Математика и философия 351
знание, что математика может предоставить систематическую основу — которую также можно назвать областью гипотез — для выявления всего порядка бытия...) Понятие гипотезы, которое появляется в "Меноне", указывает, однако, не только на воз можность систематического взаимодействия, но и характерным способом ограничивает ответственность системного мышления. В "системе", которая существует из сплетения гипотез, никакое положение не является абсолютно допустимым, но нужно снова и снова проверять, согласовывается ли оно с феноменами, с одной стороны, и с общими принципами с другой. [Примеч. 71 у Гайзера: Поэтому недопустимо момент философского незнания противо поставлять понятию системы у Платона. Устойчивая и в значи тельной степени осуществленная тенденция к системному образованию не противоречит у Платона пониманию, что возмож ности человеческого познания ограничены. Напротив: именно потому, что человеческое мышление (в отличие от божественного Ума (Nous), в котором субъект и объект познания соединяются) не имеет непосредственно в своем распоряжении всей совокупности существующего, оно нуждается в систематическом образце, на который оно, по крайней мере пока, может ориентироваться. Таким образом Платон понимал общую область математики как общую область языка, но также и обширную онтологическую систему теории принципов понимал как несовершенную в самой себе "модель", в которой реальность отображается и позволяет охватить себя лишь приблизительно]» 45.
По мнению Шопенгауэра2 , на этой посреднической роли польза математики заканчивается. Платон, сказал он, «рассматривал геометрию как подготовительную школу, в которой ум учеников, до тех пор в практической жизни занимавшийся одними только телесными вещами, привыкал к изучению бестелесных предметов». Только в этом смысле Платон «рекомендовал философам гео метрию, и мы не имеем права давать этому совету более широкое
Gaiser. Piatons Menon und die Akademie. S. 289-291. Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Т. 2. С. 108-109.
352 ЭКСКУРСЫ
толкование». И Шопенгауэр советует читателям обратить внимание на книгу профессора Гамильтона, который считал математику не только бесполезной, но и вредной для школьников и студентов. В этой книге действительно приводится множество примеров и цитат, иллюстрирующих этот вред, например: «Когда я овладел основами, я оставил изучение математики навсегда, — и я рад, что сделал это достаточно рано, прежде чем мой нрав затвердел вследствие привычки к строгой демонстрации, привычки, которая разрушает более тонкое чувство моральной ясности, которое
247
должно определять действия и мнения нашей жизни» Но всегда находились авторы, считавшие, что математике
принадлежит не только посредническая, но и «полезная», «необхо димая», и даже «высшая» роль среди других наук.
Представление о полезной роли мы находим уже у самого Платона, и можем формулировать его, используя слова А. Е. Раик: Платон был убежден, что математический опыт служит для философии тем точильным камнем, о который философы могут оттачивать свои логические философские положения . Но мате матика полезна не только для философов, но и для воспитания человека вообще: «Нужно изучать математику уже потому, что она
Цитата по переводу на немецкий язык: Hamilton. Ueber den Werth und Unwerth der Mathematik als Mittel der höheren geistigen Ausbildung. S. 58. Другой пример: «Кое-кто предполагает, что истинный способ привыкнуть к резким и последовательным рассуждениям основан на практике матема тических демонстраций, так что тот, кто приучил свой разум к этим заклю чительным формам, может применить их к другим отраслям знаний. Это, однако, ошибка... Наоборот, привычка к математическому рассуждению, кажется, не позволяет делать правильные выводы о любом другом предмете» (Ibid. S. 59). Мнение Шопенгауэра по этому поводу таково: «Взгляд автора [Гамильтона] сводится к тому, что ценность математики — лишь косвенная: а именно, ею следует пользоваться для тех целей, которые достижимы только с ее помощью; сама же по себе математика оставляет дух на той же ступени, на которой она его нашла, и не только не спо собствует его дальнейшему образованию и развитию, но даже прямо препятствует им» (Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Т. 2. С. 108-109).
Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 148.
Математика и философия 353
249
упорядочивает мысли» . Математика развивает аналитические, дедуктивные, критические, прогностические способности, она улуч шает возможности абстрактного мышления и способность концен трации, она тренирует память и усиливает быстроту мышления250. Что касается особой полезности математики для гуманитарных наук, то Лохер-Эрнст ставит вопрос так: «Можно ли применять математический метод, в расширенном смысле, в области качест
венного, и таким образом гарантированно добиться высокого
251
качества исследования также на более высоких ступенях бытия?» Сам он ответил бы: да] можно! Если вернуться к философам, то можно процитировать Фреге, который так выразил свое убеждение в практической полезности своих исследований для философов: «Применение моих символов в других областях не исключено. Логические отношения появляются снова и снова, и знак для конкретного содержания может быть выбран таким образом, чтобы он включался в рамки данной работы "Begriffsschrift". Происходит это или нет, во всяком случае, наглядное представление о формах мышления имеет выходящее за рамки математики значение. Поэ тому было бы хорошо, если также и философы уделяли бы этому вопросу некоторое внимание!»252
Кеплер также имел четкое представление о полезности мате матики, как на основании личного опыта, так и видя успехи других ученых, которые добились результатов только с помощью интен сивного и экстенсивного использования математики. При этом польза математики состоит не только в получении значимых данных, а еще и в том, что она поддерживает самого ученого и укрепляет силу его духа: «Я поздравляю вас... так как вы привели свой дух, через изучение математики — которая одна только дает невероятно надежное основание согласию разума — к тому, что он
Ломоносов. URL: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/zitate.htm
Это перечисление взято отсюда: Перов Н. Зачем нужна математика? Элек тронный источник. URL: http://nperov.ru/razum/zachem-nuzhna-matematika/
Locher-Ernst. Mathematik als Vorschule zur Geist-Erkenntnis. S. 133. Frege. Begriffsschrift und andere Aufsätze. S. 114.
