506 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ
В4: Правильно или просто удобно?
Выше мы говорили о том, что платоники настаивают на «истине», а формалисты (так же как и «нечестные платоники») удовлетво ряются «удобством». Приведем здесь две яркие цитаты:
«Попытки достичь абсолютно истинных основ математики закончились неудачей. С другой стороны, профессиональные мате матики просто продолжают работать в своих областях математики, не задаваясь вопросом об обосновании получаемых результатов. Такая точка зрения удобна, но возникает вопрос: а являются ли получаемые результаты истинными, и если да, то в каком смысле они таковыми являются?»
«Понимание математики как чистого вычисления (Kalkül) не вызывает острых дискуссий. Они возникают, как только мате матика начинает пониматься как "система знаний"... Если мы понимаем математику как инструмент дедукции в области эмпирического знания, а не как научную систему, то мы видим, что целый ряд спорных моментов — это вопросы не истинности, а практического применения. Вопрос принимает следующий вид: какая форма математической системы является технически самой подходящей для предполагаемой цели? Какая система гарантирует наивысшую надежность? Если мы сравниваем, например, системы классической и интуиционистской математики, то видим, что первая гораздо проще и технически намного практичнее, в то время как вторая лучше предохраняет от неожиданных происшествий, — например, противоречий. В настоящий момент очень трудно оценить степень надежности системы классической математики; говоря другими словами, решение, какую степень убедительности следует приписывать ее принципам, остается субъективным. Большинство математиков, кажется, считают эту степень убеди тельности достаточно высокой для всех практических целей и
Хаханян. О тезисе Черча и принципе униформизации. С. 205.
Возможно ли окончательно обосновать математику? 507
поэтому предпочитают применять классическую, а не интуицио нистскую математику» .
Вопрос к философу: почему бы не довольствоваться тем, что математика полезна и хорошо функционирует? Почему надо искать «истину»? Зачем она нам нужна? Что она «дает» нам?
Этот вопрос тесно связан с предыдущим параграфом. Как и там, мы находим здесь различные, зачастую противоречивые мнения. Пауль Финслер, как мы видели, настаивал на том, что математика стоит на абсолютно надежном фундаменте. Н. Г. Баранец, напротив, счи тает, что этот фундамент принципиально не является «твердым». Чтобы инициировать дискуссию, можно вручить участникам такие противоречащие друг другу цитаты:
Φ «Математические факты не зависят от времени, они
10
вечны, в то время как природные явления преходящи» . «Чистая математика, которую мы исследуем, не зависит от нашего человеческого несовершенства»11.
(D «Вопрос об основаниях математики и знания вообще на современном уровне не может быть разрешен в окончатель ном виде и остается открытым» .
Можно выдать и следующий текст, который более подробно описывает обсуждающуюся ситуацию — и ставит вопрос о точке зрения самого автора:
Carnap. Grundlagen der Logik und Mathematik. S. 70-71. Finsler. Und doch Piatonismus. S. 267.
Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 177.
Баранец, Веревкин. О судьбе математических конструктивистских школ А. А. Маркова и Э. А. Бишопа. С. 217.
508 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ
(D «Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское тече ние) и современных подходов (аксиоматический и теоретикокатегориальный) показывает, что проблема философского обосно вания такова, что она постоянно остается проблемой и, очевидно, останется таковой и в дальнейшем. Одной из основных задач фило софии часто полагают ее устремленность на решение вечных про блем. Это такие вопросы, которые волновали человечество всегда, поскольку бытие постоянно открыто нашему взору, предъявляя ему все новые горизонты для раздумий и помыслов. Далее, это пробле мы, ответ на которые каждый человек ищет для себя сам, раскры вая свою сущность. Как говорится, jeder stirbt fur sich allein (каж дый умирает в одиночку13). Наконец, вечными подобные вопросы становятся потому, что не находят окончательного ответа, ибо его нет. Потому человечество по отношению к подобным темам всегда
впути, в неизменном поиске. К числу таких вечных проблем, оче видно, относят и задачи философского обоснования математики. В этом смысле, если иметь в виду нашу тему, математика обречена всегда находиться в "кризисной" ситуации. Но от этих системати ческих потрясений математика не гибнет. Наоборот. Характеризуя итоги исследований в области обоснования, М. Бунго отметил, что ныне уже никому не следует принимать позу человека, выработав шего "окончательные решения" и разрушившего тем самым все иные концепции. О результатах можно сказать так. Теории обоснования не похожи на здания, развалившиеся при замене фундаментов. Их лучше уподобить растущему организму с частями хрупкими и взаимно друг друга уравновешивающими. Процесс обоснования — это процесс поиска своего рода "вечной" истины. Он не может иметь окончания, но каждый его шаг обогащает наше понимание, продвигая к более полному знанию. "Достоверность" никогда не может быть достигнута, "основания" никогда не могут быть обоснованы, — пишет И. Лакатос, — но "хитрость разума" превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания,
вцель математики"»14.
