О роли языка в философии и математике 311
например, в эволюции теории гомотопий, «которая постепенно превратилась в некий новый язык для математиков постмодерна (для посвященных читателей я могу упомянуть "Brave New Rings")» . Но математик легко справится с новыми терминами, и, главное, они способствуют и не препятствуют развитию математики. Поэтому, продолжает Манин, «основное содержание математики устойчиво развивается... Непременным условием такого постоянства и непрерывного вовлечения является создание и поддержание самого надежного, достоверного, связывающего разные поколения потока информации. Лингвистические средства математики, которыми эта информация кодируется и передается, являются, возможно, гораздо более разнообразными, непостоян ными, подверженными влиянию неодолимых ветров истории, нежели содержание самой информации»155.
Значит, математический язык может развиваться, может содержать различные «диалекты», и многие студенты мучаются, изучая этот особенный язык, но принципиально все в нем ясно, прозрачно и как-то просто. Хотя, если мы копнем глубже, появятся трудности. Как подчеркивал П. Бернайс, образование основных понятий является сложным делом, и подробный и логичный анализ процесса образования понятий возможен только на основании теории соотношений. «Только на основании этой теории мы обна руживаем, какие сложные по составу логические выражения (отно шения, предложения существования и т. д.) охватываются краткими языковыми выражениями»1 .
Manin. What Then? The Modernist Transformation of Mathematics. P. 242. Ibid. P. 240.
Bernays. Abhandlungen zur Philosophie der Mengenlehre. S. 15. Можно, конечно, аргументировать, что все эти трудности не должны нас пугать. Так пиал Витгенштейн: «Я полагаю, будь в арифметике действительно найдено противоречие, это доказывало бы лишь, что арифметика с таким противоречием может вполне успешно справляться со своими задачами; и было бы предпочтительнее видоизменить наше понятие требуемой надежности, чем утверждать, что это еще не было бы по сути подлинной арифметикой. — "Но ведь это же не идеальная надежность!" — Идеальная
312 ЭКСКУРСЫ
Наглядным примером того, как «работает» неправильное образование или неправильное употребление основных понятий, может служить знаменитое доказательство существования Бога Ансельма157. Если это «доказательство» убеждает кого-то, то не из-
за его правильности и убедительности, а из-за того, что он
158
утверждает то, во что этот человек уже верит . Но такая ложная убедительность — это не то, чего искал Платон.
Назовем еще одну проблему. Даже если математический язык достаточно ясен и четко определен и слушатель или читатель в принципе понимает смысл сказанного, это не означает, что он обязательно с ним согласится. Дело в том, что, как говорил Вольфганг Штегмюллер, каждый шаг мышления или доказа тельства в той или иной форме требует от человека, воспри нимающего аргументацию (назовем его участник X) не только понимания, но и actus evidentiae — такого, чтобы он сказал: «Да, это действительно так!», или: «Да, я вижу это!». Речь здесь идет не об избытке или недостатке знаний, а также не об интеллектуальных способностях или их отсутствии у участника X, а о важности и необходимости того факта, что X выражает свое искреннее согласие с аргументацией, так как она кажется ему evident, т. е. действительно и неизбежно очевидной, ясной, несомненной. Но такой эвидентности невозможно добиться аргументами — она или есть, или нет. Это справедливо не только для математики, но и для философии . Следовательно, тщательность использования
для какой цели? Правила логического вывода — это правила языковой игры» (Витгенштейн. Замечания по основаниям математики. С. 191). Но эта позиция вряд ли удовлетворит философа, ищущего «истину».
Формулировка этого доказательства приведена на странице 299 (примеч. 119) наст. изд. (Ансельм Кентерберийский. Прослогион. Гл. II). При ближайшем рассмотрении оказывается, что оно недопустимым образом связывает понятия «истина» и «существование»; в действительности логичная истина ни в коем случае не подразумевает существование.
См. с. 299 (примеч. 120) наст. изд.
«Тезис о теоретической неразрешимости проблемы очевидности имеет особенную силу для всех философских проблем, которые возможно
О роли языка в философии и математике 313
дефиниций, дедукций и доказательств, которую искал Платон, является очень важным фактором, но принципиально не может убедить всех и всегда.
Нам кажется, что Платон довольно ясно видел или хотя бы чувствовал все вышеупомянутые проблемы. Об этом особенно ярко свидетельствует диалог «Парменид», и мы приходим в изумление перед мужеством, с которым он оставил этот диалог без заключения— он как будто предчувствовал некоторые из тех выводов, что будут сделаны в математически-философской диссертации Виттенберга о мышлении и понятиях более чем 2000 лет спустя. В этом труде фундаментальные математические проблемы были обобщены до вопросов о смысле наших языковых выражений и об образовании адекватных понятий, и автор пришел к отрицательному результату: критическая проблема понятия принципиально неразрешима. «Последнее и абсолютное познание нам не доступно — если мы потребуем такового, то наша оценка этого познания может быть только скептической; самая глубокая причина этого лежит не в слабости нашей способности познания, а уже в том факте, что наши понятийные средства избегают абсолютно любой гарантированное™»160.
