306 ЭКСКУРСЫ
Платон, осознавая все эти упомянутые проблемы, упорно искал решение, и, как мне кажется, нашел, причем не одно, а целых четыре. Во-первых, он считал, что вполне возможно мыслить, говорить и писать столь осторожно и тщательно, чтобы хотя бы минимизировать возможность ошибки, — и всегда старался действовать подобным образом143. Во-вторых, для того, чтобы «выразить невыразимое», Платон использовал мифологические сюжеты. В-третьих, он избрал диалогическую форму изложения своего учения, чтобы включить слушателей и читателей в диалектику мышления. В-четвертых, и это для нас особенно интересно, Платон обратился к математике как к инструменту оттачивания мыслей и слов. Он хотел, чтобы как в математике, так и в философии все было сказано и зафиксировано ясно, правильно, непоколебимо и «вечно».
Возникает, конечно же, вопрос: может ли служить математика хорошим примером для философии в этой сфере? Способен ли математический язык абсолютно точно выразить какую-то
См.: Федр 277е-278Ь: «Кто же считает, что в речи, написанной на любую тему, неизбежно будет много развлекательного и что никогда еще не было написано или произнесено ни одной речи, в стихах ли или нет, которая заслуживала бы серьезного отношения (ведь речи произносят подобно сказам рапсодов, то есть без исследования и поучения, имеющего целью убеждать; в сущности, лучшее, что у них есть, рапсоды знают наизусть), — так вот, такой человек находит, что только в речах назидательных, произносимых ради поучения и воистину начертываемых в душе, в речах о справедливости, красоте и благе есть ясность и совершенство, стоящие стараний. О таких речах он скажет, что они словно родные его сыновья, — прежде всего о той, которую он изобрел сам, затем о ее потомках и братьях, заслуженно возникших в душах других людей. А с остальными сочинениями он распростится. Вот тот человек, Федр, каким мы с тобой оба желали бы стать». И если читатель или слушатель соблюдает подобную скрупулезность, то он тоже может приближаться к правде, как это демонстрирует платоновский Евклид: «Впоследствии, вспоминая на досуге что-то еще, я вписывал это в книгу, и к тому же всякий раз, бывая в Афинах, я снова спрашивал у Сократа то, чего не помнил, а дома исправлял. Так что у меня теперь записан почти весь этот разговор» (Теэтет. 143а).
О роли языка в философии и математике 307
математическую мысль? Существуют ли «предохранители», гаран тирующие правильность высказываний математика, когда он, допустим, представляет устное или письменное доказательство какой-либо теоремы? По Гоббсу, да: следует лишь избегать невежества и небрежности: «Существует только две причины, по которым в доказательстве какого-либо заключения вообще в любой науке может возникнуть ошибка, а именно: нехватка понимания и невнимательность. Как при сложении многих больших чисел не совершит ошибки тот, кто знает правила сложения, а также внимательно следит за тем, чтобы не ошибиться ни в одном числе и не поменять числа местами, так и в любой другой науке тот, кто в совершенстве владеет правилами логики и следит за тем, чтобы не написать одного слова вместо другого, никогда не потерпит неудачу в достижении истины, хотя, возможно, это и не будет
144 |
т/- |
самым коротким и легким доказательством» |
. Коротко описал это |
убеждение Мордухай-Болтовской: «Математические ошибки суть не что иное, как погрешности памяти или внимания»145. Математик Финслер, взгляды которого мы представляем в Приложении А, также утверждал: «Все позволено в математике, лишь бы только не противоречить самому себе. Это единственная ошибка, которую мы можем совершить» . Мыслить и говорить по образцу самой математики — вот что нужно делать, чтобы результат был ясным, правильным и убедительным.
Но, как нам представляется, математика может играть роль такого образцового примера лишь отчасти. Дело в том, что вызы вает сомнения само представление, будто человек «в принципе» умеет мыслить безошибочно. Так, И. Кант считал человеческий разум несовершенным и склонным к ошибкам, интересным образом объясняя этот факт телесными феноменами . И. Р. Браун говорил
Hobbes. Paralogisms. P. 211-212. (Курсив мой).
Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 94. Finsler. A propos de la discussion sur les fondements de mathématiques. P. 170.
«Поскольку творение так устроило человека, что душа и тело зависимы друг от друга, душа не только получает все понятия о Вселенной сово-
308 ЭКСКУРСЫ
об этом так: «Наше теоретическое умозрение, точно так же как и опытное, подвержены иллюзиям и изменениям» . А профессор математики И. И. Буркхардт сказал мне в личном разговоре об убеждениях Финслера: «Кто знает? Может быть, наш разум создан так, что он иногда неизбежно ошибается, — и это становится заметно не сразу, или даже не становится никогда?»
