г) Философия 441
сколь ни полезным оно могло бы оказаться для успехов защи щаемого ими дела (религии)»83.
г) Философия
Отношение философов к математике, как мы уже определили, противоречиво, и достаточно часто это — отторжение. По Бретшнейдеру, эту ситуацию можно наблюдать уже у древних фило софов, и он дает этому такое обоснование: «Чем больше геометрия становилась строго сформулированной наукой, и чем более необхо димым оказывалось основательно изучать ее, чтобы быть в состоянии участвовать в разговоре о ней, тем больше она начинала вызывать антипатию у тех, кто считает себя призванным поделиться своим мнением обо всем, в том числе о том, чего они не понимают. Тупое пренебрежение, с которым и в наши дни некоторые из так называемых гуманитариев свысока смотрят на точные науки, начинало проявляться уже тогда. Не только софисты и демагоги, но и Сократ не был заинтересован в серьезных занятиях этими вещами. Математикой, астрономией и тому подобным, утверждал он , можно заниматься только ради самих необходимых потреб ностей практической жизни; любое более глубокое проникновение в эти науки является бесполезным или даже вредным. Одна из самых больших заслуг его ученика, Платона, состоит в том, что он своим примером и своим учением вытеснил это мещанское воз зрение на задний план и на столетия сделал бесспорным правилом, что по-научному образованный человек, философ, должен быть
85
прежде всего хорошо осведомлен в математике» .
Кантор. Труды по теории множеств. С. 292-293.
Примеч. Бретшнейдера: «Ксенофонт подробно излагает представления Сократа о бесполезности и ненужности точных исследований (Воспоми нания о Сократе. IV, 7). Отсюда Диоген Лаэртский (II, 5, 16) перенял из речение: έφασκέ τε δεΐν γεωμετρεΐν, μέχρι αν τις μετρώ δύνηται γην τε παραλαβεΐν και παραδοΰναι. "Геометрией, скажет он, следует заниматься только для того, чтобы быть в состоянии отмерить кусок земли или измерить себя"».
Bretschneider. Die Geometrie und die Geometer vor Euklides. S. 136.
442 ВЛИЯНИЕ ПЛАТОНОВСКОГО МЫШЛЕНИЯ
Приведем сначала конкретный пример того, как Платон при менял математику в философских рассуждениях. Мы уже обсуж дали знаменитый отрывок, где Теэтет рассказывает о достижениях Теодора, касающихся иррациональных отношений . Бернет подро бно доказал , что этот текст, несомненно, служит свидетельством замечательных математических достижений (и также показывает
знания Платона в этой сфере), но в контексте диалога этот
88
математический экскурс имеет «драматическую функцию» : он является ярким примером математических поисков ответа на философский вопрос «Что есть знание?». И Сократ поощряет Теэтета к использованию методов и опыта, взятых из математики, также и в этой новой сфере, как бы говоря: «Возьми на себя смелость и постарайся добраться до смысла самого знания!» Математика как образец целесообразного хода мышления полезна и в философских исследованиях!
Но в сфере философского и теологического мышления «матема тический оттенок» философии Платона является значимым и по другой причине. Напомним, что Платон ценил в математике мощь самостоятельного и неоспоримого способа мыслить, освобож дающего от непонятных и больше ненужных традиций, т. е. он уповал на просветительскую роль математики. «Если сегодня собственным разумом можно доказать нечто так, что даже Бог не сможет пошатнуть это доказательство, то как могут столетия культурной традиции до сих пор производить на нас впечат ление?»91 В истории философии этот «дух свободы», это убеждение
Теэтет 147d-148b. См. также параграф 2.10 наст. изд.
87Burnyeat. The philosophical sense of Theaetetus' mathematics. P. 489-513.
88Ibid. P. 512.
89Ср.: Теэтет. 148d.
90«Интерес и значение этих усилий мальчика заключаются в сформулиро ванных им общих условиях несоизмеримости. Именно это, и только это, Сократ впоследствии сделает для Теэтета моделью, которой нужно следо вать при ответе на вопрос "Что такое знание?"» (Burnyeat. Op. cit. P. 502).
91Froese. Pythagoras & Co. — Griechische Mathematik vor Euklid. S. 4.
г) Философия 443
в силе и надежности самостоятельного и тщательного мышления иногда затихали, но никогда не исчезали полностью. Всегда были блестящие мыслители, которые, уподобляясь Платону или прямо следуя за ним, занимались математикой для очищения ума или для выражения чего-то, что без помощи математики выразить нелегко. Это касается в первую очередь непосредственных наследников Платона. «Платоники действительно усердно занимались τα μαθήματα: Спевсипп первым стал усматривать в математических науках общее и, насколько это возможно, связывать их воедино, ему принадлежат сочинения Μαθηματιτκός и Περί τών Πυθαγορείων;
Ксенократ написал Περί τα μαθήματα в шести книгах, Περί γεωμετρών в пяти книгах, Περί αριθμών, Αριθμών θεωρία, Περί αστρολογίας, Περί γεωμετρίας»92.
