Характеристики математического платонизма 471
Свои философские убеждения сам Финслер изложил в несколь ких статьях , коротко же их можно представить в десяти пунктах:
1.Существует абсолютная истина.
2.Существует абсолютная логика.
3.Существует идеальный мир.
4.Предметы математики принадлежат идеальному миру и, следо вательно, не зависят ни от времени, ни от человека.
5.Из непротиворечивости математических предметов следует их существование.
6.Существует актуально бесконечное множество чисел.
7.В математике нет антиномий.
8.Все математические проблемы в идеальном мире уже решены.
9.Формальные методы не могут заменить настоящее мышление.
10.Классическую математику можно и нужно спасать.
Эти убеждения выражают главным образом мировоззрение Платона, и Финслер, зная это, и сам называл свою точку зрения математическим платонизмом — две его статьи называются «Платоновская точка зрения в математике» и «Все же платонизм». При этом Финслер отличал «разумный платонизм» от «наивного»; наивный платонизм предполагает, что соединение множеств всегда образует новое множество, и это предположение приводит к проблемам, таким как, например, антиномия Рассела. — Кратко объясним эти десять пунктов.
1925: Gibt es Widersprüche in der Mathematik?; 1926: Formale Beweise und die Entscheidbarkeit; 1926: Über die Grundlegung der Mengenlehre I; 1927/28: Über die Lösung von Paradoxien; 1933: Die Existenz der Zahlenreihe und des Kontinuums; 1938: Diskussionsvotum; 1938: A propos de la discussion sur les fondements de mathématiques; 1943/44: Gibt es unentscheidbare Sätze?; 1954: Die Unendlichkeit der Zahlenreihe; 1956: Der platonische Standpunkt in der Mathematik; 1956: Und doch Piatonismus; 1956: Briefwechsel mit Paul Lorenzen; 1958: Vom Leben nach dem Tode; 1963/64: Über die Grundlegung
der Mengenlehre II; 1969: Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese.
Подробности см. в списке литературы.
472 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
7. Существует абсолютная истина
Бернайс выразил мнение, что финслеровская теория множеств осно вана на определенной философской позиции. Финслер согласился, но не расценил это суждение как возражение, так как его философс кие предпосылки не были взяты с потолка — скорее он считал их обязательной предпосылкой каждой науки, и математики в особен ности. К этим предпосылкам принадлежит прежде всего убеждение, что можно абсолютно четко провести различие между «истинным» и «ложным». На самом деле, как сказал Финслер, эта позиция «состоит в следующем: мы знаем в принципе, что подразумевается под истинным и под ложным; а также в том, что мы требуем...
чтобы ответ на любой однозначный вопрос был также однознач ным. Без этого философского положения возможно, наверное, со стояться в профессии, но вряд ли получится заниматься наукой» . Другими словами: по Финслеру, существует абсолютная истина, «по крайней мере в математике» . На ее основании мы можем не
только выражать какие-то мнения, но и объективно различать
о
истинное и ложное . Выступая против любого релятивизма в этой сфере, Финслер однажды почти торжественно воскликнул: «Есть лишь одна наука, в которой царствует только чистая истина»10.
Finsler. A propos de la discussion... S. 174.
Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 32. Финслер, кажется, склонен пред полагать, что существует «абсолютная истина» и вне математики. Этим во просом задавались и многие другие мыслители, например стоит вспомнить размышления Ленина: «Существует ли объективная истина?» Там мы читаем следующее: «Если существует объективная истина (как думают материалисты), если естествознание, отражая внешний мир в "опыте" человека, одно только способно давать нам объективную истину, то всякий фидеизм отвергается безусловно. Если же объективной истины нет, истина (в том числе и научная) есть лишь организующая форма человеческого опыта, то этим самым признается основная посылка поповщины, откры вается дверь для нее, очищается место для "организующих форм" рели гиозного опыта» (Ленин. Материализм и эмпириокритицизм. С. 127).
Finsler. Der platonische Standpunkt in der Mathematik. S. 252; Он же. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 172.
Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 155.
Характеристики математического платонизма 473
То, что можно назвать эту позицию «платонической», видно из схожих выражений у Платона. «Истину вообще нельзя опроверг нуть» . Если нет одинаковой Истины для всех, то нет и воз можности для объективной науки. «Рассматривать и пытаться взаимно опровергать наши впечатления и мнения — все это пустой и громкий вздор»12.
2. Существует абсолютная логика
Чтобы обосновать точную науку, нужно признать, согласно Финслеру, существование абсолютной логики, на которую можно опираться и без которой не прийти к благоразумным резуль татам14. «Логика, т. е. правильные умозаключения, должна при меняться для обоснования математики. Можно, конечно, исследо вать логику в деталях; однако сама по себе она должна рассматриваться как неопровержимая и не зависеть от людей и от нашего мышления. Скорее наше мышление должно руководст воваться логикой, чтобы быть "правильным". Логика так же неизменна, как числа и чистая математика; изменяться может только наше знание о ней. То, что "истинно" в условиях логичного мышления или логичного умозаключения, основывается не на соглашениях, а установлено абсолютным способом; это абсолютное отличие Истинного от Ложного. В этом смысле может существовать только одна логика»15.
