а) Математика 411
прямой линии или круга образованы из реальных ощущений посредством процесса абстрагирования. Но это мнение «оказы вается несостоятельным для каждого, кто достаточно отчетливо почувствовал, что сравнение двух восприятий может осущест вляться только посредством присоединения третьего элемента более высокого вида, к которому можно отнести отдельные восприятия. Это математическая идея»1.
Другая заслуга Платона заключается в том, что он дал философское обоснование основным геометрическим понятиям и представлениям. «Кажется, — пишет Бретшнейдер, — что до Платона никто серьезно не задумывался над логически строгим определением точки, линии, площади, прямой линии, уровня, угла и т. д. По всей вероятности, такие понятия просто выводились из чувственного восприятия, и никто не беспокоился об их строгой формулировке. Ранее геометры больше интересовались расши рением науки, нежели ее философском обоснованием... Поэтому до Платона не известно никаких попыток проверить основные положения геометрии и обосновать их логически... Поэтому мы считаем главной заслугой платоновской школы то, что она усердно изучала именно этот вопрос» .
Далее: Платону принадлежит изобретение — или, по крайней мере, активное продвижение — аналитического метода в научных исследованиях, заключающегося в постановке и проверке гипотез. Артман пишет об этом так: «Все, что мы узнаем из Федона (100а-е),
— это то, что мы предлагаем гипотезу, развиваем ее, отвергаем несовместимые с ней предположения и проверяем получившийся результат на согласованность. При наличии очевидно согласо ванной гипотезы дальнейшая проверка возможна только через ссылку на более мощную гипотезу, которая подлежит такому же развитию и проверке. Подобные процедуры остаются главными в математической методологии, и предложения Платона стали в наше
Locher-Ernst. Mathematik als Vorschule zur Geist-Erkenntnis. S. 115. (Курсив мой.)
Bretschneider. Die Geometrie und die Geometer vor Euklides. S. 143-144.
412 ВЛИЯНИЕ ПЛАТОНОВСКОГО МЫШЛЕНИЯ
время обычной методологией. Но нет никаких доказательств, что кто-либо выразил эти идеи до Платона, и в любом случае то значение, которое он им придавал, и та сила, с которой он их выразил, сделали их неотъемлемой частью обширной последующей рефлексии в математике в частности и в знании в целом» .
Эрнст Мах также подчеркивал как важность этого метода при решении задач, так и заслуги Платона в этой сфере: «Несомненно, удачный психологический инстинкт, свойственный гениальным натурам, привел Платона к открытию аналитического метода. Мы знаем только то, что случайно испытали, — с помощью чувств или в мыслях. В области, в которой у нас нет опыта, мы не можем решать задачи. Чтобы сократить неизвестное до минимума, не существует лучшего способа, чем представить искомое и данное уже соединенными, а потом пройти этот путь, теперь уже легче узнаваемый, от первого к последнему в противоположную сторону»10. Асмус подчеркивает, что этот метод — диалектика — не только сам по себе является подходящим, но также становится
Artmann. Plato and mathematics. P. 11. Ср. также оценку Гайденко: «Каким способом строит Платон каждый из рассмотренных кругов рассуждения? Как мы уже упоминали, он применяет здесь особый метод, а именно: при нимает определенное допущение — гипотезу и прослеживает затем, какие утверждения следуют из нее. Этот метод получил впоследствии название гипотетико-дедуктивного, и значение его для развития науки нельзя пере оценить. Его дальнейшей логической разработкой мы обязаны Аристо телю, а его применением к математике, вероятно, — современным Платону математикам — Архиту, Евдоксу и др. Во всяком случае, тот способ доказательства, которым пользуется Евклид в "Началах", построен по тому же образцу: делается определенное допущение на основе принятых аксиом и постулатов, а затем показывается, какие следствия должны вытекать из него. Правда... применения этого метода у Платона и Евклида осущест вляются по-разному, но схема, которой оба пользуются, — одна и та же. Таким образом, Платон логически отработал тот метод доказательства, который в дальнейшем лег в основу античной математики и без которого невозможно было бы возникновение науки как строго доказательного, систематического знания. В этом — заслуга Платона и его школы перед наукой» (Гайденко. Обоснование научного знания... С. 116).
Mach. Erkenntnis und Irrtum. S. 261.
а) Математика 413
«важным этапом в развитии логики: в развитии учения о кате гориях, о суждении, об утверждении и об отрицании, о противо речии и об его видах, о родах и видах понятий, о методах опре деления, индукции и разделения понятий»11.
Важный для теоретическо-научного развития геометрии момент упоминает Гаиденко: «Насколько нам известно, Платон впервые в античной науке вводит понятие геометрического пространства; до него античные философы, за исключением разве атомистов, не отделяли сознательно пространства от его наполнения, но атомисты определяли пространство физически — как пустоту, отличая ее от атомов как "полного" пространства. И не только доплатоновская, но
ипослеплатоновская научно-философская мысль в лице Аристотеля
иего учеников не признавала пространства в том виде, как его понимал Платон: пространство выступало у Аристотеля как "место", а это понятие не имело ничего общего с геометрическим пространством Платона. Поскольку понятие пространства, впервые формирующееся у Платона, имеет очень большое значение для эволюции науки и ее исходных принципов и поскольку оно, далее,
тесно связано с платоновским обоснованием математики, мы рас смотрим его здесь подробнее...»12
Еще одним важным фактом является то, что до Платона проводилось сравнительно мало стереометрических исследований, были известны лишь некоторые теоремы о положении прямых и плоскостей в пространстве и свойства правильных тел и шара. По запросу и при поддержке Платона Менехм, член Академии, обна ружил конические сечения, и эта находка оказалась весьма плодо творной для дальнейшего развития геометрии.
