Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

366 ЭКСКУРСЫ

по словам Хайдеггера, «простаивают» там, где «дело только и существенно состоит в том, чтобы занимать позицию в отношении какой-то вещи, так что она может встречаться с нами» (и это правильное «простаивание», суть которого лежит в самой вещи!). А философы идут дальше, поскольку их интересы лежат в другом направлении.

Бывают, конечно, случаи, когда сами математики, противореча словам Платона , «считают нужным отдавать отчет, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде». Пауль Лоренцен в своей лекции по случаю вступления в должность профессора в университете Киль выразил просьбу, чтобы «отдель­ ные науки сами удовлетворяли свое любопытство в принци­ пиальных для них своеобразных вещах. Если, например, матема­ тики хотят знать, что это такое — так называемые натуральные числа, насколько они "натуральны", являются ли их обычные аксиомы совершенно определенными, — то откуда должен знать

это философ, если этого не знают даже математики, которые

287

занимаются числами постоянно?» . Но кажется, что ответы математиков зачастую не слишком удовлетворительны. Так, в 1547 г. математик Н. Тарталья ответил на вопрос своего оппонента Феррари о том, является ли единство числом или нет, таким образом: математик не нуждается в ответе на этот вопрос, но он необходим, если речь идет об основании наук . Его объяснение

См.: Государство. 510с-е.

Lorenzen. Wie ist Philosophie der Mathematik möglich? S. 194.

«Меня спрашивают, представляет ли единица собой число, или нет. Для начала я укажу, что я, со своей стороны, полагаю, что задача определения этого предмета при обсуждении и демонстрации основ каждой науки принадлежит не математике, но метафизике, для того чтобы я смог отказаться от этого определения на основании того, что оно не имеет отношения к математике. Но при этом я уверен, что ни один из вас не в курсе таких деталей, и я не хочу потерпеть неудачу при выяснении этого шага для вас... Я сказал бы на этот счет, что указанная единица является числом в потенции, но не в действительности, и не только потенциальным числом, но также и фактором всех чисел и членом всех разновидностей чисел, обладающих некоторым совершенством. Единица — лидер и

Математика и философия 367

вряд ли удовлетворит каждого, и современные математики, наверное, сказали бы, что ответ Тарталья — типичный «метафизи­ ческий ответ». Позволю себе и одно личное воспоминание: в гимназии наш учитель математики хотел объяснить, что такое

число, и использовал определение из учебника: «Число — это

289

абстрактный признак мощности множества». И все . Я ничего не понял, только почувствовал, что здесь кроются, кажется, какие-то «тайны». Впрочем, мое непонимание не имело значения — в дальнейшем это определение не играло никакой роли, а уроки математики проходили независимо от более глубокого понимания того, чем мы занимались. Философские вопросы не обсуждались и были не нужны.

первый принцип каждой из таких разновидностей». (Цит. по: Pritchard. Plato's Philosophy of Mathematics. P. 63.)

Кстати, такого ответа, даже если он более-менее понятен, не достаточно, потому что, как заметил А. Ю. Цофнас, вопрос «Что такое число?» не имеет смысла. Дело в том, что необходимо учитывать синтактический контекст, в котором находится число. «Когда мы говорим о числе двенадцать, что оно четное, то думаем о числе как о вещи. Если утверждается, что "двенадцать негритят пошли купаться в море", то здесь "двенадцать" выступает как свойство некоторого множества вещей (не одноместный, а многоместный предикат). А если утверждается, что 212 = 4096, то здесь "двенадцать" выступает как некоторое отношение между числами 2 и 4096. Это отношение превращает эти два числа в новую вещь

— в пару чисел. К натурально-онтологическому вопросу о первичности либо языковых структур, либо неких структур "самих по себе" во внешнем мире структурная онтология может оставаться равнодушной. Таким образом, приходится иметь дело не с определением природы числа, а с синтаксическим характером различия числа как вещи, свойства и отношения» (Цофнас. Вопрос о природе числа не имеет значения. С. 105). Похожим образом СМ. Кускова подчеркнула, что «выбор языка влияет на осуществимость математического объекта. Число 109 как индивид, входящий в множество натуральных чисел, и 109 как число шагов при­ менения операции «|» требуют разных уровней языков. В первом случае язык содержит операции сложения, умножения, степени, позволяющие символически осуществить 109, во втором случае — не содержит» (Кускова. Проблема единственности натурального ряда. С. 135-136).

368 ЭКСКУРСЫ

Но как бы то ни было, настоящий философ не боится «мета­ физики» и согласится — во всяком случае, в этом вопросе — с молодым Марксом, который писал своему отцу, что узкий, ограниченный математический «догматизм» ненаучен, так как там «субъект только носится туда-сюда вокруг вещи, и размышляет, и рассуждает, но вещь сама не образуется как богато развивающая и живая... Треугольник можно сконструировать и доказать, что сама эта фигура остается голой идеей в пространстве, ни во что не развиваясь (его нужно приводить наряду с другими фигурами, тогда он может занимать разные положения, получать и выражать различные отношения и истины). Но в конкретном проявлении живого мира идей — право, государство, природа, вся философия

— здесь надо услышать сам объект в своем развитии, нельзя вносить произвольные распределения. Разум самой вещи должен откатываться до своей противоположности, и находить свое единство в себе»290.

