336 ЭКСКУРСЫ
Особенно по сравнению с другими науками — естествознанием, наукой о человеке и обществе, историей — «математика признается особым, первостепенным видом научного знания» ' . И в прошлом сами математики думали, что их область знания является совершенно определенной. Г. Вейль описал это убеждение так: поскольку в классической математике термины "существует" и "все", а также относящиеся к ним логические принципы, при меняются неограниченно, «грандиозное здание анализа приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях»216. А Д. Гильберт в своем знаменитом докладе «О бесконечном», прочитанном 4 июня 1925 г. на одном математическом съезде, выразил триумфальные впечат ления той эпохи такими словами: «Благодаря гигантской совмест ной работе Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное было воз ведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своем дерзком полете достигло головокружительной высоты успеха»
Но оказалось, что этот трон стоял на шатком основании. Гиль берт так продолжает свои рассуждения: «Очень драматически...
выявились противоречия, сначала единичные, а затем все более резкие и все более серьезные: так называемые парадоксы теории множеств. В особенности это относится к противоречию, найденному Цермело и Расселом, опубликование которого оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие. Перед лицом этих парадоксов Дедекинд и Фреге фактически отказались от своей точки зрения и очистили поле битвы: Дедекинд долго сомневался перед тем, как выпустить новое издание своей работы "Что такое числа, и чем они должны быть", которая в свое время открыла новую эпоху; у Фреге также была тенденция считать свою книгу "Основные законы арифметики" ошибочной, в чем он признается в одном из своих послесловий. И на учение Кантора с
Вечтомов. Математическая реальность и действительность. С. 24. Вейль. О философии математики. С. 16.
Гильберт. Основания геометрии. С. 348.
Математика и философия 337
различных сторон были произведены бурные нападки» . Гильберт констатирует наличие этих противоречий и заканчивает свое рас суждение вопросом: «Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умо заключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, при водят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если
219
даже само математическое мышление дает осечку?» Сам Гильберт не сдавался, он был уверен, что «существует
вполне удовлетворительный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке»220. Но все его попытки спасти ситуацию не привели к успеху — то же самое, кстати, произошло и с Расселом. Рассел много лет упорно трудился, чтобы найти выход из катастрофического положения, вызванного наличием парадоксов, но в итоге сказал: «Я искал определенности того же рода, что и в случае, когда люди хотят опереться на религиозную веру. Я думал, что такую уверенность можно скорее всего найти в математике. Но я обнаружил, что многие из матема тических доказательств, которые я, по мнению моих препода вателей, должен был бы принять, были полны ложных выводов и ошибок. Так что если такая надежность действительно должна была быть найдена в математике, то это должно было бы происходить в новой области математики, в области с более твердыми основаниями, нежели те, которые до сих пор считались надежными. Но в процессе работы я все чаще вспоминал басню о слоне и черепахе. После того как я соорудил слона, на которого мог бы опереться математический мир, я обнаружил, что этот слон шатается, поэтому я перешел к конструированию черепахи, которая должна была предотвратить падение слона. Но черепаха оказалась не сильнее слона, и примерно через 20 лет напряженной работы я
Гильберт. Основания геометрии. С. 349. Там же.
338 ЭКСКУРСЫ
пришел к выводу, что ничего больше не могу сделать для осво бождения математического знания от какого-либо сомнения»221. Зная о таком негативном личном опыте, можно лучше понять знаменитую формулировку Рассела: «Математику можно опреде лить как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и истинно ли то, о чем мы говорим»
Чтобы увидеть, что ситуация действительно кризисная, при
ведем один яркий пример. В своей статье «О значении закона ис-
223
ключенного третьего в математике, особенно в теории функций»
Цит. по: Davis. Fidelity in Mathematical Discourse. P. 252.
URL: http://100citat.ru/citati/citatipotemanim/citatipotemamm5.html
Brouwer. Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik. S. 1-7. Для Брауэра математика — это больше образ действий, чем «теория». Следовательно, она должна «конструироваться», а не «придумываться» или даже «воображаться». Взгляды Брауэра, касающиеся закона исключенного третьего, излагает в краткой форме Герман Вейль в своей книге «О философии математики» (с. 103-107). См. также описание Френкелем «обычного взгляда математиков» и возражения Брауэра: «Надо сказать, что "обычный" математик или философ, так же как "обычный здравый смысл", склонны противиться неоинтуиционистской позиции по отношению к принципу исключенного третьего. Независимо от того, удастся ли прийти к какому-либо решению в настоящее время или когда бы то ни было, все равно, — говорят они, — "объективное" положение дел обязательно состоит в том, что предложение является либо истинным, либо ложным. [Например] существует только шесть простых чисел вида 2л + 1, либо имеется по крайней мере семь таких чисел. Такая аргументация, отвечает Брауэр, основана на двойном недоразумении. Это прежде всего представление о том, что математика имеет дело с некими внешними фактами или с платоновскими идеями, существующими независимо от деятельности математиков; но ведь именно в результате этой деятельности
— и только в результате ее — и создается математика. Если даже кто-либо и верит в некую "объективную истину", характер ее метафизичен, а мате матические доказательства не могут опираться на метафизические сообра жения. Во-вторых, утверждение tertium non datur вызвано (сознательным или бессознательным) влиянием необоснованного распространения на бес конечные области процедуры, законной лишь в применении к конечным областям; процесс просмотра бесконечной области никогда не может быть закончен, так что его "исход" предсказать нельзя даже в принципе» (Френкель, Бар-Хиллел. Основания теории множеств. С. 267-268).
