456 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА
Этот элемент критики и самокритики крайне важен и в сегодняш нем научном процессе. И к счастью, есть прекрасные положитель ные примеры. М. А. Розов писал о книге H. Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» следующее: «Так что поразило у Лузина?.. Ощущается некоторая рефлексивная от страненность автора от того, что он излагает. Автор не слился с этой теорией, не идентифицировался с ней, он стоит в стороне, точно скульптор, вытирая руки и критически оглядывая то, что
получилось, с полным сознанием отсутствия окончательных
126
штрихов» . То, что Розов пишет о книге Лузина, чувствуется также в трудах Платона.
Все же надо согласиться, что способность к критическому мыш лению, когда она нацелена на самого мыслителя, часто является очень слабой, если вообще есть. Дело в том, что, как считал Эйлер, человеческий разум находится под влиянием извращенной воли, и эта воля очень не любит самокритики, она направлена только на защиту и оправдание своих личных убеждений перед другими мнениями. И здесь лежит третья причина, почему «экскурсии» в математическую область так полезны: на основании полученного таким образом опыта философ становится более способным созерцать и исследовать свои собственные предмнения — т. е. ставить самокритический вопрос платоновского Сократа:
А если вдруг наша предпосылка была неверна?
Самокритика — это необходимая, но при этом сложная и не приятная работа (вспомним высказание Эйнштейна: «Самый сложный путь — это путь внутрь самого себя»), и здесь, повторим, реальный опыт исследований предмнений в сфере математики очень помогает. Если философ при занятии математикой вдруг воскликнет: «О ужас! Как я мог так сильно ошибаться!», он будет более готов к осторожности и самокритике и в своей собственной области.
Розов. О стиле в науках. С. 22. Менон. 89с.
Послесловие от автора 457
Кстати, последние результаты нейрофизиологических исследо ваний проливают свет на этот непростой путь к новым взглядам и привычкам. Они показывают, что наш мозг обычно предпочитает функционировать в уже знакомом направлении — закон инерции работает и здесь! — т. е. мозг стремится к сохранению и защите уже полученного, пока не возникнут достаточно сильные новые требо вания. Так, Геральд Гютер, профессор нейробиологии университета Маннхейма, пишет о том, что наш мозг — это самоорганизующаяся система, которая постоянно приспосабливается к внешним условиям. «Если эти условия довольно долгое время не изменяются, остаются неизменными и те пути решения проблем, и те соединения нервных клеток в мозге, которые использовались раньше для преодоления этих требований. Если они возрастают постепенно, то ничего не происходит. Мозг продолжает работать как раньше — как компьютер, который не понимает, что он слишком медленный и что его жесткий диск слишком мал. В случае, когда мы ощущаем, что требования начинают превосходить наши способности, наш мозг включает механизм, который развивает, прокладывает и делает более эффективными те связи, которые нужны для их выполнения. А если вид этих требований принципиально изменяется? То сначала опять ничего не происходит — мозг продолжает работу как разум ный, обучаемый компьютер, который не замечает, что он теперь выполняет ошибочную программу. Только если мы чувствуем, что ситуация изменилась так сильно, что мы больше не можем продвигаться вперед с прежними стратегиями, — тогда наш мозг включает механизм, который развивает связи в мозгу, проложенные для новых задач. И тогда нам дается возможность попробовать что-
128
то новое и, если это функционирует, переучиться» . Значит, надо надеяться, что иногда мы будем сталкиваться с достаточно мощ ными новыми требованиями...
При обнаружении предмнений как в математике, так и в фило софии необходимо рассматривать всю историю научных мнений и утверждений. Задачу философии математики можно, следовательно,
Hüther. Biologie der Angst. S. 82. (Курсив мой.)
458 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА
описать так: «Пролить свет на предварительные решения, скрытые уже в самом начале образования теорий в математике, таким образом, что она вставит эти предварительные решения в более широкий контекст истории всех наших донаучных мнений. Только на этой основе они смогут дойти до сознания, и только отсюда может возникнуть воля к изменениям»129.
Но самокритичные философские размышления не исчерпы ваются открытием умопостигаемых предмнений. Дело намного сложнее. Что лежит за ними? Какие чувства, эмоции, истории, испытания, надежды, стремления и страхи приводят человека к решению стать, допустим, математиком-платоником, а не форма листом или интуиционистом? или стать математиком вообще? И если человек выбирает математику, чего он ищет в этой науке? Ищет ли он правду, истину, которую невозможно найти в другой науке? Может быть, но не обязательно. Гильберт считал, что лучше отказаться от поисков истины — достаточно, если построенная на аксиомах система будет возможной, т. е. непротиворечивой . Кроме того, он назвал и еще одну инстанцию: «Необходим успех — он является наивысшей инстанцией в математике, и ему покоряется каждый»1 '. Такие высказывания указывают на определенное миро воззрение и на особый темперамент; и действительно, Бернайс сказал, что математика для Гильберта имела значение мировоз зрения, и тот обращался к математическим проблемам как завое
ватель, стремящийся добиться от математического мышления как
132
можно более широких властных полномочий . Отсюда психоло гически понятно, почему Гильберт так резко и неумолимо воевал
Lorenzen. Wie ist Philosophie der Mathematik möglich? S. 199.
