496 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
Математик платонического толка склонен интерпретировать этот факт таким образом: треугольник Морли всегда «пребывал» во всех треугольниках, просто мы долго не знали об этом (или, по Пла тону: наша душа созерцала когда-то это свойство треугольников, но забыла). Мы не сами изобрели этот равносторонний треугольник, но обнаружили его вечное существование (по Платону: обнаружили тогда, когда наша душа вспомнила). Другими словами, платоновс кое понимание феномена треугольника Морли — как и пентагональной теоремы Эйлера — можно считать вполне убедительным.
Можно, конечно, возразить, что эти числовые и геометрические явления формирует исключительно наш разум и что если мы не сразу понимаем все детали наших собственных построений, то это просто похоже на прибор, изобретенный инженером, который сам не знает всех свойств и способностей своего аппарата. Но такое толкование на самом деле непродуктивно, так как сразу возникает вопрос: почему мозг разных людей практически единообразно формирует математические представления, термины и законы? Откуда этот разум? И мы, рано или поздно, вернемся к беседе Сократа с молодым рабом...
БЗ: Роль закона исключенного третьего в арифметике9
Ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5..., как мы уже сказали, не вызывает на первый взгляд никаких трудностей. Эти числа просто «здесь», перед нашими глазами, как камни на земле или звезды на небе. Если мы пишем уравнение 13 + χ = 20, то мы выбираем «из всех (!) натуральных чисел» те, что подходят, и говорим, что в нашем примере подходит число 7 (и только 7). Если пишем 13 -х = 20, то скажем, что подходящего натурального числа не существует. То есть такой JC либо существует, либо нет, третья возможность исключена. Или возьмем теорему Ферма: хотя мы
Я использую здесь некоторые мысли Лоренцена (Lorenzen. Wie ist Philo sophie der Mathematik möglich? S. 199-207). В Примечании В12 закон исключенного третьего обсуждается снова, но с другого ракурса.
Роль закона исключенного третьего в арифметике 497
долго не знали, существуют ли три числа а, Ъ, с, которые удовлетворяют уравнение χ + уп = ζη , если η > 2, мы были уверены, что они либо существуют, либо нет, третья возможность исключена. Факт, что с 1995 г. мы знаем ответ, не имеет принципиального зна чения, уже до этого было решено, есть такие три числа или нет.
В таких случаях мы судим таким же образом, как и в случае с упаковкой яиц: если кто-то утверждает, что не все яйца целы, то мы можем с уверенности сказать, что он либо прав, либо не прав, — просто открыть упаковку и проверить! В случае теоремы Ферма удалось «посмотреть в упаковку и проверить», но это только удачный случай, и в случае проблемы Гольдбаха10 мы тоже полагаем, что, хотя количество четных чисел, которые надо про верить, является бесконечным, проверка в принципе возможна, следовательно, вопрос решен, мы только пока не знаем решения.
Почему мы так думаем? Потому, что мы представляем себе множество, состоящее далее из бесконечного количества чисел или
бесконечного количества комбинаций чисел как упаковку яиц и думаем, что и здесь мы можем применить закон исключенного третьего: либо да, либо нет.
Но откуда это представление, что мы можем обращаться так не только с конечным, но и с бесконечным количеством вещей, напри мер числами? По мнению Лоренцена, объяснение таково: в древ ности, по крайней мере после Аристотеля, только конечное рассма тривалось как «актуальное» . Но в Средневековье иудейско-
В более сильной форме это утверждение сформулировал Эйлер: любое четное число, начиная с 4-jc, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, 8 = 3 + 5, 20 = 7 + 13, 44 = 13 + 31. При этом воз можны варианты: 20 = 7 +13 = 3 + 17, 44 = 3 + 41 = 7 + 37 = 13 + 31, но, как гласит теорема Гольдбаха, по крайне мере одна такая сумма существует.
