Математика и философия 341
берта, «с различных сторон были произведены бурные нападки». В то же время математики и логики упорно старались найти выход из этой дилеммы, но пришли к совершенно различным результатам. Хао Ван, один из экспертов в этих вопросах, описывает наличие таких различных выводов следующим образом: «Некоторые математики заключили отсюда, что при рассмотрении множеств нельзя просто полагаться на интуицию, хотя множества являются фундаментальными понятиями для математики и человеческого мышления. Другие математики отвергают всю теорию множеств (в том числе и классический анализ), считая ее ошибочной и несостоятельной. Третья группа математиков, напротив, считает, что парадоксы не затрагивают теории множеств по той простой причине, что они возникают из-за определений и рассуждений, искажающих математическую интуицию и существенно отли чающихся от правомочных методов, обычно применяемых в математике. Какую бы из этих точек зрения ни принять, необ ходимо признать, что важной задачей является уточнение тех представлений, которые лежат в основе теории множеств, а также возможно более четкое выделение тех рассуждений, которые приводят к противоречиям... Таким образом, можно полагать, что если надежна интуитивная модель, включающая в себя иерархию типов, то в равной мере надежна соответствующая формальная система. Но на каком основании мы уверены в том, что можно полагаться на интуитивную модель?.. Мы полагаемся на интуи тивную модель, так как в ней классы порождаются, так сказать, в определенном порядке, имея исходным пунктом совокупность индивидов. Если мы согласны исходить из интуитивной уверен ности в том, что такое образование классов является когерентным (coherent) процессом, то можно полагаться на интуитивную модель и тогда формальная система будет непротиворечивой. Но если нет уверенности в том, что иерархия типов получается при помощи процесса, заслуживающего доверия, то единственным основанием
тогда он должен будет брить себя! Мы приходим к выводу, что этот
парикмахер бреет себя, когда он не бреет себя...
342 ЭКСКУРСЫ
для того, чтобы считать теорию типов надежной, является лишь то
обстоятельство, что в ней, по-видимому, устраняются все известные
229
до сих пор парадоксы» . Значит, в теории множеств имеют место, по выражению Френкеля, «причудливые блуждания», и это при водит к тому, что некоторые математики просто отказываются от требований обосновать эту теорию и используют ее только из-за того, что она удобна и плодотворна230. Все это весьма похоже на ситуацию в философии: разные мнения, разные аргументы, разные школы, различные ожидания и требования...
Что касается соответствующих проблем в анализе, то мы в пара
графе 2.8 уже приводили критические взгляды, например, Джорджа
231
Беркли. Добавим здесь рассуждения П. Лоренцена , основателя «оперативной» математики. Если мы, говорит он, тщательно проверим современное исчисление бесконечно малых, то мы увидим, что оно, по словам Вейла, «построено на песке». Оно
Ван Хао, Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств. С. 9-10, 14, 15.
«Вполне естественно, что в глазах некоторых мыслителей все эти при чудливые блуждания служат подтверждением той точки зрения, что ни одна из рассмотренных трех основных онтологических концепций объек тивно не имеет никакого отношения к проблеме оснований, независимо от того, что думают по этому поводу приверженцы этих концепций и насколько сильны в этом отношении их чувства. Сторонники такого образа мыслей пришли к выводу, что теории множеств следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности» (Френкель, БарХиллел. Основания теории множеств. С. 406). И действительно, «на поверхности» математика развивается спокойно и солидно и каждый день доказывает свою основательность в теории и на практике. Поэтому многие математики совсем не видят никаких проблем и не чувствуют потребности «копать глубже». Говоря словами Френкеля: «Как и везде в эти дни, в математике имеется свой кризис; он зародился в начале этого века, и до сих пор нет обоснованных перспектив его разрешения. Но математики не слишком обеспокоены этим, так как первый основательный кризис их науки произошел два с половиной тысячелетия назад, и в это же время начался феноменальный взлет ее развития» (Fraenkel. Philosophie der Mathematik. S. 334).
Lorenzen. Das Aktual-Unendliche in der Mathematik. S. 3-11.
Математика и философия 343
трактует геометрические проблемы расчетным способом, и для этого заменяет каждый отрывок множеством его точек. Это воз можно на основании особого соотношения между арифметикой и геометрией: если мы выберем на прямой две точки, А и В, и отождествим их с числами 0 и 1,
А |
В |
1 |
1 |
О |
1 |
то сможем сопоставить каждому рациональному числу одну определенную точку:
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-3/4 |
0 |
1/2 |
2/3 |
1 |
5/4 |
Если мы запишем рациональные числа в форме десятичных дробей, например
1 = 0,5; | = 0,666...; | = 0,428571 428571 428571...
то увидим, что все эти десятичные дроби либо конечные, либо бесконечные, но периодические. А в современной математике — и это важный момент — предполагается, что и каждой бесконечной
непериодической дроби, например л/2 = 1,41421356... ; π = 3,14159...
