Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

Эмпиризм и роль основополагающих идей 321

ническим вспомогательным средствам в геометрии (см. параграф 2.4): они дают лишь приблизительные величины, но никакого представления о законах чистой геометрии.

Следовательно, Платон признает значение эмпиризма в каких-то

областях, но считает его ненадежным в поисках истинного знания:

181

это в значительной степени лишь «теневой набросок» ; только

чистое мышление может вести к верному познанию.

Данное утверждение надо разделить на два высказывания:

1)эмпирическое познание менее надежно, чем познание, которое происходит от чистого мышления;

2)только с помощью чистого мышления можно достичь истинного знания.

Первое высказывание можно подвергнуть критике. Ламарк, например, занимал прямо противоположную точку зрения; он пишет: «Суждения, лежащие вне круга приобретенных представ­ лений, оказываются совершенно необоснованными. Суждение для ума то же, что глаза для тела. Как в том, так и в другом случае явления и предметы представляются именно такими, какими их видят. Но орган зрения у всех людей находится примерно на одина­ ковом уровне совершенства, и если глаза иногда и обманывают, то обман этот в общем невелик, и каждый человек располагает средст­ вами, позволяющими исправить возможные при этом крупные ошибки. Далеко не так обстоит дело с суждениями: степени пра­ вильности суждения настолько разнообразны, настолько много­ численны и так сильно отличаются у одних индивидуумов по сравнению с другими, что, рассматривая предельные проявления

этой прекрасной способности, можно обнаружить огромные раз-

182

личия между одним человеком и другим» Леонард Эйлер тоже подверг точку зрения Платона подробной

критике и показал, что «истины, познаваемые нами посредством чувств, столь же непреложны, как и самые что ни на есть

Государство. 583Ь.

Ламарк. Аналитическая система. С. 551.

322 ЭКСКУРСЫ

обоснованные математические истины» — «я даже осмелюсь утверждать, что рассуждение вводит в обман значительно чаще, чем ощущения»184.

Согласно Э. В. Бету, с этой частью платоновской теории поз­ нания — что эмпирическое познание менее надежно, чем познание, которое происходит от чистого мышления — нельзя согласиться. Да, она может объяснить, почему в нашем повседневном мире мы не можем найти математические объекты в чистом виде, «но он [платонизм. — В. 3.] может сделать это лишь в ущерб той уверен­ ности, которую мы приписываем нашему нынешнему математи­ ческому знанию. Ибо, если это знание основано на воспоминании, тогда как же оно может продемонстрировать более высокую

степень надежности, нежели знание, основанное на нашем чувст-

1 ос

венном восприятии?» Интересно, что Давид Гильберт также подчеркнул, что опыт не

является ни второстепенным, ни ненадежным, но наоборот, яв­ ляется основой знания. Гильберт был подлинным создателем формализованной математики, в которой понятия (и аксиомы) лишены смысла , и, по-видимому, не имеют ничего общего с нашим будничным опытом. Тем не менее Гильберт считал созерцание и опыт фундаментальными. В своей книге «Основания геометрии» он сперва цитирует Канта: «Так всякое человеческое познание начинается представлениями, переходит к понятиям и

Эйлер. Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. С. 260. Эйлер признает платоновский символ пещеры только в ограниченном смысле, так как он различает три правды, из которых каждая не более известна, чем остальные: правда опыта, правда разума, и правда веры. Только фантазер классифицирует правду опыта как более низкую или принципиально сомнительную.

Там же. С. 262.

Beth. The Foundations of Mathematics. P. 639-640.

Как однажды сказал Гильберт: в геометрии мы могли бы вместо «точка, прямая, плоскость» сказать «любовь, закон, трубочист» или «стул, стол, пивная кружка» — при этом содержание евклидовой геометрии не претерпело бы никаких изменений.

Эмпиризм и роль основополагающих идей 323

187

кончается идеями» . А затем в первой главе он говорит: «Аксиомы геометрии мы можем разделить на пять групп; каждая отдельная группа выражает известные, связанные между собою основные факты нашего представления»188. То есть только кажется, что построенная на аксиомах математическая теория — это «бес­ содержательная игра»; в действительности аксиомы выбраны так, что они приспособлены к нашему опыту. Говоря словами Канта, «как только дело доходит до основных сил или основных способностей, всякое человеческое постижение прекращается, так как ничем нельзя познать их возможность; но так лее мало молено

признавать их» . Колмогоров же подчеркивал, что чистый фор­ мализм сам по себе ничего не дает, «лишь метаматематика позволяет установить, каким формулам формализованной мате­ матики можно придать содержательное толкование, допускающее

применения к изучению реального мира и в реальной человеческой

190

практике»

Еще более остро Кант выразил основополагающее значение эмпирического следующими словами: «Нам действительно ничего не дано, кроме восприятия и эмпирического продвижения от данного восприятия к другим возможным восприятиям» (Кант. Критика чистого разума. С. 451).