Более точно: «Каждый человек переживает свою личную смерть». Сухотин. Философия математики. VIII, 3.
Можно ли обойтись без актуально бесконечного? 509
В6: Молено ли обойтись без актуально бесконечного?
Представление о том, что бесконечное множество вещей, например множество натуральных чисел, дано нам «актуально», выглядит очень смелым (хотя и встречается уже у Платона), и неудивительно, что оно вызывает различные сомнения. Возьмем, например, следующий бесконечный ряд:
5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + ...
Его сумму можно определить так:
(5-5)+ (5-5)+ (5 - 5)+ ... = 0 + 0 + 0+...= 0
или так: |
|
5 - ( 5 - 5 ) - ( 5 - 5 ) - ( 5 - 5 ) - . . . = 5 - 0 - 0 - 0 - . . . |
= 5 |
То есть, просто применяя алгебраические правила, мы получаем разные результаты. Очевидно, что эти правила не работают, когда речь идет о бесконечности. Можно также вспомнить, что утверж дение «Целое больше, чем часть» неверно в сфере бесконечного количества чисел: множество четных чисел, например, дейст вительно является частью множества натуральных чисел и, следовательно, их должно быть меньше, чем всех натуральных чисел. Но на самом деле их не меньше, так как каждому четному числу соответствует одно натуральное число, и наоборот:
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
I |
I |
I |
I |
I |
I |
I |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
... |
Значит, наши обычные правила и представления перестают дейст вовать в сфере бесконечного. Это заметил уже Галилей, а Бернард Больцано написал целую книгу о проблемах в этой сфере .
Bolzano. Paradoxien des Unendlichen. См. также: Fraenkel. Das Problem des Unendlichen in der neueren Mathematik. S. 279-297.
510 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ
И все же многие математики считают, что нельзя отказаться от понятия актуально бесконечного. По Гильберту16, реальность всегда конечна, но бесконечное неизбежно появляется в мате матике в двух случаях. Во-первых, в формулах. Формула
12+22 + 32 +... + п2 = ^я(я + 1)(2л + 1)
например, содержит бесконечно много высказываний, и в этом проявляется сама суть формул. Во-вторых, в методе идеальных эле ментов, где конечно-конкретное дополняется до тотальности (на пример, при применении терминов «все» и «есть» Вейерштрассом). Гильбертовский ряд примеров легко можно продолжить. На самом деле представление, что бесконечное «дано» нам актуально, встре чается в классической математике сплошь и рядом .
Но возникает следующий вопрос: как воспринимать эту бес конечность? Считаем ли мы, что она действительно существует в физическом (или хотя бы в идеальном) мире? Или мы понимаем ее в ограниченном, небуквальном смысле Гильберта, т. е. просто как «фигуру речи», которая сама по себе бессмыслена, но делает теорию проще и позволяет получить интересные и даже полезные результаты?
Многие математики не задаются этими вопросами, но фило софу нужна «истина» о бесконечном. Какие выводы, спрашивает он, предполагают «реальное» существование бесконечного коли чества, скажем, чисел? А что касается Гильберта, он спрашивает: если эта «фигура речи» при этом оказывается столь полезна или даже фактически неизбежна, то разве не предполагается, что ей принадлежит какая-то «реальность»?
Hubert. Über das Unendliche. S. 80, 81-83, 94-108. Ср. также: Hubert. Natur erkennen und Logik. S. 960.
Приведем хотя бы один пример: «Если мы признаем лишь потенциально бесконечные множества, то вряд ли следует признавать доказательства теорем Геделя о неполноте абсолютно безупречными» (Чагров. Бесконеч ность, всеведение, теоремы Геделя о неполноте. С. 208).