Характеристики математического платонизма 481
ряду порядковых числительных существует самое большое, т. е. последнее, поэтому этот ряд ограничен — почему же у натураль ных чисел нет такого предела?
Вопрос этот, кстати, совсем не маргинален, так как именно в нем «лежит корень математического платонизма, который под тверждает актуальное существование бесконечных множеств»55. А возможно ли предоставить настоящее математическое доказа тельство? Да, скажет Финслер, «найти убедительный результат, т. е. существование бесконечного количества чисел, — нелегко, но возможно»5 .
7. В математике нет антиномий
Антиномии были проблемой для целого поколения выдающихся математиков, и было предпринято много разных попыток пре одолеть эти невыносимые противоречия. Но Финслер сказал, что представитель разумного платонизма знает, что здесь нет ничего сложного, надо просто «думать правильно», исследуя и исправляя свой ход мышления, как того требовал Платон. Тогда, утверждал Финслер, никаких принципиальных трудностей или противоречий не возникнет, математика явится «чистой» сферой идеального разумного мира. Если же возникают проблемы, значит, мы сами привели к ним.
действительно попробуем образовать такой ряд, то увидим, что очень скоро мы не сможем идентифицировать различные шаги, особенно если у нас нет еще ряда натуральных чисел, которыми мы могли бы посчитать эти шаги, и рано или поздно мы просто не сможем продолжить этот ряд «мысль о мысли о мысли... о себе». Ряд этих мыслей не бесконечен. (Die Unendlichkeit der Zahlenreihe. S. 29.) Разные аспекты и представления из этой сферы излагаются в сборнике: Бесконечность в математике: фило софские и исторические аспекты. М.: Янус-К, 1997.
Neidhart. Unendlichkeit im Schnittpunkt von Mathematik und Theologie, 2. Band. S. 499.
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 175. Доказательство Финслера находится в его статьях: Die Existenz der Zahlenreihe und des Kontinuums; Die Unendlichkeit der Zahlenreihe; более подробно в: Burckhardt.
Zur Neubegründung der Mengenlehre, 1938. S. 146-165; 1939. S. 146-155.
482 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
Если я формирую, например, множество Рассела, т. е. мно жество всех множеств, которые не содержат самих себя, тогда, конечно, я провоцирую антиномию. В принципе ситуация такова же, как с антиномией лжеца; если я скажу: «Я лгу», то, конечно, спровоцирую противоречие57. Но зачем вообще образовывать такие выражения? Просто исключим их из математики, и все получится.
Финслер выразился коротко: «Там, где мы не создали антиномию,
58
она и не появляется» . И следовательно: «Тот, кто еще верит в антиномии, верит в привидения»59, он просто не продумал вопрос как следует60.
Взгляд Финслера коротко выражается в следующей цитате: «В математике позволено все, лишь бы только не противоречить самому себе. Это единственная ошибка, которую мы можем совер шить, и если мы ее избегаем, антиномии исчезают, и вся теория множеств со всеми своими мощностями, высокими и высочайшими» остается неизменной .
8. Все математические проблемы уже решены
По мнению Финслера, все решения математических задач и про блем пребывают в идеальном мире, независимо от того, знаем ли мы о них или нет, и узнаем ли когда-либо. «Чистая математика, — сказал он, — не зависит от нашей человеческой неполноты. Вопрос, правильно ли математическое предложение или ошибочно, не связан с тем, можем ли мы решить его или нет» 2.
Возьмем для иллюстрации теорему Ферма, т. е. утверждение, что уравнение а + Ьп= с" не имеет решений в целых числах а, Ъ, с, если η больше двух. Если η = 2, то существуют решения в целых
См. Приложение ПО.
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 179. Finsler. Der platonische Standpunkt in der Mathematik. S. 250. Finsler. Und doch Piatonismus. S. 266.
Finsler. A propos de la discussion. S. 170.
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 177.
Характеристики математического платонизма 483
числах, например З2 + 42 = 52 или 52 + 122 = 132, но если даны уравнения а + Ьъ = с , а + Ь4 = с и т. д., то мы никогда найдем такие целые числа a, è, с, которые им удовлетворяют. Теорема понятна и кажется простой, но самые крупные математики долго не могли доказать или опровергнуть ее. Тем не менее математические платоники не сомневались: в идеальном математическом мире проблема уже решена: Ферма либо прав, либо не прав, просто мы пока не знаем об этом. Платон сказал бы, что решение теоремы Ферма пребывает в идеальном мире, и наши души когда-то видели это решение, но математики просто не могут это вспомнить. Любопытно, что в 1995 г. душа американского математика Эндрю Уайлса «вспомнила» и «увидела», и Уайлс смог записать и опубли ковать решение теоремы Ферма. Теперь Уайлс может помочь нам «вспомнить» и узнать его, как в свое время платоновский Сократ помогал молодому рабу вспомнить вечно существующее решение задач об удвоении квадрата.
