346 ЭКСКУРСЫ
Спорные и вызывающие сомнения аспекты мы встречаем не только в теории множеств или в математическом анализе, но и в сфере формальной логики. Какая это «логика», можно спросить, что она собой представляет? На что она способна, где лежат ее границы? По поводу последнего Н. И. Жуков пишет: «Формальная логика "останавливает" движение, каковым является понятийное мышление, "квантует" его на дискретные "атомы" ("атомарные вы сказывания"), а затем с помощью элементарных арифметических операций имитирует движение понятий в урезанном виде, в рамках более или менее однозначных зависимостей. В итоге с помощью ЭВМ воспроизводится лишь рассудочная деятельность, точнее, формально-логическая сторона мышления. Последнее моделируется (имитируется), а не воспроизводится таким, каким оно является у человека»
Очень интересны и значимы рассуждения П. Бернайса, главного сотрудника Гильберта: он напоминает нам о странном выражении Витгенштейна, что логические исчисления — это лишь «бахрома, добавленная к арифметическому исчислению». В каком смысле, спрашивает Бернайс, Витгенштейн прав? То, что можно уложить арифметические термины и выражения в рамки «логистики» (т. е. математической или символической логики), и, следовательно, доказать их в этих рамках, является бесспорным фактом. Тем не менее встает вопрос, покажет ли этот результат, что мы получили собственно философское понимание арифметических положений? Если мы рассмотрим, например, логистическое доказательство уравнения 3 + 7 = 10, то заметим, что оно использует представ ления, которые встречаются в обыкновенных расчетах! Другими словами: уравнение 3 + 7 = 10 верно не потому, что верна соот ветствующая логика предикатов, а наоборот: это выражение будет истинным на языке логики из-за того, что уравнение 3 + 7 = 10
Жуков. Философские основания математики. С. 95. Однако есть и люди, которые более «оптимистично» смотрят на возможности искусственного интеллекта. См. мнение Клюйковых в параграфе 3.9.
|
Математика и философия 347 |
верно |
Весь логический аппарат, как правильно заметил |
Витгенштейн, вовсе не выполняет того, что обычно от него ждут, это на самом деле только бахрома, ненужное украшение, которое добавляют к элементарным расчетам, чтобы они выглядели «более научно».
На этом мы остановимся. Наверное, стало ясно, что в мате матике существуют проблемы, требующие более глубокого иссле
дования, т. е. философского просвещения, или, как сказал Гегель,
239
осознания «метафизических категорий» . Платон, несомненно, согласился бы с Гегелем в том, что математики, ограничивая себя узкой сферой своей профессии и не осознавая этих «мета физических категорий», могут дойти лишь — в лучшем случае! — до «вводной части» исследования240.
Более подробно Бернайс пишет: «Die logische Definition der Dreizahligkeit ist strukturell so beschaffen, daß sie in sich gewissermaßen das Moment der
Dreizahligkeit enthält. Es wird ja die Dreizahligkeit eines Prädikats Ρ
(beziehungsweise der Klasse, welche den Umfang von Ρ bildet) erklärt durch die Bedingung, daß es Dinge x, y, ζ von der Eigenschaft Ρ gibt, die paarweise voneinander verschieden sind, und daß ferner jedes Ding von der Eigenschaft Ρ mit χ oder у oder ζ identisch ist. Die Feststellung nun, daß fur ein dreizahliges Prädikat Ρ und ein siebenzahliges Prädikat Q, im Falle, daß die Prädikate nicht
gemeinsam auf ein Ding zutreffen, die Alternative PvQ ein zehnteiliges Prädikat ist, erfordert für ihre Begründung gerade solche Vergleichungen, wie sie im elementaren Rechnen gebraucht werden, nur dass hier noch ein zusätzlicher logischer Apparat (die "Fransen") in Funktion tritt» (Bernays. Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik. S. 135).
«Должно же наконец наступить время, когда наука осознает метафи зические категории, которыми она пользуется!..» (Гегель. Энциклопедия философских наук. Т. 2. С. 94). Немецкий подлинник «Wann wird die Wissenschaft einmal dahin kommen, über die metaphysischen Kategorien, die sie braucht, ein Bewußtsein zu erlangen!» лучше перевести так: «Когда, наконец-то, наука осознает метафизические категории, в которых она нуждается!..»
