Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

416 ВЛИЯНИЕ ПЛАТОНОВСКОГО МЫШЛЕНИЯ

себе те математические сущности, которые имеют какое-то общее

свойство; и, во-вторых, множества принимаются как единства,

17

которые могут сами стать элементом какого-то множества . Сходным образом дело обстоит и с аксиомой выбора: «Из любого семейства а непустых попарно непересекающихся множеств Ь можно образовать множество d, в котором есть по одному элементу с от каждого множества Ь данного семейства а». Звучит хорошо, но что означает выражение «можно образовать»? На самом деле аксиома не дает никакой подсказки, как можно сконструировать множество d. Кроме того, нет и никакой «необходимости» это делать, поскольку все множества «существуют в платоновском математическом небе» и там обладают своими свойствами, неза­

висимо от того, можем мы определить их конкретно или нет. Это

18

типично для «платонизма в математике» .

Также платонический характер обнаруживается в современной геометрии — и даже сильнее, чем во времена Платона. В параграфе 2.4 мы говорили, что в «Началах» Евклида не используются никакие материальные средства, что они содержат только чисто теоре­ тические размышления. Все же Евклид в каком-то идеальном смысле занимается геометрическим «конструированием»; первый постулат, например, звучит так: «Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». Но в «Основаниях геометрии» Гильберта мы уже не находим никаких человеческих

«L'inspiration platonicienne de l'axiome de compréhension saute aux yeux; en effet, les ensembles se présentent en premier lieu comme des multitudes embrassant les entités mathématiques ayant une certaine propriété en commun; mais en second lieu, un ensemble est accepté comme une unité capable de se présenter à son tour comme élément d'une multitude» (Beth. L'existence en mathématiques. P. 43).

Ср. описание взглядов платоников y Френкеля: «Платоники убеждены, что для каждого правильно определенного одноместного условия существует, вообще говоря, соответствующее множество (или класс), состоящее из всех тех и только тех предметов, которые удовлетворяют этому условию, и что это множество само является предметом с таким же полноправным онтологическим статусом, как и его члены» (Френкель, Бар-Хиллел. Осно­ вания теории множеств. С. 399).

а) Математика 417

действий, никакого «проведения»; все предметы (например, прямые

линии) уже существуют (и существуют вечно) в геометрическом небе19.

Добавим несколько слов о создателе теории множеств, Георге Канторе. Многие читатели Кантора удивились, прочитав в V разделе его статьи «К учению о трансфинитном» длинную сноску, в которой он привел слова бл. Августина, свидетельствующие о его вере в актуальную бесконечность20. А ведь сам Августин, как известно, ссылался на Платона!21 Но и у Кантора есть прямая ссылка на Афинянина. Он писал: «Учение о многообразиях. Этими словами я обозначаю одну чрезвычайно обширную дисциплину, которую до сих пор я пытался разработать лишь в специальной форме арифметического или геометрического учения о множествах. Под "многообразием" или "множеством" я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую сово­ купность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона, и таким образом я думаю определить нечто, родственное платоновскому είδος; или ιδέα, а также тому, что Платон в своем диалоге "Филеб, или высочайшее

Гильберт не говорит о «небе», он выражается так: «Мы мыслим точки, прямые, плоскости находящимися в известных взаимных отношениях» (Гильберт. Основания геометрии, 1948. С. 2; курсив мой). Но где «нахо­ дятся» такие «мысленные точки», «мысленные прямые» и т. д.? Если бы они просто были произвольно придуманы, то каждый геометр мог бы изобрести свою личную геометрию — теоретически это возможно, но практически — нет. «Мы мыслим» на самом деле то, что «существует» одинаково для всех, и в тот момент, когда мы обнаружили другие, неевклидовы геометрии, можно сказать, что они всегда существовали, но мы о них не знали...

Кантор. Труды по теории множеств. С. 289-291.

«Итак, неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности и неужели ведение Божие простирается лишь на некоторую сумму, а остальные числа не знает? Кто даже из самых безрассудных людей скажет это? Но не решатся презирать числа и признавать их не подлежащими божественному ведению те, для которых имеет значение авторитет Платона, внушающего, что Бог на основании чисел сотворил мир...» (Августин Блаженный. О граде Божием. XII, 18).

418 ВЛИЯНИЕ ПЛАТОНОВСКОГО МЫШЛЕНИЯ

благо" называет μικτόν. Он противопоставляет его άπειρον, т. е. безграничному, неопределенному, называемому мною несобственно

бесконечным, равно как и πέρας, т. е. границе, и называет его

22

упорядоченной "смесью" обоих последних» . Кантор говорит об

пишет в одном из писем к Эрмиту следующее: «Вы прекрасно говорите в вашем письме от 27 ноября: "Целые числа, мне кажется, представлены как мир реальных вещей, существующий вне нас с той же абсолютной необходимостью, что и природные предметы, которые мы познаем через органы чувств и т. д." Но позвольте мне

Кантор. Труды по теории множеств. С. 101. (Курсив по оригинальному изданию: Cantor. Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Hildesheim: Georg Olms, 1966. S. 204.)

