376 ЭКСКУРСЫ
сованности между ними, и тем подлинного единства и цельности общего жизнепонимания» . Как же выглядит эта ситуация в при ложении к нашей теме?
Как уже было сказано, математики обычно думают, что в пределах своей профессии они не нуждаются в философии; с другой стороны, многие философы сегодня вообще не занимаются мате матикой, не чувствуя при этом, что теряют что-либо. Однако есть множество свидетельств неизбежной связи между математикой и философией. Главным свидетелем здесь, очевидно, может служить сам Платон, чувствовавший внутреннее родство обеих областей, которое П. Гайденко описывает следующими словами: «Подобно тому как математик ставит вопрос, что такое единица, и дает довольно-таки сложное определение этого, казалось бы, простей шего понятия, — так и философ с глубокой древности задается
309
проблемой: что такое бытие? Что значит — быть?»'"' Это родство не удивляет, учитывая тот факт, что «математика является частью духовной жизни, глубоко связанной не только с астрономией и механикой, но также с архитектурой и техникой, с философией и даже с религией» ! .
Волфрам Гейч утверждал, что в целом «великие достижения греческих математиков были, в конечном счете, результатом тесной связи между математикой и философией». Но и он, что немного удивительно для представителя марксистско-ленинской философии, добавил: «При этом следует отметить прежде всего платоновскую философию»311.
Приведем еще две цитаты представителей марксистского на правления мышления (несмотря на то, что оно сегодня, разумеется, вызывает у некоторых людей отрицательные ощущения), потому что они уделяли большое внимание математике и подчеркивали
Франк. Религия и Наука в современном сознании. С. 148.
Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. Введение. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 12.
Heitsch. Mathematik und Weltanschauung. S. 3.
Математика и философия 377
«единство философского и математического знания» . Энгельс говорил так: когда математика начала заниматься переменными величинами, она вступила, сознательно или бессознательно, в диа лектическую область, «и характерно, что именно диалектический философ, Декарт, внес в нее этот прогресс». Он формулирует даже такое сравнение: «Как математика переменных величин относится к математике постоянных величин, так вообще диалектическое мышление относится к метафизическому» 13. Ленин также указывал на необходимость такой связи словами: «Естествознание прогрес сирует так быстро, переживает период такой глубокой револю ционной ломки во всех областях, что без философских выводов естествознанию не обойтись ни в коем случае» .
М. С. Козлова проследила связь между математикой и фило софией в истории их развития и пришла к выводу, что «фило софские идеи тесно сплетались с математической мыслью у пифагорейцев и элеатов, у Платона, Декарта и др. Основательно исследовали природу математики с разных философских позиций
Протопопов. Философские проблемы развития математики. С. 6. Мы, конечно, не согласны с утверждением, что «только глубокое философское осмысление с марксистско-ленинских диалектико-материалистических позиций исторически важных областей развития математики может дать ключ к обобщению новейших открытий в математике» (Там же). Слово «только» делает эту позицию сектантской, но вклад, сделанный этим направлением, до сих пор интересен. И мы полностью согласны с убеждением, что «органическое слияние философии и математики в самом процессе преподавания может стать эффективным средством активного формирования целостной системы философских и математических взглядов у студентов, а значит, у будущих учителей, инженеров, научных работников» (Там же).
Энгельс. Анти-Дюринг. С. 125. Энгельс, конечно же, знает, что далеко не каждый математик видит эту связь, поэтому он продолжает: «Это нисколько не мешает, однако, тому, чтобы большинство математиков признавало диалектику только в области математики, а довольно многим среди них не мешает в дальнейшем оперировать всецело на старый ограниченный метафизический лад теми методами, которые были добыты диалектическим путем» (Там же).
Ленин. О значении воинствующего материализма. С. 31.
378 ЭКСКУРСЫ
Кант и Д. С. Милль. К концу XIX — началу XX вв. по ряду причин нарастает философская "напряженность" внутри самой математики, и ее творцы волей-неволей втягиваются в самое серьезное философствование. Некоторым из математиков суждено было стать великими философами. В их числе Эдмунд Гуссерль и Бертран Рассел — создатели двух крупнейших направлений философской мысли XX в.: феноменологии и аналитической философии»315.
По мнению Фреге, отношения между математикой и филосо фией настолько фундаментальны, что можно без преувеличения сказать: «Философ, который не имеет ничего общего с геометрией,
— это только полфилософа, а математик без единого элемента философии — только полматематика» l . А тот факт, что сущест вует так много «полуфилософов» и «полуматематиков», обясняется тем, что своеобразная связь между математикой и философией не лежит на поверхности и «не становится сразу заметной»317.