Государство. 53Id: «Ты разумеешь вводную часть или что-нибудь другое? Разве мы не знаем, что все это лишь вступление к тому напеву, который надо усвоить? Ведь не считаешь же ты, что кто в этом силен, тот и искусный диалектик?» Ср. также интересные размышления Сократа в «Федоне» (99a-d) о людях, довольствующихся ограниченным знанием:
348 ЭКСКУРСЫ
Теперь пора перейти к положительным сторонам математики. Сначала упомянем о посреднической роли математики, о которой мы уже говорили в параграфе 2.5, и добавим некоторые другие моменты. Один аспект состоит в том, что математика способна служить посредником между чувственным миром и миром идей; по словам Когена: «Так же, как, с одной стороны, объект математи ческого мышления связан с чувственностью обычного восприятия, он, с другой стороны, связан с познавательной ценностью идей, и, следовательно, может привести к посредничеству между этими двумя крайними концами бытия, öv и όντως öv»241. Курант более подробно описывает особое положение математики внутри осталь ных наук: «Среди сфер научного мышления математика занимает, несомненно, особое положение. Несмотря на тесную связь с естест венными науками, она не является ни одной из них; математические объекты — это не природные, но принадлежащие к сфере
«Да, клянусь собакой, эти жилы и эти кости уже давно, я думаю, были бы где-нибудь в Мегарах или в Беотии, увлеченные ложным мнением о лучшем, если бы я не признал более справедливым и более прекрасным не бежать и не скрываться, но принять любое наказание, какое бы ни назначило мне государство. Нет, называть подобные вещи причинами — полная бессмыслица. Если бы кто говорил, что без всего этого — без костей, сухожилий и всего прочего, чем я владею, — я бы не мог делать то, что считаю нужным, он говорил бы верно. Но утверждать, будто они причина всему, что я делаю, и в то же время что в данном случае я повинуюсь Уму, а не сам избираю наилучший образ действий, было бы крайне необдуманно. Это значит не различать между истинной причиной и тем, без чего причина не могла бы быть причиною. Это последнее толпа, как бы ощупью шаря в потемках, называет причиной — чуждым, как мне кажется, именем. И вот последствия: один изображает Землю недвижно покоящейся под небом и окруженною неким вихрем, для другого она чтото вроде мелкого корыта, поддерживаемого основанием из воздуха, но силы, которая наилучшим образом устроила все так, как оно есть сейчас,
— этой силы они не ищут и даже не предполагают за нею великой божественной мощи. Они надеются в один прекрасный день изобрести Атланта, еще более мощного и бессмертного, способного еще тверже удерживать все на себе, и нисколько не предполагают, что в дейст вительности все связуется и удерживается благим и должным».
Cohen. Piatons Ideenlehre und die Mathematik. S. 18.
Математика и философия 349
интеллекта феномены. Но еще менее можно отнести математику к гуманитарным наукам, каковые, при всей произвольности их раз деления и при всем многообразии их предметов и методов, объединяет нечто общее, а именно, ориентация на человека как разумную личность. Ничто не лежит дальше от математического мышления, чем такая установка: математическое мышление стре мится скорее к познанию абсолютной истины, оторванной от "Я", и воплощает эту тенденцию, направленную в противоположную от человеческо-личного сторону, сильнее, чем любая из естественных
242
наук» .
Своеобразно высказывался о точке зрения Платона, касающейся посреднической роли математики, В. Асмус: «В отличие от "идей" математические предметы и математические отношения пости гаются посредством рассуждения, или размышления рассудка. Это и есть второй вид знания... Итак, размышление, направленное на математические предметы, занимает, по Платону, середину между подлинным знанием и мнением. Почему же математические пред меты занимают такое положение? Дело в том, что, по Платону, математические предметы родственны и вещам, и "идеям". Пред меты эти как "идеи" неизменны; природа их не зависит от отдельных экземпляров, представляющих их в чувственном мире. Например, природа треугольника не зависит от того, какой частный треугольник мы станем рассматривать. Но вместе с тем, поясняет Платон, математики вынуждены прибегать для постижения своих предметов к помощи отдельных фигур. Фигуры же эти рисуются или представляются посредством воображения. Именно поэтому математическое знание не есть знание, совпадающее с тем, при помощи которого постигаются "идеи". Оно совмещает в себе черты истинного знания с некоторыми чертами мнения»24 .
Во введении к своему изданию комментария Прокла об Евклиде Г. Морроу резюмирует точку зрения Прокла — которую сам Прокл считает достоверным мнением Платона — следующим образом:
Courant. Über die allgemeine Bedeutung des mathematischen Denkens. S. 89.
Асмус. Платон. С. 86-87.
350 ЭКСКУРСЫ
«Чувственное восприятие способно лишь на тусклое постижение бытия; его знание фрагментарно, неточно и неустойчиво и состав ляет лишь мнение (doxa) о своих объектах. Понимание (dianoia) вносит ясность и точность, но его осторожные дискурсивные проце дуры, его отношение к своим объектам как к протяженным и зависимость его принципов от высшего знания раскрывают его ущербность в немедленном, полном и несомненном понимании Nous... [Понимание], таким образом, является подлинным посред ником между низшим и высочайшим уровнями бытия, подра
жающим наивысшему и предоставляющим |
понятные модели для |
- |
244 |
понимания лежащего ниже мира физических процессов» |
|
Особый интерес представляют комментарии Гайзера к трем «математическим» отрывкам из «Менона». Стоит привести их здесь
впереводе. «Интерпретация трех математических мест [в "Меноне"]
вцелом подтвердила ожидание... что для Платона уже в то время существовала внутренняя связь между философским вопросом о "благом" и определенными математическими представлениями...
Философский интерес, с которым Платон следил за математи ческими исследованиями, становится понятным, если увидеть, что различные аспекты математической проблематики тесно взаимо связаны: всюду можно наблюдать некоторое напряжение в отно шении между единством и множеством, соразмерностью и несораз мерностью, определенностью и неопределенностью. А это значит, что для Платона математика давала возможность изучить отно шение между Peras и Apeiron, которое, видимо, в виде модели обосновывает весь порядок бытия. (В средней части диалога Сократ высказывает мнение, что все происходящие явления и законы физического мира должны рассматриваться как связанные друг с другом (81dl). То, что Платон был особенно убежден, что все сущее происходит из общего начала, а значит, можно предполагать, что в
основном все можно объяснить единообразно, нам покажут введенные в беседу математические примеры. Это, видимо, осо-
Morrow. Proclus — A Commentary on the First Book of Euklid's Elements. P. XXXIV.