486 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
Неформальная система Финслера выглядит по-другому и со стоит только из трех аксиом:
1.Для любых множеств M и N всегда однозначно решено, имеет ли M отношение β к N или нет.
2.Изоморфные множества идентичны.
3.Множества образуют систему вещей, которая, при поддержании аксиом I и II, больше не может быть в дальнейшем расширена.
Платоновский взгляд у Финслера выражается здесь в том, что эти аксиомы относятся к объективно существующим математическим предметам, т. е. к чисто идеальной, но в каком-то смысле реальной сфере.
Было бы желательно, если бы можно было — как в случае с натуральными числами — соединить все множества в опре деленную систему69. Оказывается, что в финслеровской теории это возможно; в дальнейшем все антиномии устраняются, так как существования противоречивых по определению множеств не требуется («Если мы не создали антиномию, она и не появится»). При этом Финслер использует как существенное вспомогательное средство распределение множеств на такие, определение которых не является цикличным, и те, определение которых циклично. Для математических построений нециклические множества образуют надежное и достаточное основание; то, что понятие «нецикли ческий» само содержит круг, не помеха, так как оно, по Финслеру, принадлежит чистой логике .
Теория множеств Финслера не была признана большинством математиков. Это не очень удивительно, ведь у математиков бы вают совершенно различные взгляды в этой сфере; Анри Пуанкаре,
Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 153; Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 683.
Для дальнейшего изучения финслеровской теории множеств рекомендуем читать: Unger. Vorwort des Herausgebers // Paul Finsler. Aufsätze zur Mengen-
lehre. S. XI-XVI.
Характеристики математического платонизма 487
например, называл теорию множеств Кантора «болезнью разума», а Давид Гильберт называл ту же самую теорию «раем», из которого он не хочет быть изгнанным71. Что касается именно финслеровской теории множеств, то на одной конференции математик Вейль так набросился на нее, что бедный Финслер заработал нервное истощение. Правда, Финслер использовал специфическую, необыч ную форму выражения, и многие не были готовы ознакомиться с ней и, следовательно, не поняли сути дела. Финслер часто жало вался на то, что его противники, например Рейнхольд Бэр, просто «не хотят видеть истину»72. И к сожалению, такое непонимание продолжается до сих пор. Так, доктор математики Томас Форстер из университета Кэмбриджа презрительно назвал Финслера «геомет ром с непрофессиональным интересом к основам математики и тео рии множеств», но потом продемонстрировал, что не разбирается в проблеме, когда счел финслеровские выражения и символы просто «внутренним жаргоном для понятий, для которых уже есть отлично подходящие обозначения, понятные другим смертным» ("yßx" вместо "хву"), и что он не видит — или не понимает — финслеровских объяснений особенного смысла термина "yßx".
Ван дер Варден рассудил, что ответ на вопрос «Кто прав?» в таких спорах не может быть бесспорным, так как зависит от фило софских убеждений того, кто судит 5. Финслер, однако, настаивал на том, что математика не зависит от личных философских убеж дений: «Речь здесь идет не о какой-либо философии, а о чистой математике и логике»76.
Этим различным взглядам очень удивлялся Туралф Скулем (см.: Skolem.
Über die Grundlagendiskussionen in der Mathematik. S. 89).
72И действительно критика Бэра не затрагивает теорию Финслера; см. подробности в: Gut. Inhaltliches Denken und formale Systeme. S. 127-132.
73Forster. Review of "Finsler Set Theory". Р. 3.
74См. подробнее в: Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 183-184.
75Van der Waerden. Stellungnahme zur Auseinandersetzung Finsler — Baer.
76Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 178.
488 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
Но, несмотря на все эти трудности, знаменитое немецкое научное издательство «Wissenschaftliche Buchgesellschaft» опубли-
77 |
78 |
ковало все статьи Финслера , вышли в свет и другие сборники . И профессор математики Герберт Гросс, как мы уже упоминали, выразил мнение, что крайне желательно тщательно изучить идеи Финслера и их платоновскую основу79.