315Козлова. Проблемы оснований математики. С. VII. Схоже пишет и Г. Пациг: «...можно сказать, что математика состоит в тесной связи с философией, и это отношение отличается от возможных отношений других наук с фило софией не только в степени. Не случайно, что эпохи, в которых философия добивалась решительных успехов, совпадают с наивысшими моментами развития математики. Много значительных философов были Б то же время математиками-новаторами — достаточно упомянуть Пифагора, школу Платона, Декарта, Паскаля и Лейбница» (Patzig. Vorwort zu Frege: Funktion- Begriff-Bedeutung. S. 10-11). Ср. также замечания Гарриса: «Нам трудно понять, как неразрывно были связаны друг с другом наука и философия в эллинском мире, вероятно, из-за того, что наша культура предрасположена помещать эти и другие дисциплины в индивидуальные и совершенно отдельные категории. Декларируя слияние этих дисциплин в древности, мы все еще не в состоянии проследить множество важных связей, и, следовательно, частично упускаем значение как мыслителей, так и ученых» (Harris. Plato: Mathematician or Mystic?).
316Фреге. Цит. no: Brown. Philosophy of Mathematics. P. XI.
317Locher-Ernst. Mathematik als Vorschule zur Geist-Erkenntnis. S. 171: «Мате матика, особенно современная, рассматривается как образец чего-то строго научного. Поэтому кажется, будто сведения о более высоких мирах и современная математика наиболее противоположны друг другу· Но более полное представление показывает, что здесь нет противопоставления, но скорее своеобразная связь, которая, однако, не сразу заметна».
Математика и философия 379
Всегда были и будут мыслители, которые не ограничивают себя какой-то одной сферой мышления, но плодотворно трудятся в нескольких сферах. Блестящий пример такого мыслителя — сам Платон. Вспомним Рассела, говорившего не только о том значении, которое Платон придавал арифметике и геометрии, но и об огром ном влиянии, которое они имели на его философию318.
В главе 5 мы будем говорить о влиянии философии — особенно платоновской — на развитие и содержание математики. Сейчас же приведем примеры обратного влияния, влияния математики на формирование философии.
Общую оценку дает философ и логик Шольц: «Платоновский
319
идеализм твердо связан с платоновской оценкой математики» С ним соглашается Гайденко: «Не так уж много можно назвать
философов, чье мышление столь же сильно определялось
320
математикой, как платоновское» . Особенную роль в мышлении Платона играла геометрия, являвшаяся ключевой математической дисциплиной. Предметы геометрии освобождены от мира чувственного опыта, у них есть качества, для которых не имеется образца в мире ощущений; линии, например, не имеют ширины, а точки — распространения. Кроме того, предметы геометрии не подлежат никаким изменениям, они не возникают и не исчезают. «Платон радикализирует эту программу идеализации и
разрабатывает таким образом свое учение об идеях, свою
321
философию, в высшей степени вдохновленную математикой»
Рассел. История западной философии. С. 180.
319Scholz. Mathesis universalis. S. 394.
320Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 98. Вспомним также слова Прокл: «За ними был Платон, стараниями которого геометрия — как и остальные науки — получила величайшее развитие: известно, сколь часто он использует в своих сочинениях математические рассуждения и повсюду пробуждает в преданных философии восторженное отношение к математическим наукам» (Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 4 [8]).
321Froese. Pythagoras & Co. — Griechische Mathematik vor Euklid. S. 48.
380 ЭКСКУРСЫ
Миттельштрас более детально разъясняет, как математические взгляды и методы, которые Платон так высоко ценил, действовали на его теорию идей и формировали ее. Дело в том, что перво начальный смысл теории идей заключается не в создании некоего «отдельного мира», а в «познании теоретических отношений (связей)»322. В «Федоне» , например, Платон подчеркивает теоре тический характер выражений «равно» и «равенство» — они образованы не из реального ощущения предметов, но могут быть правильно восприняты только как «идеи»: «Таким образом в платоновском анализе теоретических отношений под руководством геометрии стабилизируется та концепция, которую мы обычно обозначаем как теорию идей Платона»
Влияние античной математики на философию того времени не ограничивается образованием теории идей — вместе с Йегером можно говорить и о «необычайном импульсе», который научные, особенно математические, достижения придали философскому мышлению вообще. «Философия увидела здесь [в математике] идеал знания, обладающего такой точностью и целостностью дока зательств и логических построений, о которой мир во времена досократических натурфилософов не мог и мечтать. Внимание, которое привлекали в тогдашних математических кругах именно методические вопросы, делало эту модель бесценной для новой науки, диалектики, которую Платон разрабатывал на основе сократических рассуждений о добродетели. Философия Платона —
Mittelstraß. Die geometrischen Wurzeln der platonischen Ideenlehre. S. 407.
Федон 75b: «Прежде чем начать видеть, слышать и вообще чувствовать, мы должны были каким-то образом узнать о равном самом по себе — что это такое, раз нам предстояло соотносить с ним равенства, постигаемые чувствами: ведь мы понимаем, что все они желают быть такими же, как оно, но уступают ему».
Mittelstraß. Die geometrischen Wurzeln der platonischen Ideenlehre. S. 410.
Правда, позже у Платона образуется и другая концепция теории идей: мир идей как отдельный, «дополнительный» мир, предметы которого несовер шенно отражаются в предметах нашего мира: «Теория идей обособляется от первоначально лежащих в ее основе намерений» (Ibid. S. 414).