476 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
«было бы доказуемо без этого ограничения, и другим способом, а
28
именно этой ситуации и надо избежать» .
Ниже в пункте 9 мы вернемся к этим вопросам; сейчас же мы можем сформулировать, что логика для Финслера — это не чело веческое изобретение, не результат соглашения каких-то мысли телей или продукт культурного развития, — нет, она дана нам, можно сказать, «от богов». Бывает, что мы не понимаем логику или используем ее ошибочно, но тогда проблема заключается не в логике, а в нас самих.
Такое представление о логике мы находим и у Платона. Воз можность ошибочного использования логики (но это наша проб лема, а не проблема логики!) отражается, к примеру, в таком само критичном высказывании Сократа:
Добрый мой Кратил, я и сам давно дивлюсь своей мудрости и не доверяю ей. Видимо, мне еще самому нужно разобраться в том, что я, собственно, говорю. Ибо тяжелее всего быть обманутым самим собой. Ведь тогда обманщик неотступно следует за тобой и всегда находится рядом, разве это не ужасно?29
Но людские недостатки не «встают на пути» у притязаний вечной логики, так же как употребление не вполне честной, «ораторской» логики:
Милый мой, ты пытаешься опровергать меня по-ораторски, по образцу тех, кто держит речи в судах. Ведь и там одна сторона считает, что одолела другую, если в подтверждение своих слов представила многих и вдобавок почтенных свидетелей, а противник — одного какого-нибудь или же вовсе никого. Но для выяснения истины такое опровержение не дает ровно ничего30.
Finsler. Gibt es unentscheidbare Sätze? S. 314. Кратил. 428d.
Горгий. 471e. Похоже, и даже еще хуже, действуют софисты: они при меняют не настоящую логику, а искусство убеждения, обман; их искусство
Характеристики математического платонизма 477
3. Существует идеальный мир
Идеальный мир в смысле Платона — это, по мнению Финслера, фундамент математики, без которого ее бы просто не сущест вовало. Он объяснял это на примере чисел. Натуральные числа часто пытаются представить через ряд черточек:
ι. il, m, ни, ιιιιι, ιιιιιι, ниш
и говорят, что мы можем продолжать этот процесс «как угодно долго». Но давайте, восклицает Финслер, нарисуем триллион черточек и еще одну! Конечно, это полный бред — вы не сможете*. Но теория чисел исследует намного большие числа, поэтому нам неизбежно приходится воспринимать натуральные числа как идеальные предметы. Мы не можем записать их каждое по отдельности, но они существуют в идеальном смысле .
4.Предметы математики принадлежат идеальному миру и, следовательно, не зависят ни от времени, ни от человека
Математика — не игра. В шахматах, например, фигуры и правила
32
придуманы человеком , но в математике речь идет скорее об абсолютных, зафиксированных истинах, которые мы можем лишь исследовать33. Финслер неутомимо подчеркивает, что математика охватывает объективные отношения , она изображает положение вещей, не зависящее от нас. Математические факты не могут быть другими, нежели они есть 5; их особенность в том, что они не
36
зависят от нашего мышления, а также от свойств нашего мозга .
31
32
только «красноречивое ораторство... льстивое угодничество» (Горгий. 502d).
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre ILS. 181. Finsler. Die Existenz der Zahlenreihe. S. 88.
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 175.
Finsler. Der platonische Standpunkt. S. 250.
Finsler. Und doch Piatonismus. S. 266.
Ibid. S. 267.
478 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
Мы можем продвигаться в их познании, изменяя наши формули ровки, однако «законы как таковые остаются»37.
Особенно важно, что числа — это не произвольно изобретенные человеком сущности (как мог бы человек, сказал Финслер, сотворить бесконечное количество существ? ), они на самом деле существуют независимо от нас, мы лишь можем их исследовать 9. Они, будучи идеальными вещами, неощутимы, но все же образуют
40
четко определенные системы, неизменные и вечные , которые остаются, «безразлично, занимаемся ли мы ними или нет»41; поэтому для существования натурального числа не является необходимым, чтобы мы могли до него досчитать .
Так же, конечно, обстоит дело и с другими математическими предметами: множествами, линиями в геометрии и т. п. Все это вещи идеальные, существующие вне времени и никогда не изменяющиеся . Это именно то, что сказал Аристотель о матема тических предметах у Платона: они отличаются от чувственно воспринимаемых тем, что «они вечны и неподвижны»44.