Математика и философия 339
знаменитый математик Л. Брауэр представил доказательство, со гласно которому общепризнанная и преподаваемая в каждом уни верситете теорема Вейерштрасса224 ошибочна. По мнению Брауэра, Вейерштрасс исходил из несостоятельных предпосылок, что привело его к получению ошибочных результатов225.
Эти рассуждения Брауэра сразу напоминают нам о Платоне, который точно понимал суть данной проблемы, описывая ее следующим образом: в геометрии — и в тех науках, которые следуют за ней, — люди действуют, так сказать, не наяву, а во сне, так как не отдают себе отчета в своих предположениях. Может быть, эти предположения недостоверны? Тогда из них неизбежно вытекают сомнительные или даже ложные результаты!226
То есть теорема: «Любая непрерывная функция f(x), определенная всюду в пределах отрезка I, имеет максимум».
Кстати, уже Фреге писал: «Эта борьба между требованиями арифметики и теориями Вейерштрасса производит в том числе и то чудо повторного происхождения предметов, которое может наблюдаться, впрочем, также у других авторов-математиков. Но если бы эти господа захотели попытаться сами возникнуть повторно! Видел ли кто-то из них песчинку, возникающую снова и снова? Но не является ли это только неточным способом выражения, можем мы спросить? Если так, то это не настолько невинно! Если попытаться заменить этот способ выражения на точный, это лишило бы теории Вейерштрасса основной опоры» (Frege. Grundgesetze der Arithmetik. T. IL S. 152). Ср. также следующие критические высказывания Фреге: «Если мы сравним приведенные письма, мы едва ли сможем усомниться в том, что Вейерштрасс стоял на детской точке зрения "орехового пряника"... На вопрос о сути количества мы получаем ответ типа "ряд аналогичных вещей", "предмет из элементов того же самого вида"; короче: куча ореховых пряников — это число по Вейерштрассу» (Ibid. S. 150). «Самое важное для арифметика, который в общем признает возможность творчества, заключается в разработке законов в убедительной манере, законов, которые следует соблюдать, а затем доказать в каждом отдельном акте творения, что он был разрешен в соответствии с этими законами. Иначе все становится неточным, и доказательства опускаются до простого счета, до успокаивающего самообмана» (Ibid. S. 142, курсив мой).
Государство. 533Ь: «Что касается остальных наук, которые пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия [речь идет о геометрии и тех науках,
340 ЭКСКУРСЫ
Эти взгляды Платона не потеряли своего значения и сегодня, стоит лишь вспомнить Г. Фреге: «О значении основной мысли формальной арифметики многие математики, пожалуй, остаются в неведении... Формальная арифметика сможет спасти себя лишь в том случае, если изменит собственным принципам. Этому очевидно способствует поспешность, с которой математики большей частью обходят основы своей науки — если они вообще занимаются этим,— чтобы заняться более значащими предметами. Многое совсем пропускают, другого касаются только мельком, ничего не раскрывают подробно. Таким образом, теория может казаться прочной, но сразу обнаружила бы свою слабость при любой
227
серьезной попытке настоящего осуществления»
Проблемы стали острее и заметнее в начале XX в., когда поя вилась теория множеств. Эта теория, с таким успехом созданная Георгом Кантором, стала фундаментом математики, но когда Рассел представил свой знаменитый парадокс228, на нее, по словам Гиль-
которые следуют за ней], то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать себе в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласо ванность когда-либо стать знанием». Ср. с более наглядной, но все же критической формулировкой Гексли: «Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают, и как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предпосылок» (Электронный источник. URL: http://www.edu.cap.ru/Home/5562/aforizmi.doc).
Frege. Grundgesetze der Arithmetik. T. IL S. 139 (курсив мой.)
Рассел рассматривает множество К всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, и спрашивает: содержит ли К само себя в качестве элемента или нет? Если да, то, по определению К, оно не должно быть элементом К. Если нет, то, опять по определению К, оно должно быть элементом К. И в том и в другом случае получается противоречие. В более наглядной, не математической форме эта антиномия звучит так: допустим, что в какой-то деревне парикмахер бреет всех мужчин деревни, которые не бреются сами. Тогда возникает вопрос: бреет он самого себя или нет? Если да, то он принадлежит к тем, кто бреется сам, но тогда он не должен брить себя! Если нет, он принадлежит к тем, кто не бреется сам, но