Так Бернайс описывал позицию Гильберта. См.: Bernays. Über Huberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik. S.U.
Hubert. Über das Unendliche. S. 81. Когда Френкель писал о сторонниках такого образа мыслей, он говорил не об «успехе», а о «плодотворности», что звучит несколько симпатичнее! (Френкель, Бар-Хиллел. Основания теории множеств. С. 406)
Bernays. Die Bedeutung Huberts fur die Philosophie der Mathematik. S. 94.
Послесловие от автора 459
против Брауэра : он боялся, что брауэровская программа изгнала бы математику из обширного «рая», созданного Кантором.
Обладая совсем другим характером, Герман Вейль реагировал на программу Брауэра по-другому. Действительно, сказал он, эта программа влечет за собой далеко идущие ограничения в матема тике, но это хорошо. В противоположность неопределенной все общности, к которой нас приучил за последние десятилетия существовавший до сих пор анализ, мы должны заново научиться скромности. «Мы хотели атаковать небо, — но лишь нагромоздили один туман на другой»
Еще один взгляд, демонстрирующий другую черту характера, мы находим у Оскара Бэккера. Страх, сказал он, — это та движущая сила, из-за которой человек занимается математикой, но не страх перед изгнанием из канторовского рая, как у Гилберта, а экзистенциальный страх — страх смерти. В конечном счете мате матик стремится к овладению бесконечным с помощью конечного. И здесь обнаруживается не что иное, как попытка математика преодолеть с помощью бесконечных конструкций свою конечность, свое пребывание в руках смерти, которое — возможно, совсем бессознательно, — глубоко пугает его135. Интересно при этом, что здесь роль математики сходна с ролью религии. Когда Д. К. Бурлака описывает религию таким образом: «Религия — это попытка человека выйти за пределы времени как такового... это творческая попытка живого человека приобщиться к вечности, осуществляемая в границах времени» , то стоит лишь заменить слово «религия» на «математика», и получится высказывание в духе Беккера.
Гильберт потребовал, например, чтобы Брауэра вычернули из списка издателей главного математического журнала «Mathematische Annalen», и добился этого, принизив при этом научную репутацию Брауэра.
134Weyl. Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik. S. 16-17.
135Более детальные рассуждения можно найти в сочинениях Бэккера: Becker. Mathematische Existenz. S. 439-809; Idem. Grosse und Grenze der mathe matischen Denkweise.
136Бурлака. Автореферат. С. 33.
460 ПОСЛЕСЛОВИЕ от АВТОРА
Итак, мы увидели не только научные предмнения, но и экзистенциальные условия, воздействующие как на выбор мате матики в качестве сферы деятельности в целом, так и на выбор того или иного математического направления. Теперь можно спросить: какие черты характера побуждают человека выбрать такое направ ление, как математический платонизм? (При этом мы, конечно же, имеем в виду не поверхностный платонизм классической мате матики, которая не заботится о своих основах, а те взгляды на математику, в которых обнаруживаются существенные элементы платоновской философии). Мы полагаем, что имеется 5 таких существенных элементов: а) истина; β) мораль; γ) честность; δ) бесстрашие и ε) деятельность.
137
а) Истина. В математике, как говорит А. А. Ивин , исполь зуется три разных толкования истины, взаимно дополняющие друг друга: истина как согласованность, как средство, ведущее к успеху,
икак соответствие. Мы уже приводили специфическую точку зрения Гильберта по этому поводу; добавим еще следующее его высказывание: «Если произвольно выбранные аксиомы не противо речат друг другу со всеми своими последствиями, то они правдивы,
итогда существуют определенные этими аксиомами вещи. Вот это
138
для меня критерий истины и существования» . Витгенштейн
Ивин. Проблема истины в математике. С. 48.
Гильберт в письме к Фреге, опубликованном в: Unbekannte Briefe Frege's
über die Grundlagen der Geometrie und Antwortbrief Hubert's an Frege // Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Mathe-
matisch-naturwissenschaftliche Klasse, Jg. 1941. 2. Abhandlung. S. 17.
«В принципе, — так описал этот взгляд Л. А. Калужнин, — свойства и отношения, сформулированные в аксиомах, совершенно произвольны. На них накладывается только требование непротиворечивости, т. е. невоз можности вывода из них какого-либо утверждения А и его отрицания -Ά. Но, конечно, в действительности аксиомы выбираются так, чтобы они отражали какие-то существенные стороны действительности. Так сразу видно, что в аксиомах Гильберта сформулированы некоторые свойства и отношения, которые соответствуют привычному содержательному пониманию. Но — и именно это важно подчеркнуть — после того как сами отношения и встречающиеся в них понятия абстрагированы от дейст-