Блестящим примером здесь может также служить неоплатоник Прокл, который написал подробный комментарий к первой книге «Начал» Евклида, определив при этом принципиальные обсуждения сущности математики.
Непосредственные наследники Платона также ссылались на него и на его «математически окрашенную» философию. Августин использует авторитет Платона, применяя арифметику в своих рас суждениях о неограниченных возможностях Бога. Он пишет: «Всем известно, что числа бесконечны, потому что какое бы число ты ни признал их завершением, оно не только может увеличиться через прибавление другого числа, но как бы велико ни было и какое бы большое количество ни обнимало в самом счете и в науке счис ления, не только может удваиваться, но даже умножаться. Но всякое число ограничивается своими свойствами, и никакое из них не может быть равным какому-либо другому. Таким образом, они не равны одно другому и различны, каждое из них в отдельности конечно, но все вместе — бесконечны. Итак, неужели Бог не знает
Жмудь. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. С. 324. Математические интересы Спевсиппа и Ксенократа описывала Мочалова: Метафизика ранней академии и проблемы творческого наследия Платона и Аристотеля. С. 263.
444 ВЛИЯНИЕ ПЛАТОНОВСКОГО МЫШЛЕНИЯ
всех чисел вследствие их бесконечности и неужели ведение Божие простирается лишь на некоторую сумму, а остальные числа не знает? Кто, даже из самых безрассудных людей, скажет это? Но не решатся презирать числа и признавать их не подлежащими божественному ведению те, для которых имеет значение авторитет Платона, внушающего, что Бог на основании чисел сотворил мир...
Итак, мы не должны сомневаться в том, что Ему известно всякое
ЧИСЛО»93.
Математически окрашенное мышление, конечно же, может существовать и без прямых ссылок на Платона. В Средние века Николай Кузанский вспомнил о высказывании Боэция, что тот, у кого нет практики в области математики, не может заниматься вопросами о божественном на научном уровне. Сам Кузанский в трактате «Об ученом незнании» не только использовал заголовки вроде «О том, что математика лучше всего помогает нам в пони мании разнообразных божественных истин» или «Как мы намерены пользоваться математическими знаками»94, но и часто приводил различные математические соображения.
Интересна и следующая история. 4 июля 1867 г. знаменитый математик Куммер прочитал торжественную речь на празднике в честь Лейбница в Прусской академии наук в Берлине. Из этой речи видно, что точка зрения Платона на сущность математической истины была вполне жива и в XIX столетии. Куммер упоминает о ряде Лейбница
π Л 1 1 1 4 = 1 - 3 + 5 - 7 + - "
и говорит по этому поводу следующее: «В первой публикации Лейбниц добавил к окончательному результату, который содержал бесконечный ряд нечетных чисел как отдельных звеньев, следую щие слова: numéro dem impari gaudet! Бог радуется нечетным числам! Мы видим в этом выражении прежде всего, что сам Лейбниц посмотрел на этот новый бесконечный ряд, в его простой и
Августин Блаженный. О граде Божием. XII, 18. Николай Кузанский. Об ученом незнании. I, 11-12.
г) Философия 445
при этом бесконечно разнообразной форме, с удивлением и изум лением, и что этот ряд подействовал на него подобно тому, как действует на человека вид бескрайнего моря или великолепной горной местности. Каждый математик может вспомнить подобные ощущения, поскольку в царстве математического господствует своеобразная красота, которая схожа не только с красотой художественного произведения, но и, даже более, с красотой при роды, и которая воздействует на вдумчивого человека подобным же образом, как они. Но то, что Лейбниц восклицает: "Бог радуется нечетным числам", — это имеет еще более глубокий смысл, так как здесь выражено осознание того, что царство математического с его бесконечно разнообразным содержанием — это не какая-то "халтура", а творение Бога, которое проявляется для нас объек тивно, как и видимая природа»95.
Безусловно, есть большая разница между тем, как пользуются математикой Августин и Николай Кузанский, с одной стороны, и Лейбниц — с другой. Первые двое используют математические пассажи для иллюстрации своего учения, а Лейбниц восхищается самой математикой — на основании глубоких математических исследований. У Платона мы находим и то и другое. Он также использует математику для иллюстраций, но в то же время требует и большего. По его мнению, философ не может довольствоваться неполным математическим знанием: «Те, кого мы воспитываем, пусть даже не пытаются изучать что-нибудь несовершенное...»96 Правда, мы точно не знаем, какую роль Платон отводил урокам математики в системе образования детей, подростков и взрослых в своей Академии97, но «Государство» (539-540) и VII книга
Цит. по: Meschkowski. Probleme des Unendlichen. S. 58-59.
Государство. 530е. См. также: Законы. 820с — «Необходимо иметь их [соизмеримость и несоизмеримость] в виду и различать, иначе человек будет совсем никчемным».
«О том, какую математику изучали в античных школах, мы знаем, по сути дела, очень мало» (Щетников. Введение к главе «Теон Смирнский» // Пифагорейская традиция. С. 418). И если спросят отдельно, «как выглядели учебные программы и программы исследований в академии