Материал: baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Если ненулевые элементы располагаются выше главной диагонали, то имеем верхнюю треугольную матрицу, а если ниже — нижнюю треугольную матрицу:

Матрица размера m 1 — это матрица-столбец, а матрица размера 1 n — матрица-строка:

Рассмотрим линейные операции над матрицами [1 , 19, 29] Для сложения двух матриц необходимо, чтобы они имели

одинаковые размеры.

Сумму двух матриц обозначим A + B, а ее элементы равны

aij + bij, т. е.

Например,

51

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1)A + B = B + A;

2)(A + B) + C = A + (B + C);

) Для любых двух матриц одинакового размера всегда существует единственная матрица Z такая, что A + Z = B. Тогда Z есть разность матриц B и A, т. е. Z = B – A. Элементы матрицы Z

равны bij – aij.

Произведением матрицы A = (aij) на число k [R называется матрица

Например,

Для умножения двух матриц необходимо, чтобы они были согласованными. Матрицы A и B называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Пусть заданы матрицы:

Тогда произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C размера m p, элементы cik которой находятся по формуле

52

Из определения произведения матриц следует, что

A E = E A = A.

Произведение матриц обладает следующими свойствами:

1)(A B) C = A (B C);

2)(A + B) C = AC + BC.

В общем случае A B B A.

Рассмотрим конкретный пример умножения двух матриц

Для квадратной матрицы размера n n вводится понятие определителя.

Определителем квадратной матрицы порядка n n (определителем порядка n) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снабженных знаками плюс и минус по некоторому определенному правилу. Это правило сформулируем позже [15, 29].

Определитель порядка n матрицы

обозначается следующим образом:

5

Приведем легко запоминающиеся правила для вычисления определителей второго и третьего порядков [ , 19]:

Например,

Сформулируем свойства определителей [ ,19].

1.При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2.При перестановке строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный:

54

. Если все элементы строки (столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю:

то

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно выносить за его знак:

где

5. Определитель равен нулю, если все элементы минимум двух его строк (столбцов) пропорциональны:

где

6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у одного из которых соответствующая строка (столбец) составлена из первых слагаемых суммы, а у другого — из вторых:

55