9. Формальные методы не могут заменить настоящее мышление
Финслер ценил формальные методы, но указывал, что человеческое мышление всегда выше и мощнее любого формализма. Чтобы доказать это, он приводил положение, о котором в рамках формаль ной системы невозможно сказать, является оно противоречивым или нет, но на пути неформального мышления возможно доказать, что оно содержит противоречие . Это утверждение Финслера, как мы уже заметили, в принципе сходно с более поздней знаменитой теоремой Геделя о неполноте формальных систем, но, к сожалению, тогда на доказательство Финслера не обратили внимания.
Эти результаты Финслера и Геделя имеют глубокое значение: мышление, понятое в платоновском смысле, принципиально превы шает любой формализм. Они демонстрируют, как сказал математик Абрахам Френкель, что возможности человеческого разума принци пиально превышают возможности действий в рамках чисто логи-
Finsler. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit. S. 676-682. Также см. Приложение Г10.
484 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
ческих схем, как это происходит у компьютера; «благодаря упомя нутым результатам мы теперь знаем... чего мы не можем ожидать от электронных вычислительных машин, так как это невозможно по принципиальным причинам»64. Результаты Финслера и Геделя при водят нас к выводу, что «истина всегда лежит за пределами пра вильного и неправильного» , и, наконец, они представляют собой отход от механистически-материалистического мировоззрения.
Углубленный взгляд на математический платонизм предлагает, наконец, статья Финслера «О независимости континуум-гипо тезы»66. Как известно, в 1963 г. П. Коэн доказал, что континуумгипотеза недоказуема на основании системы аксиом ЦермелоФренкеля (ZFC). Этот результат считался — и считается до сих пор — большим математическим успехом: по мнению Мостовского (и, как он считает, по мнению большинства логиков и математиков), доказательства непротиворечивости и независимости общей континуум-гипотезы являются самым важным событием в математике за последние 25 лет67. Но Финслер не разделял его восторгов; по его мнению, результат Коэна опирается на пред положение о непротиворечивости ZFC, и если мы не знаем, истинно ли это предположение, то все результаты могут быть лишь гипоте тическими. И он с легким сарказмом спрашивает: «Зачем приводить такие сложные доказательства, если в итоге все же неизвестно, истинен ли результат?» Эта некомфортная ситуация типична для формалистического подхода; в то время как математический плато ник может коротко и ясно сказать: «Существует бесконечно много
64Fraenkel. Philosophie der Mathematik. S. 355.
Weiss. Gödels UnVollständigkeitssatz... (Курсив мой.)
66Finsler. Über die Unabhängigkeit der Kontinnumhypothese. S. 67-78.
67Mostowski. Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 121.
68Finsler. Über die Unabhängigkeit der Kontinnumhypothese. S. 77. Интересно, что уже Платон формулировал похожий вопрос: «У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?» (Государство. 533с).
Характеристики математического платонизма 485
простых чисел», формалист вынужден выразиться так: «Можно доказать, что, если аксиомы ZFC непротиворечивы, существует бесконечно много простых чисел». И что касается континуумгипотезы, то, по мнению Финслера, она либо истинна, либо нет, мы просто пока не знаем ответа. Да, идя формальным путем, мы не сможем доказать то или другое, но при этом возможно, что на другом пути мы найдем решение.
Интересно посмотреть, как платоновские — и не чисто формальные — взгляды Финслера конкретно воплотились в его собственной теории множеств. Представим сначала формальную систему аксиом множеств — систему Цермело-Френкеля, которая выглядит так:
• VaiVa2 (V6 (6 € αϊ «* b € α2) =» αϊ = α2)
•3α V6 (6 £ α)
•3α: ( 0 € α Λ V6 (&€ α =• 6υ {6} € α))
• VaiVa2 3c V6 (6 € с ^ (6 = α! V b = α2))
• Va3dV6(6<Ed«*Vc(c€6=î>c€a))
. Va 3d Vc (с £ d & 36 (6 € a Λ с € 6))
. Va 3c V6 (6 € с 4* 6 € a Λ Φ[6])
• Vx 3!y 0[i,y] =• Va 3d Vc (c G d ^ 36 (&€ a Λ 0[ft,c)))
• Va (a ^ 0 =* 36 (6 € a Λ Vc (c € 6 => с £ a)))
• Va(a?0 Λ V6 (ft € a => 6 ^ 0) Λ V f t ^ (fti ^ 63 Λ {бьбг} Ç a ^ fti Пба = 0) =* 3dV6 (6 € a-4 3c ( 6 0 d = {c})))
Каждую аксиому можно сформулировать обычными словами; вторая аксиома, например, гласит: «Существует пустое множество», т. е. существует множество без элементов. Использование знаков и выражений формальной логики подчеркивает формальный характер этой системы.