По Платону, актуальная бесконечность существует: «Если существует одно, то необходимо, чтобы существовало и число. Но при существовании числа должно быть многое и бесконечная множественность сущест вующего. В самом деле, разве число не оказывается бесконечным по количеству и причастным бытию?» (Парменид. 144а). «В этом отрывке — сказал Нейдхарт, — лежит корень математического платонизма, который подтверждает актуальное существование бесконечных множеств» (Neid-
498 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
эллинистическое представление бесконечности Бога слилось с аристотелевской актуальностью Бога, — и только с тех пор мы привыкли говорить об актуальной бесконечности; в эпоху Возрождения начали говорить даже о бесконечности земного мира. Вместе с тем утверждалось, что человеческое мышление способно воспроизводить мышление Бога. И тут, говорит Лоренцен, скрываются предмнения, которые лежат в основе современной классической математики. Тот факт, что большинство математиков не принимали взглядов Брауэра, связан не с тем, что эти взгляды усложняют математику (если Брауэр прав, то, ради истины, надо следовать им, несмотря на трудности!), но с тем, что они противостоят теолого-метафизическим, — ив конце концов плато ническим, — убеждениям классических математиков.
Возьмем опять ряд натуральных чисел. Все вместе они пред ставляют, как говорят, «множество». Квадраты этих чисел тоже представляют множество, как и четные числа, простые числа, числа больше 5 и т. д. Эти множества определяются с помощью свойств1 . Они являются, очевидно, частями ряда натуральных чисел, поэтому и называются подмножествами. И очевидно, что существует бесконечное количество подмножеств.
Интересно, что в современной математике говорится также о всевозможных (!) подмножествах, которые объединяются (!) под названием «множества подмножеств», или «степени множеств». А что это такое на самом деле? Ведь мы не определили это «множество» с помощью его свойств и не объяснили, как можно определить все подмножества! За верой, что мы в принципе можем
hart. Unendlichkeit im Schnittpunkt von Mathematik und Theologie. 2. Band. S. 499).
Множество простых чисел, например, определяется с помощью следую щего свойства: число χ называется «простым», если из уравнения х-т η следует, что либо m = 1, либо η = 1. По формуле: Vw,n (дг - m/i -* m -1 ν л -1)
Загадка интеллектуальной молнии 499
привести определяющие свойства для всех подмножеств, лежит определенное представление, а именно представление, что в мате матике все лингвистические средства даны нам как бесконечное множество яиц в коробочке, которые «в принципе» все доступны. Значит, этот пример классической математики можно понимать практически только на основании платоновских взглядов.
Вспомним слова Гаусса, которые мы уже цитировали: «Наконец, несколько дней назад, я преуспел, — но не благодаря моим тяжелым поискам, а только милостью Бога — так я хотел бы сказать. Как удар молнии, загадка была разрешена; я сам не смог бы выявить связующую нить между тем, что я знал раньше, моими последними попытками, — и тем, вследствие чего попытка удалась»1 . Многие математики сталкивались с этим феноменом: без собственного труда проблема не решается — «Ничего не приходит из ничего!», — но важнейшая мысль приходит «извне». Чистяков, например, напоминает, что у Архита, который решил знаменитую делосскую задачу, был «необыкновенно тонкий ум и весьма большой талант», но это не все — решение Архита «вызы вает восторг и удивление даже у современных математиков. Так, например, крупный голландский математик Ван дер Варден, извест ный своими трудами по современной алгебре и замечательными исследованиями по истории античной математики, излагая метод Архита... не мог воздержаться от восклицания: "Разве это не замечательно? Архита, должно быть, осенило некоторое поистине божественное вдохновение, когда он нашел это построение"» .
Каждый студент испытывает нечно подобное, хотя, конечно, и в меньшей степени: бывают моменты, когда он не просто верит профессору и более-менее с пониманием следует его объяснениям, но ясно чувствует: «А-а-а, — сейчас я понял!» А то, что в этот
Письмо Гаусса к Олберсу от 3 сентября 1805 г. (Gauss. Werke Х/1. S. 25). Чистяков. Три знаменитые задачи древности. С. 14-15.
500 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
момент происходит, невозможно объяснить лишь с рациональной точки зрения, — скорее это действительно похоже на удар молнии. И тогда студент понимает смысл мифа Платона о припоминании того, что его душа видела раньше.