Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Рассмотрим случай, когда собственные числа находятся сразу исходя из вида матрицы (исходная матрица либо диагональная, либо верхняя или нижняя треугольная). В этом случае собственные числа l1, l2, …, ln совпадают с элементами главной диагонали исходной матрицы a11, a22, …, ann.

Пусть задана верхняя треугольная матрица А размера

(n n):

Тогда имеем

Отсюда видно, что собственные числа равны:

l1 = a11, l2 = a22, …, ln = ann.

С появлением ЭВМ получили распространение итерационные методы нахождения собственных чисел, которые не используют вычисление характеристического полинома. К этим способам относятся: степенной метод, метод обратных итераций, QR-алгоритм, метод вращений Якоби, QL-алгоритм и др. Причем применение конкретного итерационного метода зависит от вида исходной матрицы А [1].

Теперь рассмотрим конкретные примеры. Пример 2.5. Дана матрица А размера ( )

76

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

Из условия задачи видно, что матрица А является верхней треугольной матрицей. Поэтому собственными числами данной матрицы будут элементы ее главной диагонали

Теперь найдем соответствующие найденным собственным числам собственные векторы. Для этого мы используем урав-

нение (2.16).

Для l1 = –4 получаем

где

Далее раскроем матричное уравнение (2.20)

В результате получим

или

Так как матрица этой системы вырождена, то она имеет ненулевые решения, которые имеют вид:

77

т. е. получены искомые собственные вектора для l1 Для l2 = l = 1 получаем

где

или в подробной записи

В результате получаем

5х1 – 4х2 – х = 0 или х = 5х1 – 4х2,

т. е. это уравнение имеет ненулевые решения, которые и будут искомыми собственными векторами для l2.

Эти решения запишем в виде

Пример 2.6. Дана матрица А размера (2 2). Найти собственные числа и собственные матрицы А

Запишем характеристическое уравнение (2,17) для данного случая

Теперь найдем собственные векторы исходной матрицы А, соответствующие l1 = 1 и l2 = –4.

78

Для l1 = 1 имеем где В подробной записи получим

или

Так как определитель полученной матрицы равен нулю, то она имеет ненулевые решения, которые и являются собственными векторами Х1, которые мы и находим

Из первого уравнения системы получаем х2 = 2х1. Из второго уравнения системы получаем х2 = 2х1, т. е. она имеет бесконечное множество решений. И искомый собственный вектор Х1 будет иметь вид

Аналогично, для l2 = –4 находим

В заключение приведем два полезных правила [18]:

1)сумма собственных чисел матрицы А равна следу этой матрицы, т. е.

2)произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы

79

2.4.некоторыесведенияовекторах

Цифровые данные, используемые в экономике, можно представить в виде списков чисел, каждое из которых имеет определенный смысл.

Например, списки цен различных товаров в магазинах, объемы продукции разных видов, выпущенных каким-либо предприятием за год и т. д. В математике такие упорядоченные списки чисел называют векторами. Дадим определение n-мер- ного вектора (n = 1, 2, ….).

Упорядоченный набор n чисел x1, х2, х , …, хn называется n- мерным вектором. Мы будем обозначать векторы заглавными буквами со стрелками над ними, т. е.

, числа x1, х2, х , …, хn есть координаты вектора, а n — его размерность [12, 1 ].

Два n-мерных вектора называются равными, если их соответствующие координаты равны, например:

Вектор, все координаты которого нули, называется нольвектором и обозначается .

Алгебраической суммой двух n-мерных векторов

и

называется вектор , каждая координата которого равна алгебраической сумме соответствующих координат векторов и , т. е.

(2.21)

Произведением действительного числа k на n-мерный вектор называется n-мерный вектор , каждая координата которого равна произведению числа k на соответствующую координату вектора , т. е.

(2.22)

Множество n-мерных векторов, для которых определены действия алгебраического сложения (2.21) и умножения на

80