Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

2. Составить матрицу A1 из алгебраических дополнений матрицы А.

. Составить присоединенную матрицу (В), получаемую транспонированием матрицы A1

4. Вычислить обратную матрицу по формуле

5. Проверка полученного результата

A A–1 = A–1 A = E.

Рассмотрим конкретные примеры на обращение матриц.

Пример 2.1. Дано:

Найти: A–1

Находить A–1 будем в соответствии с приведенным алгоритмом. Найдем определитель исходной матрицы

61

т. е. det A 0, поэтому у матрицы А есть обратная A–1 Теперь найдем алгебраическое дополнение:

A11 = 5; A12 = 1; A21 = –2; A22 = .

Составим из найденных алгебраических дополнений матрицу A1

Найдем матрицу В (транспонируем матрицу А1)

Вычисляем обратную матрицу

Проверим правильность вычисления обратной матрицы.

т. е. обратная матрица А–1 вычислена верно.

Пример 2.2. Дано:

Найти A–1.

62

Вычисляем определитель матрицы А.

Умножаем первую строку последовательно на (–2) и на (– ) и складываем со второй и третьей, затем полученный определитель раскладываем по элементам первого столбца

det A 0, т. е. исходная матрица А — невырожденная и у нее есть обратная матрица.

Теперь найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А

Из найденных алгебраических дополнений составляем матрицу A1

Находим матрицу :

6

Вычисляем обратную матрицу

Делаем проверку правильности вычисления обратной матрицы A A–1 = E

Из проверки следует, что обратная матрица вычислена верно.

Имеют место следующие равенства:

det A–1 = (det A)–1;

(A–1)T = (AT)–1;

(A B C … F)–1 = F–1 … C–1 B–1 A–1.

Ранг матриц. Любая матрица кроме своего порядка должна характеризоваться еще одним показателем, который устанавливает количество ее независимых строк и столбцов. Этот

64

показатель и называют рангом матрицы. Дадим его определе-

ние [1 , 19].

Рангом (r(A)) матрицы А называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг имеет любая матрица.

Ранг матрицы считается равным нулю, если все элементы матрицы равны нулю.

Для матриц высокого порядка разработаны специальные вычислительные методы определения ранга, например, методы жордановых исключений. Из приведенных выше свойств определителей следует, что ранг матрицы не изменяется: при ее транспонировании, при перестановке какихлибо строк или столбцов, при умножении каждого элемента строки или столбца на одно и то же число, при сложении элементов какой-то строки (столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца), умноженными на действительное число.

Без доказательства приведем теорему и следствия из нее [19].

Теорема 2.1. Если ранг матрицы равен k, то существует k линейно-независимых строк, от которых линейно зависят все остальные строки матрицы.

Следствие 1. Если ранг матрицы равен k, то она имеет k линейно-независимых столбцов, от которых линейно зависят остальные столбцы.

Следствие 2. Максимальное число линейно-независимых строк матрицы совпадает с максимальным числом линейно-не- зависимых столбцов и равно рангу матрицы.

2.2.системылинейныхалгебраическихуравнений

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Линейная система m уравнений с n неизвестными — это система вида:

65