Наконец, напомним требование Платона использовать в гео метрии только линейку и циркуль, — конечно, не в смысле реаль ных инструментов, а как идеальные, чисто мысленные предметы. Это требование надолго определит форму геометрии: до XIX в. «Начала» Евклида использовались как введение в академическую
Асмус. Платон. С. 112—113.
Гаиденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 124-125.
414 ВЛИЯНИЕ ПЛАТОНОВСКОГО МЫШЛЕНИЯ
математику, а в школьной геометрии построения с помощью цир куля и линейки до сих пор остаются единственным используемым методом.
Стоит также сравнить влияние Платона и Аристотеля на раз витие математики. Отто Теплиц установил, что идеальные числа Платона — это гносеологическое воплощение математических отношений. Он пишет: «Если мой тезис — или хотя бы заложенная в нем тенденция — имеет значение, это очень много значит для греческой математики. Это свидетельствует, что Платон собирался привести ее... каким-то образом к сегодняшнему понятию числа, и далее свидетельствует, что Аристотель в своей борьбе с Платоном оттеснил греческую математику с этой дороги. Известно, как авторитет Аристотеля отвратил астрономию от гелиоцентрической системы, а также физику — от ее первых достижений, и как этот авторитет мешал развитию в течение почти двух тысячелетий, даже тогда, когда уже давно полностью исчезли очень серьезные причины, приведшие Аристотеля к его заключениям. В похожем смысле — и это выражает наш тезис — Аристотель своим автори тетом вмешался в развитие математики и в течение двух тысяче летий задерживал преобразования, которые собиралась осуществить Академия Платона» .
Современная математика
Действительно, именно философия Платона, а не Аристотеля подготовила почву, на которой смогла развернуться та классическая математика, которая — преимущественно или исключительно — изучается в наших школах и университетах. Пауль Бернайс назвал ее «математическим платонизмом» . Она, как мы уже показали
Toeplitz. Das Verhältnis von Mathematik und Ideenlehre bei Piaton // Quellen und Studien I 1. Berlin, 1929. S. 10-11. (Цит. по: Stenzel. Zahl und Gestalt bei Piaton und Aristoteles. S. 149-150).
«Без преувеличения можно сказать, что сегодня в математике правит платонизм» (Bernays. Sur le platonisme dans les mathématiques. P. 56). Бернайс, конечно же, не имеет в виду так называемый «примитивный
а) Математика 415
выше (см. параграф 2.2а), является господствующим направлением, по сравнению с которым альтернативные модели, такие как матема тический интуиционизм Брауэра, оперативная математика Лоренцена или нестандартный анализ Робинсона, играют подчиненную роль, если вообще воспринимаются и изучаются.
Можно разделить современных математиков на три группы: «платоники», «полуплатоники» и строгие «антиплатоники»15. Но интересно, что даже те, кто считает себя антиплатониками, часто являются таковыми лишь теоретически, а на практике используют классическую, платоновскую математику. Это, конечно, не совсем честно, и Л. Кронекер осуждал таких мыслителей: «Они оспаривают существование пашни, но наслаждаются растущим на ней картофелем»1 .
Но в чем же заключается особенность «платоновской» мате матики? Приведем сначала два конкретных примера — две аксиомы из теории множеств. Аксиома объединения звучит так: «Из любого семейства а множества Ъ можно образовать множество d, каждый элемент с которого принадлежит по меньшей мере одному множеству Ъ данного семейства а». Е. В. Бет в своих комментариях указывает на очевидно «платоновский характер» этой аксиомы: вопервых, множества здесь являются совокупностями, содержащими в
платонизм», он говорит только об «очищенном платонизме». Сам Платон, несомненно, согласился бы с ним.
К группе «платоников» можно причислить, например, И. Кеплера, Г. В. Лейбница, Ж.-Б. Фурье, К. Г. Якоби, Б. Больцано, Э. Э. Куммера, А. Кэйли, Г. Кантора, Ш. Эрмит, Г. Фреге, Г. X. Харди, Г. Миттаг-Лефлера, К. Геделя, X. Шольца, Б. фон Фрейтаг Лоренгоффа, А. Шпайзера,
П. Финслера. К группе «антиплатоников» принадлежат такие имена, как А. Пуанкаре, Л. Э. Ян Брауэр, Г. Вайл, Д. Гильберт, А. Хейтинг, Э. Темпл Бэлл, Й. Бар-Хиллель, А. Мостовски, X. Б. Карри, А. Робинсон, У. Куайн, Р. Л. Гудстайн, П. Лоренцен, Р. Карнап, Д. фон Нойманн. Среднюю позицию занимают И. Кант, К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, Р. Дедекинд,
Д.Кениг, Б. Рассел, Р. Курант, А. Френкель, П. Бернайс (я упоминаю только некоторых западных математиков; о русских я не осведомлен).
Л. Кронекер в письме к И. Джайлеру; цит. по: Meschkowski. Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. S. 260.