Письмо от 10 ноября 1837 г. Marx, Engels. Werke. Band 40. S. 5. В дальнейшем Маркс обнаружил, что в высшей математике действительно открывается «разум самой вещи»: там задают тон «диалектические» законы, которые освещают и философскую диалектику. Эту диалектику Энгельс описывал таким образом: «О полном непонимании природы диалектики свидетельствует уже тот факт, что г-н Дюринг считает ее каким-то инструментом простого доказывания, подобно тому как при ограниченном понимании дела можно было бы считать таким инструментом формальную логику или элементарную математику. Даже формальная логика представляет собой прежде всего метод для отыскания новых результатов, для перехода от известного к неизвестному; и то же самое, только в гораздо более высоком смысле, представляет собой диалектика, которая к тому же, прорывая узкий горизонт формальной логики, содержит в себе зародыш более широкого мировоззрения. То же соотношение имеет место в математике. Элементарная математика, мате­ матика постоянных величин, движется, по крайней мере в общем и целом, в пределах формальной логики; математика переменных величин, самый значительный отдел которой составляет исчисление бесконечно малых, есть по существу не что иное, как применение диалектики к математи­ ческим отношениям. Простое доказывание отступает здесь решительно на второй план в сравнении с многообразным применением этого метода к

Математика и философия 369

Можно сказать, что математики и философы исследуют одну и ту же действительность, но их интересы и взгляды являются различными. К. фон Фриц описывает эту разницу так: «Математика как прототип науки, не опирающейся на опыт, исходит из общих понятий (находящихся в душе универсальных представлений) и берет их в виде объективной основы для достижения своих резуль­ татов, математических тезисов. При этом она пользуется нарисо­ ванными фигурами как вспомогательными средствами. Да, ее предмет — треугольник вообще, и она стремится предоставлять данные о нем, но она нацелена не на познание треугольника как είδος, а берет опустошенное понятие как абстракцию, чтобы получить тезисы... Диалектика, напротив, берет как исходный пункт также понятия — т. е. те είδη, о которых душа вспоминает в виде изображений, — но она воспринимает их не как объективную основу познания (αρχή), а использует их просто как трамплин (έπίβασις и ορμή) для достижения настоящей объективности αρχή, т. е. είδος. Этот объективный εΐδος, являясь основой бытия (αρχή) также для είδος — как общее представление в душе, — сам, однако, больше не основывается на другой αρχή, а также не берет его субъективно как основу (отсюда άνυπόθετος). Чтобы достичь этого αρχή, диалектика больше не нуждается в чувственных предметах как вспомогательных средствах, например в виде нарисованных геометрических фигур. Она полностью пребывает в пределах об­ ласти εϊδη, в пределах общего, и пробирается, снова и снова раз­ рушая сами связи понятий (как они выражаются в заключениях и определениях), к непосредственному познанию είδος, которое боль-

291

ше нельзя выразить словами (ср.: Седьмое письмо. 343с)» Сам Платон описывал особенность «ограниченного» математи­

ческого взгляда таким образом:

Тебе легче будет понять, если сперва я скажу вот что: я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом

новым областям исследования» (Маркс, Энгельс. Сочинения. Т. 20. С. 138139).

Fritz. Platon, Theaetet und die antike Mathematik. S. 59-60.

370ЭКСКУРСЫ

итому подобным, предполагают в любом своем исследо­ вании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное

ипоследовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения292.

Вдругом месте Платон не говорит о математиках прямо, а

использует пример из акустики, чтобы выразить ту же самую мысль: те, кто изучает звуки, «ценят уши выше ума»293, «они ищут числа в воспринимаемых на слух созвучиях, но не поднимаются до

рассмотрения общих вопросов и не выясняют, какие числа созвучны, а какие — нет и почему» 4. А философы как раз-таки поднимаются до рассмотрения общих вопросов.

Наглядное и довольно любопытное описание различий во взглядах и целях математиков и философов дает Сенека: «Мудрец исследует и познает причины естественных явлений, геометр отыс­ кивает и высчитывает их число и меру. Каков незыблемый порядок небесных тел, какова их сила и природа, — все это знает философ; а кто высчитывает их движенье и возврат, кто собирает наблюдения над тем, как они восходят и заходят, а порой являют вид стоящих на месте, хотя небесным телам стоять и нельзя, тот математик. Пусть мудрец знает, по какой причине в зеркале возникает отражение; геометр же может сказать, как далеко должен отстоять предмет от отражения и какое отражение дает та или другая форма зеркала. Что солнце огромно, докажет философ; какова его величина, укажет математик, который пользуется в работе неким опытом и навыком, но должен, чтобы работать, заимствовать некие основные поло­ жения. А если основы искусства — заемные, оно несамостоятельно.

Государство. 510с—d. Там же. 531а.

Там же. 531с.