел и расположено в порядке возрастания номеров [2].

Если задана последовательность y1, y2, y , …, то тем самым любому целому неотрицательному значению n поставлено в соответствие значение yn = f(n).

Например, члены геометрической прогрессии

являются последовательными значениями функции , где n [ Z+, Z+ — целые положительные числа.

Может случиться так, что с увеличением n значения yn = = f(n) будет неограниченно приближаться к какому-то числу a. В этом случае говорят, что число a является пределом функции

89

Число a является пределом последовательности y1, y2, …, yn, …, если для ; > 0 можно найти такое N > 0, что для всех f(n) с номерами n > N справедливо неравенство [2, 22]

Таким образом, мы доказали, что для любого наперед за-

будет выполняться ( .1.), а это означает, что 1 есть предел исходной последовательности.

Теперь рассмотрим функцию y = f(x) непрерывного аргумента x (рис. . ) и предположим, что x неограниченно приближается к числу x0 (x → x0). При этом может оказаться, что соответствующее значение f(x) неограниченно приближается к некоторому числу b. В этом случае говорят, что число b есть предел функции f(x) при (x → x0).

Рис. 3.3

90