Но предположим, что некому человеку удалось абсолютно правильное размышление, не содержащее никаких скрытых
купно с телом и под его влиянием, но и само проявление силы ее мыш ления находится в зависимости от строения тела, с помощью которого она и обретает необходимую для этого способность... Если исследовать причину тех препятствий, которые удерживают человеческую природу на столь низкой ступени, то окажется, что она кроется в грубости материи, в которой заключена духовная его часть, в негибкости волокон, в косности и неподвижности соков, долженствующих повиноваться импульсам этой духовной части. Нервы и жидкости мозга человека доставляют ему лишь грубые и неясные понятия, а так как возбуждению чувственных ощущений он не в состоянии противопоставить для равновесия внутри своей мысли тельной способности достаточно сильные представления, то он и отдается во власть своих страстей, оглушенный и растревоженный игрой стихий, поддерживающих его тело. Попытки разума противодействовать этому, рассеять эту путаницу светом способности суждения подобны лучам солнца, когда густые облака неотступно прерывают и затемняют их яркий свет. Эта грубость вещества и ткани в строении человеческой природы есть причина той косности, которая делает способности души постоянно вялыми и бессильными. Деятельность размышления и освещаемых разумом представлений — утомительное состояние, в которое душа не может прийти без сопротивления и из которого естественные склонности человеческого тела вскоре вновь возвращают ее в пассивное состояние, когда чувственные раздражения определяют всю ее деятельность и управляют ею. Эта косность мыслительной способности, будучи результатом зависимости от грубой и негибкой материи, представляет собой источник не только пороков, но и заблуждений. Поскольку трудно рассеять туман смутных понятий и отделить общее познание, возникающее из сравнения идей, от чувственных впечатлений, душа охотнее приходит к поспешным выводам и удовлетворяется таким пониманием, которое вряд ли даст ей возможность увидеть со стороны косность ее природы и сопротивление материи» (Кант. Всеобщая естественная история и теория неба. С. 248-249.
Brown. Philosophy of Mathematics. P. 15.
О роли языка в философии и математике 309
ошибок. Было бы этого достаточно, чтобы по-настоящему убедить другого человека? Вряд ли. Вспомним Хайдеггера: проблема в том, что мысли обычно скрываются и искажаются в процессе выска зывания. То есть если этот человек выражает свои «правильные» мысли устно или письменно, то слушатели или читатели воспринимают эти мысли уже не в первоначальном смысле, а могут и вовсе их не понять. Это постигло, например, Фреге: он пытался установить «формализованный язык чистого мышления по образцу математического языка» , надеясь, что это позволит избежать неясностей и заблуждений в научных речах и дискуссиях со стопроцентной гарантией. Но вскоре он заметил, что его попыток говорить и писать абсолютно ясно оказалось недостаточно, и воскликнул: «Как фундаментально ошибочно понимаются иногда мои рассуждения!»1 Значит, даже в математике не существует языка и способа мышления, способного убедить каждого слушателя или читателя.
Почему же это так? Бывает, конечно, что высокообразованные ученые невнимательно или даже предвзято читают текст и, следовательно, подвергают его несправедливой критике. Но проблема этим не исчерпывается. Существует еще одна трудность математического языка, трудность, которую предчувствовал уже Платон:
Но кто хоть немного знает толк в геометрии, не будет оспаривать, что наука эта полностью противоположна тем словесным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею.
— То есть? — Они выражаются как-то очень забавно и принужденно. Словно они заняты практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют выра жения «построим» четырехугольник, «проведем» линию, «произведем наложение» и так далее: все это так и сыплется
Так написано в подзаголовке его труда «Begriffsschrift» от 1879 г. Frege. Begriffsschrift und andere Aufsätze. S. 101.
310 ЭКСКУРСЫ
из их уст. А между тем все это наука, которой занимаются ради познания151.
Здесь интересно, что словесные выражения употребляются не только забавно, но и принужденно забавно, т. е. математик не может обойтись без таких «забавных» выражений. Конечно, он ищет абсолютно адекватные термины и выражения, но не достигает этой цели, и ему приходится удовлетвориться суррогатом. «Платон не объясняет источник этой принужденности, находится ли она в природе самого предмета или в природе того, кто им занимается. Возможно, причина в них обоих. Если кто-то смотрит на солнце, его глазам будет больно. Поэтому надо изучать солнце с помощью теней и отражений. По аналогии, мы должны использовать неподходящий язык при изучении математики»
Однако опытный математик вряд ли согласится с таким описанием, ведь его язык всегда «подходит». Если он, например, использует термин «фильтр», он перенимает — можно сказать, немного «забавно» — кухонный термин, но это не имеет значения: математический фильтр — это точно определенное множество в топологии, и этот термин употребляется одинаково каждым математиком. Этого достаточно; если я поменяю термин «фильтр» на термин «яблоко», то в теории ничего не изменится. Д. Гильберт однажды написал, что если в геометрии я вместо термин «точка» использую слово «любовь», вместо «линия» слово «трубочист», и т. д., то от этого ничего не изменится, «и мои законы, например теорема Пифагора, останут правильными и при этим вещам»153. Итак, математический язык, как утверждает математик Ю. И. Манин, сильно изменяется с течением времени. В нем появляются новые термины, новые «диалекты» — это видно,
Государство. 527а-Ь.
Benno, Mueller. Plato and mathematics. P. 16. Примеч. 12.
Hubert D. Brief an Frege // Unbekannte Briefe Frege's über die Grundlagen der Geometrie und Antwortbrief Hubert's an Frege. Hrsg. von Max Steck. Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Mathema- tisch-naturwissenschaftliche Klasse, Jg. 1941, 2. Abhandlung.