10. Классическую математику можно и нужно спасать
^ч |
80 |
Финслер придерживался позиции классической математики и
81
хотел, — так же, как и Гильберт , — защитить ее, преодолев
82
«кризис» теории множеств . При этом Финслеру пришлось вести борьбу на три фронта: должна была быть решена проблема
антиномий и, вследствие этого, необходимо было оправдать теорию
83
множеств со всеми ее мощностями (что удалось!) ; нужно было защитить закон исключенного третьего и отвергнуть ненужные и произвольные ограничения конструктивного понятия интуиционистов ; и в-третьих, свирепствующему формализму нужно было
77Unger. Paul Finsler — Aufsätze zur Mengenlehre.
78Finsler Set Theory: Platonism and Circularity. Translation of Paul Finsler's
Papers on Set Theory. Ed. by David Booth and Renatus Ziegler. Basel; Boston; Berlin: Birkhäuser, 1996 / Bakker Α., Ziegler R. Finsler Mengenlehre. Universiteit Amsterdam: Rapport, 1997. Понятное, доступное представление финслеровской теории множеств дал Буркхардт: Burckhardt. Zur Neubegründung der Mengenlehre, 1938. S. 146-165; 1939, S. 146-155.
«Аксиоматическая теория множеств, которая относится к объективным математическим предметам, понятийно очаровывающая идея нецикли ческих множеств, все финслеровское собрание оснований математики заслуживают подробного изучения» (Gross. Nachruf auf Paul Finsler. S. 20).
Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 67; Briefwechsel mit Paul Lorenzen. S. 277. И свою статью «Der platonische Standpunkt» Финслер посвятил Ролфу Неванлинне, «последователю классической математики»!
81Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 684.
82Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 173.
83Finsler. A propos de la discussion... S. 170; Diskussionsvotum. S. 157.
84Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 177.
Характеристики математического платонизма 489
85
отчетливо указать его границы . То, что все это возможно, т. е. что классическая математика с ее основной платоновской установкой действительно может быть сохранена, для Финслера не подлежало сомнению.
Позволим себе упомянуть еще об одной черте математического платонизма, или, лучше сказать, о черте математиков-платоников, хотя она представляет лишь некую «тенденцию», которую можно обнаружить и у математиков других направлений. Выше мы уже сказали, что однажды Финслер опубликовал книгу под названием «О жизни после смерти». В ней он соединил математические и астрономические выводы со своим личным жизненным опытом и высказал мысль, что любой человек проживает жизнь каждого другого человека. Если это так, то из этого следует: то, что ты делаешь для какого-то человека, хорошое или дурное, ты делаешь в конце концов для самого себя. Эта книга у многих вызвала недоумение и непонимание, но она написана в чисто платоновской традиции: математика полезна, но есть и то, что важнее ее, — это жизнь, благодеяние, справедливость, добродетельность, благо. И нам кажется, что эта черта (хотя и не только она) «типична» для математического платонизма вообще: если мы рассмотрим, напри мер, биографии выдающих классических математиков времен нацизма, то увидим, что мало кто из немецких математиков цели ком стоял на позициях национал-социализма. Видимо, философия Платона даже в узкой области математического мышления служит некой защитой от увлечения идеологией всех направлений и способствует ясному взгляду на то, что является истинным благом.
***
Подводя итоги, можно сказать, что Финслер применял матема тический платонизм не просто как удобное и эффективное средство, но сознательно опирался на философию Платона. Особенно важным мне кажется подчеркивание Финслером значения не просто фор-
Finsler. Diskussionsvotum. S. 157-159; A propos de la discussion... S. 162.
490 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
мального, а осмысленного мышления. Это — мышление в лучшем платоновском смысле, мышление, которое сохраняет себе полную свободу, не ограничивается какими-либо формальностями или догмами; это — мышление, которое тем не менее не является беспорядочным, оно, напротив, полностью предано прозрачности, логике и истине.