«Мы можем говорить о действительности или существовании целых чисел, как конечных, так и бесконечных, в двух смыслах. Строго говоря, это те же самые отношения, в которых вообще можно ставить вопрос о реальности каких-либо понятий или идей. Во-первых, мы можем считать целые числа действительными постольку, поскольку они занимают на основе определений вполне определенное место в нашем рассудке, вполне ясно отличаются от всех остальных составных частей нашего мышления, находятся к ним в определенных отношениях и, таким образом, опре­ деленным образом видоизменяют субстанцию нашего духа. Да позволено будет мне назвать этот вид реальности наших чисел их интра­ субъективнои, или имманентной реальностью. Но числам можно при­ писать реальность также постольку, поскольку их приходится рас­ сматривать как выражения или отображения процессов и отношений во внешнем мире, противостоящем интеллекту, поскольку, далее, различные числовые классы (I), (II), (III) и т. д. оказываются представителями мощностей, которые фактически встречаются в телесной и духовной природе. Этот второй вид реальности я называю транссубъективной, или также транзиентной реальностью целых чисел. При вполне реалисти­ ческой, но в то же время и не менее идеалистической основе моих размышлений, для меня не подлежит никакому сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в извест­ ных, даже бесконечно многих отношениях и транзиентной реальностью. Правда, установление этой последней по большей части принадлежит к самым трудным и утомительным задачам метафизики...» (Кантор. Труды по теории множеств. С. 79).

а) Математика 419

заметить по этому поводу, что для меня реальность и абсолютная закономерность целых чисел намного выше, чем у чувственного мира. И у этого имеется одно очень простое обоснование, а именно то, что целые числа, как отдельно, так и в их актуально бесконечной совокупности, существуют как вечные идеи in intellectu Divino в наивысшей степени реальности»24.

Необыкновенные слова для научной переписки! И ведь это настоящий платонизм! При этом любопытно, что Хайч, пред­ ставитель диалектического материализма, считает платоновскую позицию Кантора естественной и понятной и защищает Кантора от логицизма, формализма и интуиционизма26.

Разумеется, представители современного «математического платонизма» обычно не говорят о «вечных идеях in intellectu Divino», и главным образом благодаря двум моментам. Во-первых, возникновение антиномий в начале XX в. показало, что существуют проблематичные (по крайней мере, для нас) «вечные идеи», и эти антиномии обнаруживаются именно в понятии «множества», как его понимал Кантор. Во-вторых, в 1938 г. Курт Гедель доказал, что если система аксиом (ZF) консистента, то и система (ZF) + (СН) консистента27, а в 1963 г. Пол Коэн доказал, что если система

Кантор в письме от 30 ноября 1895 г. к Ш. Эрмите. Цит. по: Meschkowski. Probleme des Unendlichen. S. 262.

Мешковский в своей книге о Канторе пишет: «Рейдемейстер однажды сказал о Платоне, что его мышлению присущ "блеск бытия". Можно ска­ зать это и о мире идей основателя теории множеств. В этом смысле Кантор был платоником: он дал онтологическое обоснование математики» (Mesch­ kowski. Op. cit. S. 117).

«Вполне понятно, что Г. Кантор, обосновавший общую теорию множеств и обнаруживший трансфинитные числа, придерживался взглядов Платона» (Heitsch. Mathematik und Weltanschauung. S. 154). Хайч ощущает какую-то близость к Платону, и эта близость коренится в следующем: «Если мы вновь последуем за ходом мысли Кантора при выявлении трансфинитного, то можем установить, что этот ход характеризуется поистине диалектичес­ ким генерированием понятий» (Ibid. S. 321).

(ZF) — система аксиом теории множеств, создана математиками Цермело и Френкель. (СН) — гипотеза континуума, т. е. предположение Кантора

420 ВЛИЯНИЕ ПЛАТОНОВСКОГО МЫШЛЕНИЯ

аксиом (ZF) консистента, то и система (ZF) + поп(СН) консистента. Это значит, что существуют разные, даже бесконечно многие, теории множеств, и нам придется выбрать, с какой из них мы хотим работать, — в каждом случае это наш, человеческий, выбор. Можно, конечно, сказать, что мы выбираем только из уже готовых бесконечных возможностей, а в «математическом небе» или у Бога все эти теории существуют вечно и независимо от нас, но это уже

не очень убедительная позиция и «не то, что представлял себе

28

Кантор» . Но все же, несколько ограниченный, «очищенный» мате­ матический платонизм в смысле Бернайса — это действительно фундамент классической математики.

Однако платоновская философия имеет значение для матема­ тики еще и по другой причине. Вспомним о том, что за последние 300 лет математика пережила невероятное развитие: очень измени­ лись старые области математики, к ним присоединились и новые, ранее не существовавшие, а специальные исследования достигли небывалых высот. Форма и объем математики усложнились на­

столько, что один университетский профессор математики как-то

29

провозгласил: «Все так обширно — и дьявольски сложно!» Неудивительно, что в этой ситуации возникает потребность в син­ тезе более высокого уровня, который был бы в состоянии упоря­ дочить, обобщить и прояснить уже существующее знание. Некото­ рые подобные синтезы действительно были обнаружены. Например, теория функций классифицирует почти бескрайнее разнообразие функций, исследует их качества и проверяет их вычисления; группо­ вая теория обобщает совершенно различные структуры и описы­ вает их общие качества; теория мноэюеств учит рассматривать различные части математики с определенной общей точки зрения. Такие теории обнаруживают, конечно же, высокую степень абстрак-

(которое он не смог доказать), что мощностей между счетным множеством и континуумом нет, т. е. К - X,.

Purkert. Kontinuumproblem und Wohlordnung. S. 239.

Профессор Герберт Гросс, д-р матем. наук, в докладе, прочитанном 25 июня 1983 г. в математическом институте Университета Цюриха.