тоже соответствует на прямой линии одна определенная точка. На этом пути множество всех действительных чисел отождествляют с актуально бесконечной геометрической линией, и, следовательно, это множество чисел тоже считается актуально бесконечным. Но таким образом стирается существенная разница между конечными и бесконечными десятичными дробями: конечную дробь можно запи сать, бесконечную — никогда. Говорить о бесконечной лоследовательности цифр — это если не совсем нелепость, то по меньшей мере очень рискованное предприятие. Оно сравнимо с представ лением о бесконечном у Кантора, которое, как мы знаем, может приводить к антиномиям.
Добавим мнения еще двух авторов, которые, не являясь профес сиональными математиками, серьезно занимались проблемами в этой области. Сначала дадим слово Шарлю Луи де Сольс Фрейсинэ, французскому политику и автору нескольких книг о философии
344 ЭКСКУРСЫ
математики. Уже в молодости он интересовался анализом бес конечно малых величин, который будоражил его воображение «вследствие несколько таинственного характера своих основных начал». «Каковы, в сущности, — спрашивает он, — понятия о бесконечном и о бесконечно малом, на которых основывается анализ? Чем открытие Лейбница отличается от обыкновенной алгебры, с которой каждый более или менее знаком? По какой темной тропинке оно ведет нас к истине и не рискуем ли мы на этом
|
232 |
пути распрощаться с математической точностью?» |
Особенно |
интересует его понятие «предела»: «В обыкновенном языке пределом называют преграду, за которую нельзя переступить. Но эта преграда может быть достигнута, ее можно касаться. В мате матическом же языке словом предел называется такая преграда, которой не только нельзя переступить, но которая даже не может
233
быть достигнута. К ней лишь можно приближаться»
Отом, что здесь действительно скрыты вопросы, говорит и
Ф.Энгельс. Его удивляет, например, что в высшей математике при определенных условиях прямое и кривое должны представлять собой одно и то же, что является противоречием, «и тем не менее высшая математика этими и еще гораздо более резкими противо речиями достигает не только правильных, но и совершенно недостижимых для низшей математики результатов» . К. Маркс
Сольс Фрейсинэ. Очерки по философии математики. С. IV. Там же. С. 37.
Энгельс. Анти-Дюринг. С. 125. Энгельс добавляет, что «уже и низшая математика кишит противоречиями. Так, например, противоречием является то, что корень из А должен быть степенью А, и тем не менее Аш = "4А. Противоречием является также и то, что отрицательная величина должна быть квадратом некоторой величины, ибо каждая отрицательная величина, помноженная сама на себя, дает положительный квадрат. Поэтому квадратный корень из минус единицы есть не просто противо речие, а даже абсурдное противоречие, действительная бессмыслица. И все же V-1 является во многих случаях необходимым результатом правильных математических операций; более того, что было бы с математикой, как низшей, так и высшей, если бы ей запрещено было оперировать с V-1?» (Там же). См. также следующую цитату, отражающую неудобства даже
Математика и философия 345
также, неустанно подходя с разных сторон, пытался добраться до сути проблем анализа, например до значения выражения 0/0. «Мы видели, как эти различные формулы были получены в виде симво лических выражений для производных функций, следовательно, как символы уже выполненных операций, а из ранее изложенного само собой разумеется, что и обратно они становятся символическими оперативными формулами, формулами, указывающими лишь под лежащие еще выполнению операции для отыскания соответст вующих им реальных эквивалентов или производных функций»235. На основании таких размышлений Маркс позволяет себе критико вать такого авторитетного автора, как Тейлор: «Все же мне пред ставляется совершенно бесспорным, что Тейлор не имел ни малей шего представления о простой связи между его теоремой и теоре мой о биноме. Он действовал целиком на почве самого дифферен циального исчисления, не возвращаясь к его истокам» 36.
современных студентов (и ряда профессиональных математиков): «Как только математики укроются в свою неприступную твердыню абстракции, так называемую чистую математику, все эти аналогии забываются; бесконечное становится чем-то совершенно таинственным, и тот способ, каким с ним оперируют в анализе, начинает казаться чем-то совершенно непонятным, противоречащим всякому опыту и всякому смыслу. Те глу пости и нелепости, которыми математики не столько объясняли, сколько извиняли этот свой метод, приводящий странным образом всегда к пра вильным результатам, превосходят самое худшее, действительное и мнимое, фантазерство натурфилософии (например, гегелевской), по адресу которого математики и естествоиспытатели не могут найти достаточных слов для выражения своего ужаса. Они сами делают — притом в гораздо большем масштабе — то, в чем они упрекают Гегеля, а именно доводят абстракции до крайности. Они забывают, что вся так называемая чистая математика занимается абстракциями, что все ее величины суть, строго говоря, воображаемые величины и что все абстракции, доведенные до крайности, превращаются в бессмыслицу или в свою противоположность. Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс. Диалектика природы. С. 586).
Маркс. Математические рукописи. С. 502. Там же. С. 446.