Математика и философия 3 71
Философия ничего не ищет на стороне, свое здание она возводит от
295
земли» В данном описании нет никакой оценки, в нем просто показаны
различные намерения, или, как сказал Рассел, различные точки зрения: «Различие философии и математики — это в целом раз личие в точке зрения: математика конструктивна и дедуктивна, философия критична и в некоем безличном смысле спорна. Везде, где есть дедуктивное рассуждение, есть и математика, но принципы дедукции, распознавание неопределимых сущностей и различение таких объектов — это дело философии»296.
Но почему математики отказываются от исследования этих «более глубоких» вопросов? Возможно, они считают, что это не их дело? А может быть, они думают, что ответов на эти вопросы не существует или они просто не нужны? Бурбаки высказывается за второй вариант: «Греческие математики, кажется, не верили в воз можность объяснения "первоначальных понятий", которые служили им отправными точками, как-то: прямой линии, поверхности, отно шения величин; если они и дают им "определения", это, очевидно,
делается для очистки совести и без особых иллюзий об их значи-
297
мости» . Многие математики, вероятно, согласились бы с этим скептическим взглядом.
Почему же философы более оптимистичны в этих вопросах? Потому, что у них есть дополнительные возможности получения знаний, особенно диалектика. «Хотя Платон, разумеется, рассма тривает математику как одну из форм знания, он полагает, что полное знание о реальном мире может быть достигнуто лишь фило софом или диалектиком, применяющим сократический метод аргу ментации... который превосходит практикующийся в математике метод выведения из основных принципов»
Сенека. Нравственные письма к Луцилию. С. 225. См. также: Seneca. Naturwissenschaftliche Untersuchungen. S. 8.
Russell. The Principles of Mathematics. P. 130. Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 24. Artmann, Mueller. Plato and Mathematics. P. 7.
372 ЭКСКУРСЫ
Подобный «сократический метод», по мнению Аристотеля, носит это имя по праву, так как действительно ведет свое про исхождение от бесед Сократа. Вскоре он получил быстрое развитие, оформился как сильный научный инструмент, поэтому Аристотель «делает отчетливое различие между этими истоками и более развитой "диалектической силой" (διαλεκτική ισχύς), соответст вующей более позднему периоду Платона или его собственному методу, которого еще тогда не было»299.
Но в чем заключается развитый диалектический метод, который позволяет философу добиваться точных результатов даже в тех сферах, которые математики не хотят затрагивать? Платон в «Государстве» (532-534) подробно описывает этот метод:
Значит, в этом отношении один лишь диалектический метод придерживается правильного пути: отбрасывая предполо жения, он подходит к первоначалу с целью его обосновать; он потихоньку высвобождает, словно из какой-то варварской грязи, зарывшийся туда взор нашей души и направляет его ввысь, пользуясь в качестве помощников и попутчиков теми искусствами, которые мы разобрали300.
Хит более систематически объясняет этот диалектический метод следующим образом: «Платон различает два вида процессов: оба начинаются с гипотезы. Первый метод не может подняться выше этих гипотез, но, рассматривая их, как если бы они были первыми принципами, основывается на них и делает выводы с помощью диаграмм и изображений: таков метод геометрии и математики в целом. Другой метод рассматривает гипотезы как действительно только гипотезы и не более того, используя их в качестве ступеней для восхождения выше и выше, пока не будет достигнута основа всех вещей, основа, в которой нет ничего гипотетического. Когда она достигнута, можно постепенно, увязывая каждый свой шаг с предыдущим шагом, снова прийти к
Jaeger. Paideia. T. 3. S. 383.
Государство. 533c-d.
Математика и философия 373
выводам, и это процесс, не нуждающийся ни в каком чувственном образе, но имеющий дело только с идеями и в них же завер шающийся. Этим методом, который поднимается над гипотезами и кладет им конец, достигая таким образом первоначала, и является диалектический метод. За неимением его, геометрию и прочие науки, которые каким-то образом схватывают истину, можно сравнить с тем, кто видит истину во сне, но не может ухватить ее при пробуждении до тех пор, пока относится к своим гипотезам как к неподвижной истине, будучи не в состоянии дать какие-либо объяснения на их счет»301.
Если мы разделим область всего интеллектуального знания на три части: 1) начала, основания; 2) «обычное» отвлеченное мыш ление; 3) самые предельные вопросы, — то математик занимается средней областью, а философ — остальными двумя. Особенно специфичной для философского мышления является область идей. В этой области, как сказал Герман Коген, именно платоновская идея блага «обуславливает специфическое различие между математикой и диалектикой. Если бы не она, то математическое исследование, будучи познанием неизменно существующего, само было бы иссле дованием идей» ° .
