Математика и философия 381
как и любая большая философия — немыслима без плодотворного
влияния новых вопросов и решений, которые дает современная наука»325.
Можно привести и еще один пример, более современный, в котором мы видим зарождение новой волны плодотворного влияния математики на философию. В 1926 г. швейцарский математик Пауль Финслер, создатель теории финслеровских пространств и особой формы теории множеств , показал, что Гильбертова теория математических доказательств не может гарантировать непротиво речивость рассмотренной системы и что возможности челове ческого разума превышают возможности формальной математики. Для этого он приводил предложения, «которые формально не являются разрешимыми, и поэтому формально непротиворечивы, но в которых мы все же можем — на другом пути — обнаружить противоречие»327. Схожим образом, но более подробно328 в 1931 г. Курт Гедель доказал, «что в обеих указанных системах [т. е. в системе Principia Mathematica Рассела-Уайтхеда и в системе Цермело-Френкеля] есть даже относительно простые задачи, отно сящиеся к теории обычных целых чисел, которые нельзя решить, исходя из аксиом»329. Эти результаты Финслера и Геделя имеют, естественно, огромное значение для философии; достаточно сказать, что они демонстрируют, что возможности человеческого разума принципиально превышают возможности компьютера; «благодаря упомянутым результатам мы теперь знаем не только то, почему программа Гильберта в итоге должна была потерпеть неудачу, но также и то, чего мы не можем ожидать от ЭВМ, так как
Jaeger. Paideia. T. 3. S. 30-31.
Его взгляды мы подробно описываем в Приложении А. Finsler. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit. S. 677.
«Более подробно» в формальном смысле; на самом деле доказательство Финслера охватывает более широкую сферу математического мышления; см. об этом: Gut. Inhaltliches Denken und formale Systeme.
Gödel. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica... S. 173.
382 ЭКСКУРСЫ
это невозможно по принципиальным причинам» . Результаты Финслера и Геделя также дают возможность выразить такие пред ложения, как: «Истина всегда лежит за пределами правильного и неправильного»331. Наконец, они представляют собой отход от механистически-материалистического мировоззрения
(5)Почему тесная связь между математикой и философией, характерная для платоновской Академии, сильно ослабла
втечение столетий?
Ослабление этой связи очевидно. Современные философы, как мы уже сказали, мало занимаются математикой, а современные мате матики — философией. Уже Фреге констатировал: «Эти дисци плины [геометрия и философии] сами отдалились друг от друга в ущерб обеим» . Бурбаки писал: «Прежде всего заметим, что математики, обладающие основательной философской культурой, встречаются так же редко, как и философы, имеющие обширные познания в математике» . А Бернард Больцано говорил об этом так: «Незначительно еще число философов в наши дни, чье математическое знание простиралось бы дальше положения, что А равно А. Еще меньше число математиков, готовых признать, что их собственная наука может быть поднята на более высокую ступень
совершенства при помощи |
философии» . Физик и философ |
Д. С. Чернавский описал этот |
упадок следующим образом: «До |
Fraenkel. Philosophie der Mathematik. S. 355.
Weiss. Gödels Unvollständigkeitssatz, die Vernunft, Metawahrheit(en) und Everetts Vielweltentheorie.
См. об этом: Heitier. Wahrheit und Richtigkeit in den exakten Wissenschaften. Хайтлер формулирует так: «Важность предложений Финслера и Геделя трудно переоценить. В каком-то смысле можно поставить их в один ряд с квантовой механикой. Они представляют собой явный отход от механисти чески-материалистических идей XIX столетия» (S. 9).
Фреге. Цит. по: Brown. Philosophy of Mathematics. P. XI. Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 21.
Цит. по: http://www.edu.cap.ru/Home/5562/aforizmi.doc
Математика и философия 383
Гегеля известные философы, включая Канта, знали математику, более того, считать себя философом, не будучи знакомым с математикой, было просто неприлично. После Гегеля в философии появилось много представителей описательных наук, не знакомых с математикой, а в последнее время можно стать философом, вообще не будучи специалистом ни в каких других науках»336. Что же до современных платоников, Бертран Рассел жаловался, что они, «за немногими исключениями, невежественны в области математики, несмотря на огромное значение, которое Платон придавал арифметике и геометрии, и несмотря на огромное влияние, которое они имели на его философию»337.
Конечно, каждый образованный философ получил в школе какие-то математические знания и каждый образованный математик познакомился там с какими-то философскими взглядами. Но этого недостаточно для «построения мостов». Обычно такое образование остается на уровне слухов; оно весьма поверхностно, и очевидно, что Платон имел в виду совсем не его, когда настаивал на необходимости многолетнего математического и затем философс кого образования. Эрнст Мах затронул больной вопрос, когда писал, что «сегодня только немногие из философов принимают участие в естественно-научной работе, и только в виде исключения естествоиспытатель посвящает собственную умственную работу философским вопросам. Однако это чрезвычайно необходимо для достижения понимания, так как одно лишь чтение не может помочь здесь ни тому ни другому»338.