Приведем в конце концов выразительную цитату, озаглавлен ную «Plato's Ghost», в которой ее автор критически комментирует не только свою книгу о развитии математики, но также сомни тельность успеха крупных математиков и их достижений:
«Не стоит даже говорить о том, что я далек от мысли, будто бы довел эту книгу до совершенства. Кульминацией стихотворения
решить только на основе очевидности. Особенно это важно при выяснении объективно-метафизических предпосылок отдельных наук. Платоник, как и реалист, может только апеллировать к непосредственной очевидности существования классов, которые отличаются от фактических совокуп ностей, или качеств, в дополнение к качественно определенным конкрет ным сущностям. Тех, кто не верит в очевидности такого рода, невозможно опровергнуть. В этом случае логическая аргументация бессмысленна»
(Stegmüller. Metaphysik — Skepsis — Wissenschaft. S. 172-173).
Wittenberg. Vom Denken in Begriffen. S. 359.
314 ЭКСКУРСЫ
Йейтса161 с его призывом к тяжкому труду, ведущему к земному успеху, является претензия на безупречность, убедительно опровергнуть которую способен лишь дух Платона . Я поставил это стихотворение в начало своей книги, поскольку оно прекрасно иллюстрирует описываемую мной ситуацию в математике. Мало того, что Платон — главный предшественник всех математиков, а платонизм обычно считается их философией "по умолчанию", сами философы тоже обречены находиться в его тени. Многих из тех, кого мы здесь обсуждаем, тяжелый труд действительно привел к мировому признанию и славе. Что еще более важно, математики зачастую верили, что действительно довели нечто до совершенства и дали, наконец, окончательное объяснение тому или иному аспекту математики, или философии математики, или ее связи с логикой, или с природным миром. Всякий раз они ошибались. Они, воз можно, проникли глубже, чем кто-либо до них, но лишь для того, чтобы совершить еще более глубокие ошибки. Кто лучше, чем призрак Платона, мог бы спросить их, действительно ли на этом все, и ничего более не должно быть сказано?»16
Две строфы этой поэмы Йейтса звучат так: «Everything he wrote was read, / After certain years he won / Sufficient money for his need, / Friends that have been friends indeed; / "What then?" sang Plato's ghost. "What then?"... "The work is done", grown old he thought, / "According to my boyish plan; / Let the fools rage, I swerved in naught, / Something to perfection brought"; / But louder sang that ghost, "What then?"» («Все что он написал, было прочитано, / В запланированный срок он получил / Достаточно денег для своих нужд / И истинных друзей; / "Ну и что?" — пел дух Платона. — "Ну и что?" / "Работа закончена, — сказал он, постарев, / — Как я и планировал в юности"; / Пускай глупцы беснуются, я дошел до изнеможения, / Но хоть что-то довел до совершенства; / Но громче дух тот запел: "Ну и что?"»)
Йейтс, видимо, полагал, что в философии Платона наша повседневная жизнь не имеет особого значения — все, что мы делаем здесь, является мимолетным, бренным.
Gray. Plato's Ghost. The Modern Transformation of Mathematics. P. 14.
Эмпиризм и роль основополагающих идей 315
Есть люди, которые полностью сосредоточены на эмпирическом мире, и они невысокого мнения о теоретических рассуждениях. Так же и Сократ, как расказывает Ксенофонт, учил своих собеседников, «в каком объеме истинно образованный человек должен знать тот или другой предмет. Так, например, геометрию надо изучать, гово рил он, лишь в таком объеме, чтобы быть в состоянии, в случае надобности, участок земли правильно, согласно с измерением, принять, передать, разделить или представить отчет о работе... Но в изучении геометрии доходить до малодоступных пониманию чертежей он находил ненужным; пользы от этого, говорил он, не видно; хоть сам он не был профаном в этой науке, но говорил, что занятие ею может поглотить у человека всю жизнь и помешать изучению многих других полезных наук. Он рекомендовал также изучение астрономии, но тоже лишь в таком объеме, чтоб иметь возможность определять время ночи, месяца и года для поездок сухопутных и морских... а изучать астрономию в таком объеме, чтобы узнать даже те небесные тела, которые не вращаются вместе с другими, именно планеты и блуждающие звезды, и мучиться над исследованием их расстояния от земли, времени и причин их вращения, — от этого он усиленно старался отвлечь своих друзей: пользы, говорил он, и в этом никакой не видит; хоть он и по части астрономии имел сведения, но говорил, что и занятие ею может поглотить у человека жизнь и помешать изучению многих полезных наук. Вообще он не советовал заниматься изучением небесных явлений, как бог производит каждое из них: этого, думал он, людям не удастся постигнуть, да и богам не доставляет удовольствия, если кто исследует то, чего они не захотели открыть. К тому же тот, кто занят такими изысканиями, рискует сойти с ума...»
Другого мнения придерживался Папп. По его словам, сущест вует тесная связь между теорией и эмпирикой: «Наука механики, мой дорогой Гермодор, является не только полезной для многих
Ксенофонт Афинский. Воспоминания о Сократе. IV, 7.