Тот факт, что математика занимается только средней областью и поэтому является более узкой сферой, определяет и следующее различие между математикой и философией: математику, как заметил Аристотель, изучать сравнительно легко: достаточно иметь способность к абстрактному мышлению, в то время как философ нуждается в долголетнем жизненном опыте . Этот тезис под-
Heath. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. P. 290. Cohen. Piatons Ideenlehre und die Mathematik. S. 27.
Аристотель. Никомахова этика. 1142а 13-20: «Молодые люди становятся геометрами и математиками и мудрыми в подобных предметах, но, по всей видимости, не бывают рассудительными. Причина этому в том, что рассудительность проявляется в частных случаях, с которыми знакомятся на опыте, а молодой человек не бывает опытен, ибо опытность дается за долгий срок. Впрочем, можно рассмотреть и такой [вопрос]: почему, в самом деле, ребенок может стать математиком, но мудрым природоведом
374 ЭКСКУРСЫ
тверждает Мордухай-Болтовской, когда пишет: «Существование совершенно юных математических гениев, вроде 12-летнего Клеро, представляющего свой мемуар академии, или 20-летнего Галуа, создающего один из величайших отделов алгебры, указывает, при каком узком кругозоре можно быть не только хорошим, но и гениальным математиком»
Лохер-Эрнст заостряет вопрос о разнице между математическим и философским мышлением, сравнивая абсолютно закономерный характер математики с полностью индивидуальным характером морального действия. В первом случае взгляд направляется глав ным образом на объективное познание, а не на самого познающего; во втором случае, напротив, взгляд сначала устремляется на индивидуальное действие, а потом уже на тот умственный источ ник, из которого оно выносится, переходя из индивидуальности в мир смысла. Но что интересно: если мы обратим внимание на источник познания и на то состояние, в котором находится наша душа в процессе познания, то увидим и общую черту. В обоих случаях наша душа, можно сказать, поднимается в сферу чисто умственного и получает оттуда знания и импульсы. Каждому опытному математику известно, что математическое познание невозможно «купить», получить от кого-то или передать, оно может озарить душу, сделав возможным дальнейшее математическое развитие. Точно так же и каждому опытному философу известно, как в душе формируется идея (например, моральное убеждение) — она может сверкнуть (или не сверкнуть...) «откуда-то» и сделать возможным дальнейшие философские или моральные поступки305. То есть как математика, так и философия питаются из одного источника.
не может. Может быть, дело в том, что [предмет математики] существует отвлеченно, а начала [предметов философии-мудрости и физики] пости гаются из опыта? И юноши не имеют веры [в начала философии и физики], но только говорят [с чужих слов], а в чем суть [начал в математике], им совершенно ясно?»
Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 107. См.: Locher-Ernst. Mathematik als Vorschule zur Geist-Erkenntnis. S. 115.
Математика и философия 375
Конечно, наша душа — это живое существо, а не какой-то робот, и она формирует свое отношение к тому, что в ней «за сверкает». Поэтому недостаточно понимать математику и фило софию только как предметы. Есть и люди, занимающиеся этими предметами — и определяющие их форму и содержание. В этом отношении очень интересны психологические размышления, пред ставляющие новый взгляд на различия между математическим и философским. У математика, скажет Мордухай-Болтовской, под сознательные процессы играют важную роль, делая его мышление быстрым и сводя к минимуму возможность ошибки, в то время как у философа мы находим преимущественно сознательные процессы, делающие его взгляды более глубокими и широкими. Итак: «Если философ широк, в то время как математик быстр, то вместе с тем философ глубок, в то время как математик остроумен» . И этот психологический факт серьезно влияет, разумеется, на взгляды и интересы математиков и философов, их манеру мыслить, говорить и
307
писать
(4) Каковы корни неразрывной связи математики и философии?
По вопросам отношений между гуманитарными и точными науками написаны целые библиотеки. Есть авторы, которые отказывают в праве на жизнь одной из сторон, а также авторы, желающие пол ного слияния обеих партий, но в большинстве случаев подчерки вается самостоятельность их задач и компетенций, с одной стороны, и их связь на глубоком уровне, — с другой. Так, Франк писал о «полной внутренней независимости» науки и религии, а в то же время об «их сродстве и взаимообщении, благодаря чему стано вится и возможным и необходимым достижение внутренней согла-
Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 88.
Пауль Причард, например, пишет: «Разница между мышлением Платона и Аристотеля в этих вопросах [т. е. в философии математики] может быть определена как характеристика различных форм, которые принимает их ум: то, что Платон объясняет метафорически и образно, Аристотель объяс няет логически» (Pritchard. Plato's Philosophy of Mathematics. P. 4).