Вместе с логикой как таковой в абсолютном смысле надо применять и отдельные логические понятия, такие как «все», «бесконечно», «нециркульно» («zirkelfrei»), «несчетно», «система», «непротиворечиво»1 . Их правильность и пригодность никак не
Горгий. 473с.
12Теэтет. 162а.
13Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 685-701.
14Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 19.
15Finsler. Ober die Grundlegung der Mengenlehre IL S. 178.
16Эти понятия появляются у Финслера в разных местах, см.: Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 684-701; Über die Grundlegung der Mengenlehre
474 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
страдают от того, что есть люди, которые их не понимают или не хотят понимать17. Эти понятия приводят к совершенно однознач ным результатам, если только мы применяем их аккуратно, т. е. если мы действуем «строго логически»18.
Соответственно, преобразование чистой, абсолютной логики не предполагается, так как она — именно та логика, которой должно подчиняться любое мыслящее существо1 . Лишь записанную или формализованную логику можно перестраивать; она действительно может оказаться ошибочной или слишком узкой и, следовательно, нуждающейся в исправлении20.
Но нельзя путать «логистику» с логикой, «современную логику» с логичным мышлением!21 Формальная логика может быть только вспомогательной дисциплиной; она ни в коем случае не «острее», чем логическое мышление22, и на самом деле на ней даже нельзя построить теорию множеств23. Для этого нужна мысль, которая возвышается, — опираясь на чистую логику, — над логическими формулами; нужны «содержательные» умозаключения, «содержа тельное» мышление . Такое мышление позволяет нам находить
II. S. 213; A propos de la discussion... S. 171; Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 71.
17Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 214.
18Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 150-153; A propos de la discussion... S. 174.
19Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 149.
20Ibid. S. 149.
21Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 179: «Логическое мышление не идентично "логическим вычислениям", "формальной логике" или "логистике". Формальная логика может представлять собой не более чем одну часть логического мышления, причем всегда нужно проверять, соответствует ли она действительно требованиям логики, является она "правильной", не только с формальной точки зрения, но и по смыслу».
22Finsler. Die Existenz der Zahlenreihe. S. 88.
23Burckhardt. Zur Neubegründung der Mengenlehre. S. 148-149.
24Ibid.; Finsler. Die Existenz der Zahlenreihe. S. 88; Он же. Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 78. К чему это может привести,
Характеристики математического платонизма 475
сущности, недоступные ни опыту, ни логистике ; и только оно может разрешить противоречия. Применяя содержательные умо заключения, чистую логику, в математике можно охватить такие
вещи, которые невозможно выразить полностью фиксируемым языком26.
Финслера упрекали в том, что он, применяя «содержательные умозаключения», не дает доказательств, а лишь приводит «правдо подобные соображения». Финслер отвергал этот упрек и утверждал, что «о правдоподобном соображении можно говорить, когда мы
думаем, что результат может быть разным; но надо говорить о
27
доказательстве, когда этот результат не может быть понят иначе» . Он хотел понимать доказуемость как можно более широко, т. е. допускать не только формальные, но и любые «идеальные» доказательства, если только они безупречны по содержанию. Ведь в противном случае всегда предполагалось бы, что предложение, которое нельзя доказать с использованием ограниченных методов,
если «содержательное» мышление либо исключается, либо допускается, Скулем продемонстрировал на простых примерах (см.: Skolem. The Logical Nature of Arithmetic. P. 375-384). См. также Упражнение Г9, где мы ознакомимся с примерами «содержательного мышления» или «абсолютной логики».
25Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 34.
26Мышление, по Финслеру, не полностью зависит от зафиксированного языка. «Упомянутое выше число нельзя зафиксировать языком, но можно с помощью мысли; оно существует тем же способом, что и число 4. Этот способ мышления не ведет в тупик, так как из него можно делать выводы, конечный результат которых может быть представлен в языке. Введение мнимых чисел в анализ порождала когда-то угрызения совести, но мы учились проводить с ними вычисления, и, как это часто бывает, после "путешествие через мнимое" мы смогли получить важные и реальные результаты. Аналогично мы научились работать с вещами, которые могут быть выражены через язык в их совокупности, но не индивидуально, и все же мы сможем получить важные результаты, которые могут быть, после "путешествия через молчание", выражены языком. Математик, особенно если ему покажут путь, безусловно способен и сам пройти его часть» (Finsler. A propos de la discussion. S. 179-180).
27Finsler. A propos de la discussion, S. 177.