354 ЭКСКУРСЫ
не отступил перед значительными трудностями, от которых уклонились перед этим наиболее талантливые»253.
Приведенная цитата указывает также на необходимую роль математики: без нее практически невозможно достичь результатов в сложных задачах. Необходимая роль математики состоит и в том, что без нее невозможно понимать наш мир детально и глубоко. Галилей говорил об этом так: «Философия, изложенная в этой великой книге — я имею в виду Вселенную, — постоянно открыта нашему взору, но ее нельзя понять, если сначала не научиться постигать и интерпретировать язык символов, на котором она написана. Она написана на языке математики, ее буквами служат треугольники, окружности и другие математические фигуры, без помощи которых человеку невозможно понять ее речь; без них — лишь напрасные блуждания в лабиринте» . Вспомним, что Платон уже в «Тимее» не смог отказаться от обоснованного использования математики, и тем более невозможно, не имея сильной матема тической подготовки, понять современную физику.
А как же высшая роль математики? О ней также говорили и говорят авторы самых различных направлений. Платоновский
Афинянин, например, считает знание математических фактов харак-
255
теристикой настоящего человека . Платоновский Сократ также видит в математических феноменах, скажем так, жизненную силу:
Кеплер в письме к Якобу Барчу от 6 ноября 1629 г. (Kepler. Selbstzeugnisse. S. 75).
Цит. по: Richeson. Euler's Gem. P. 1.
Законы. 820b-c: «Так что же? Разве все мы, эллины, не полагаем, что длина и ширина так или иначе соизмеримы с глубиной или что ширина и длина соизмеримы друг с другом? — Да, именно так мы полагаем. — И вот если снова окажется, что это никоим образом невозможно, между тем как, повторяю, все мы, эллины, полагаем, что это возможно, то разве это не достаточная причина, чтобы устыдиться за всех них? Разве не стоит сказать им: "Лучшие из эллинов, это и есть одна из тех вещей, не знать которые, как мы сказали, позорно; впрочем, такое знание, коль скоро оно необходимо, еще не есть что-то особенно прекрасное". — Да, это так. — Кроме этого, есть и другие родственные этим вещи, в отношении которых
Математика и философия 355
Несмотря на всю свою мудрость, ты не замечаешь, как много значит и меж богов, и меж людей равенство, — я имею в виду геометрическое равенство, — и думаешь, будто надо стремиться к превосходству над остальными. Это оттого, что ты пренебрегаешь геометрией256.
Добавим цитаты еще хотя бы двух современных математиков: «Математика также будет принадлежать к строительным камням [лучшего мира]. Я надеюсь, что тогда ее значение будет оценено несколько выше. Математика не должна быть просто прислугой, которая создает полезные вещи, а затем может быть свободной. Скорее математика должна быть, как когда-то, спутницей философии и снова указать человечеству дорогу к вещам, которые не имеют никакой материальной ценности, но выводят из земной суеты наверх, в те сияющие вершины, где мыслящий дух следует за
вечными законами числа и пространства и стремится исследовать
257
их» . И это «особая задача будущих математиков — стиму лировать энергию духа, чтобы люди направляли свои душевные
у нас возникает опять-таки много заблуждений, сродных первым. — Какие же это вещи? — Это причины, по которым, согласно природе, возникает соизмеримость и несоизмеримость. Необходимо иметь их в виду и различать, иначе человек будет совсем никчемным. Надо постоянно указывать на это друг другу. Таким образом люди проводили бы время гораздо приятнее, чем старики при игре в шашки: ведь старикам прилично, состязаясь в этой игре, коротать свое время». (Немецкий перевод последнего предложения: «Es müssen sich daher noch die Greise beständig
gegenseitig hierauf bezügliche Aufgaben vorlegen und so in ihrer würdigen
Beschäftigungen mit einander wetteifern und ihre Zeit mit Etwas zubringen das viel edler ist als das Brettspiel». То есть: «Поэтому и старики должны постоянно задавать друг другу задачи, связанные с этим, и, таким образом, соревноваться друг с другом в достойных занятиях и проводить свое время за чем-то, что является гораздо более благородным, чем настольная игра»).
Горгий. 508а. Русский перевод «как много значит» не подходит, он слишком слабый. Греческий текст гласит: «... ή ισότης ή γεωμετρική και εν θεοΐς και εν άνθρώποις μέγα δύναται», и он лучше переводится так: «Ты не замечаешь, что геометрическое равенство имеет большую силу/власть между богами и людьми».
Beyel. Der mathematische Gedanke in der Welt. S. 100.