5.Из непротиворечивости математических предметов следует их существование
Что означает «существование» в математике? Можно было бы ска зать, что противоречивая вещь никогда не существует. Не сущест вует рационального числа, квадрат которого был бы равен 2, и не
37Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 47. См. также: Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 701: «Математические объекты и их свойства не должны зависеть от того ограниченного вида, в котором мы можем их представить».
38Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 173.
39Ibid. S. 173.
40Ibid. S. 177.
41Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 6.
42Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 202.
43Ibid. S. 181.
44Аристотель. Метафизика. A6 987b 14-17.
Характеристики математического платонизма 479
существует множества, элементы которого — все порядковые числительные, и только они45. Но непротиворечивая вещь сущест вует в идеальном смысле всегда46. В чистой математике, как сказал Финслер, «существование» есть не что иное, как непротиворечи
вость . Естествознание основано на наблюдениях, а в математике
48
все принципиально решает только непротиворечивость . Разумеется, мы не можем требовать существования идеальной
вещи; если мы, например, определяем какой-то математический предмет, то это определение не гарантирует, что он действительно идеально существует, ведь наше определение могло бы содержать в себе логическое противоречие, и тогда эта вещь просто не существовала бы, и мы не смогли бы создать ее, даже приложив максимум усилий4 .
6. Существует актуально бесконечное множество чисел
Акцент здесь поставлен на «актуальность», в противоположность учению Аристотеля и следующим ему современным конструкти вистским направлениям, признающим лишь потенциальную бес конечность50.
Finsler. Und doch Platonismus. S. 267; Burckhardt. Zur Neubegründung der Mengenlehre. S. 148.
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 690; Der platonische
Standpunkt in der Mathematik. S. 252; Briefwechsel mit Paul Lorenzen. S. 275.
Буркхардт сформулировал так: «Мы считаем существующими все множества, для которых предположение их существования не ведет к противоречию ни с одной из наших трех аксиом» (Burckhardt. Op. cit. S. 148, 153).
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 179.
Finsler. Und doch Platonismus. S. 266.
Finsler. Die Existenz der Zahlenreihe. S. 90.
По Аристотелю, математика — это продукт абстрагирования и идеали зации, которые происходят в нашей душе, т. е. она является результатом деятельности человека. Таким же образом, как плотник смотрит на ствол дерева как на стройматериал и закрывает глаза на другие его качества, так и математик воспринимает каменную колонну как цилиндр, а мяч как шар.
480 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
Мы уже цитировали высказывание Кронеккера: «Господь сотворил натуральные числа; остальное — дело рук человека». Финслер соглашается с первым утверждением , но добавляет: вопрос о том, сколько натуральных чисел сотворил Господь, Он оставил для нас. Конечно ли их число, или же их бесконечно много? Финслер указал на то, что этот вопрос не так прост, как кажется. В «Пармениде» Платона дается обоснование актуальной бесконеч ности ряда чисел , и Финслер соглашается с этим, но, скажет он, это лишь убеждение, правоту которого надо доказать . Такое доказательство должно объяснить, почему ряд натуральных чисел не ограничен. Это не нечто само по себе разумеющееся , так как в
А что касается отрезка, то, по Аристотелю, он не состоит из точек; точки появляются в отрезке тогда, когда человек производит деление, т. е. перед делением точки существуют только потенциально, а не актуально. (Подробное изложение этой темы см. у Беккера: Becker. Mathematische Existenz. S. 630, 683-687.)
Финслер не согласен с тем, что остальные числа являются «делом рук человека». В классической математике, скажет он, «реальные и ком плексные числа — это также не произвольно изобретенные человеком сущности» (Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 173).
Парменид. 144a: «Если существует одно, то необходимо, чтобы сущест вовало и число. Но при существовании числа должно быть многое и бесконечная множественность существующего. В самом деле, разве число не оказывается бесконечным по количеству и причастным бытию?»
Чтобы показать важность определения количества натуральных чисел, Финслер приводит следующий небольшой пример. В школе, сказал он, «ставят вопрос, сколько простых чисел существует, и отвечают: бесконеч но много, ведь уже Евклид доказал это. Но доказательство Евклида имеет смысл только тогда, когда мы уже знаем, что существует бесконечно много натуральных чисел. Известно ли это? Нет, большинство студентов не знает, они просто думают так. Но если это неизвестно, то неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел — доказательство Евклида напрасно» (Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 175).
Дедекинд строил свою систему оперирования натуральными числами на условии, что существует бесконечно много вещей, и чтобы прояснить это условие, он рассматривал сначала себя, потом мысль о себе, потом мысль о мысли о себе, и т. д., и кажущийся бесконечным на этом пути ряд мыслей. Но на самом деле, сказал бы Финслер, это не работает. Если мы