Чернавский. Синергетика и информация. М.: Едиториал УРСС, 2004. С. 230-231. Цит. по: Еровенко. Надо ли студентам-философам изучать идеологию и методологию математики? С. 241.
Рассел. История западной философии. С. 180. Рассел добавляет: «Этот факт служит примером ущербности узкой специализации: кто-то может писать о Платоне только при условии, что он в молодости так много занимался греческим языком, что ему совсем не оставалось времени для вещей, которые Платон считал важными» (Там же).
Mach. Erkenntnis und Irrtum. S. 4-5.
384ЭКСКУРСЫ
Впринципе Мах прав, но надо иметь в виду, что, к сожалению, в наше время философам совсем не просто серьезно заниматься математикой. Одна из причин заключается в бурном развитии математики в течение последних ста лет; В. А. Еровенко говорит о «все возрастающей сложности математической аргументации», изза которой в конце XX века разрыв понимания между математиками
и философами только увеличился; в общем можно сказать, что
339
«современная математика довольно сложная и трудная наука» — даже для самих математиков, а тем более для философов. Другая причина состоит в том, что наши студенты, в отличие от студентов платоновской Академии, спокойно живущих там годами, загружены экзаменами, а зачастую даже зарабатыванием на жизнь. Наши профессора, в свою очередь, заняты вечной «бумажной войной», страдая от современного университетского закона («Опубликовать или погибнуть»), т. е. им приходится постоянно доказывать, что они умны и активны, а их деятельность актуальна. Из-за этого у многих профессоров, ассистентов и студентов нет свободного времени для занятий, не связанных официально и напрямую с главным предметом их изысканий340.
Можно выделить и несколько причин того, что влияние плато новской идеи о важности математики сильно ослабло в течение столетий, касающихся именно философов. Во-первых, во времена Платона философ должен был знать о, скажем, двадцати своих предшественниках, сегодня же в курсе истории философии изучается как минимум сотня философов — и у студентов почти не
Еровенко. Надо ли студентам-философам изучать идеологию и методо логию математики? С. 240.
Похожая проблема встречается уже в общеобразовательной школе. Опи раясь на личный опыт, Г. В. Кондратьева заметила, что «современный базовый курс школьной математики теоретически можно построить на любом (весьма высоком) уровне строгости, но реализовать его на практике в массовой школе вряд ли получится. Из-за недостатка времени, обшир ности материала и жестких рамок ЕГЭ востребована "рецептурная матема тика"» (Кондратьева. К вопросу о строгости курса школьной математики в контексте времени, которое отводится на изучение предмета. С. 254).
Математика и философия 385
остается времени для других предметов. Во-вторых, современная математика является настолько обширным и зачастую сложным предметом, что студенты гуманитарных направлений попросту пугаются и не хотят даже связываться с ней. В-третьих, практи чески не существует специальных программ и методов в сфере математики, которые были бы интересны, полезны и доступны философам. В-четвертых, есть неофициальное, но сильное влияние философских школ, которые сосредотачиваются исключительно на человеке и, следовательно, оттесняют или даже исключают из рассмотрения такие сферы, как математика 1.
А почему же математики мало занимаются философией? Здесь также можно привести несколько причин. Во-первых, сегодняшняя математика, как мы уже сказали, обширный и зачастую сложный предмет вряд ли оставляющий время для серьезных занятий фило софскими проблемами. Во-вторых, философские взгляды кажутся математикам слишком разнообразными и даже противоречивыми — здесь, полагают они, существуют только «мнения», но не «истина». В-третьих, лекции по философии обычно содержат историю философии, а не «живые философские размышления», которые могли бы заинтересовать математиков. И в-четвертых, во многих университетах мы можем увидеть ничем не обоснованное, но господствующее мнение, что настоящему математику не подобает заниматься «подозрительными» сферами, такими как философия или теология. Герберт Гросс, профессор математики в университете Цюриха, сказал мне однажды так: «Мои коллеги смотрят на меня косо из-за того, что я участвую в философских кружках, и мне приходится публиковать в два раза больше работ, чтобы постоянно
Это отсутствие заинтересованности со стороны основных современных философов, безусловно, относится к математике; что касается логики, ситуация выглядит несколько лучше, причем определяющим фактором и здесь является господствующая философская школа. Когда логика Ганса Гермеса спросили, посещали ли также студенты-философы его лекции, он ответил: в университете Мюнстера — да, но не в университете Фрайбурга, где философия находится под сильным влиянием Хайдеггера (Hermes. Hundert Jahre formale Logik. S. 45).