188Гильберт. Основания геометрии. С. 2.

189Кант. Критика практического разума. С. 366. (Курсив мой.)

190Колмогоров. Математика — наука и профессия. С. 232. Однако Бурбаки полагает — и это ясно из его основной установки, — что значение «Основ» Гильберта как раз состоит в том, чтобы показать, что для математики отношение к реальности не имеет значения. «Он [Гильберт] убедительно доказывает, что в той области науки, которая до сих пор считалась наиболее близкой к явлениям чувственного мира, математики пользуются свободой при выборе постулатов. Несмотря на замешательство среди некоторых философов, возникшее от этих "метагеометрий" со странными свойствами, основная концепция "Grundlagen" получила у математиков быстрое и почти единодушное признание; А. Пуанкаре, которого вряд ли можно заподозрить в пристрастии к формализму, пришел в 1902 г. к выводу, что геометрические аксиомы являются соглашениями и понятие "истины" в обычном значении слова в отношении их уже не имеет смысла.

324 ЭКСКУРСЫ

То, что путь должен проходить от эмпиризма к теории, а не наоборот — что, кстати, представляет наивысший дидактический интерес! — показывает и письмо Архимеда к Эратосфену: «Многое, что мне сначала прояснилось механикой, доказывалось позже геометрией... На самом деле легче произвести доказательство на основании первоначальных представлений о вопросе механическим методом, чем изобретать доказательство без предварительного

помощью механических моделей основные «предварительные представления», которые затем подтверждал чисто геометричес­ кими соображениями.

Однако вторая часть высказывания Платона — о том, что только чистое мышление может привести к верному знанию, — все равно сохраняет право на существование. Когда Архимед эксперименти­ ровал с механическими моделями, это вызвало в его мышлении те идеи, которые затем сделали возможным настоящее понимание того, что он увидел в эксперименте. Когда эти идеи стали более конкретными, Архимед смог использовать их для разработки соот­ ветствующей теории из более осмысленных и правильных пред­ ставлений. Такой ход событий Кант сформулировал следующим образом: да, нужно исходить из отдельных практических знаний и исследовать их, насколько это возможно; они действительно обра­ зуют нередуцируемое основание. Но представить отдельные эмпи­ рические сведения в их связи, т. е. добраться до реального научного знания, удается только тогда, когда мы несем в себе представление

о целом, и эта идея исходит не из эмпирики, а из наших чисто

192

рациональных способностей . Проще говоря, если у нас нет

Таким образом, "математическая истина" пребывает исключительно в логической дедукции из посылок, произвольно установленных аксиомами» (Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 28).

Это письмо было обнаружено в 1906 г. исследователем Архимеда Хейбергом (см.: Heiberg. Eine neue Archimedeshandschrift. S. 235-303). Здесь цитируется по: Colerus. Von Pythagoras bis Hubert. S. 75-76.

«Когда дело идет об определении особой способности человеческой души по ее источникам, содержанию и границам, то исходя из природы чело-

Эмпиризм и роль основополагающих идей 325

заранее какого-то представления о том, как в определенном случае ведут себя вещи, невозможно подготовить осмысленный экспери­ мент. И наоборот, осмысленно объяснить экспериментальные дан­ ные можно только тогда, когда мы мысленно уже создали возмож­ ную модель разъяснения, какую-то «теорию».

Можно прекрасно проиллюстрировать это дискуссией Галилея с

церковными авторитетами. Тогдашние римские теологи были, по

193

словам Вайцзеккера , открыты для новых знаний, но они по­ просили Галилея доказать его утверждение, и Галилей не смог предоставить таких доказательств. Аристотель учил, например, что тела с различным весом с разным ускорением падают на землю, и это очень хорошо совпадало с повседневным опытом. Галилей, однако, опирался не только на эмпирику, скорее он искал идеаль­ ный закон, в платоновском смысле, которому эмпирика более или менее повинуется. Поэтому он утверждал, что в идеальном случае, т. е. когда тела падают в вакууме и, следовательно, ничего не мешает их падению, все тела ускоряются одинаково. Но он не мог создать вакуум и обосновать свою гипотезу экспериментально1 . Точно так же Галилей не был в состоянии бесспорно про-

веческого познания это, конечно, возможно только в том случае, если точное и (поскольку это возможно при нынешнем положении уже приобретенных нами элементов его) полное изложение его начинать с его частей. Но здесь надо обратить внимание еще на нечто другое, имеющее более философский и архитектонический характер, а именно на необхо­ димость правильно постичь идею целого и из нее в чистой способности разума обратить пристальное внимание на все части в их отношении друг к другу, выводя их из понятия этого целого» (Кант. Критика практического разума. С. 319-320). Короче говоря: «Разум — это создатель его предметов и мира, состоящего из них; но таким образом, что реальные вещи являются причинами его действий и, следовательно, его представлений» (Kant. Der Streit der Fakultäten. S. 343).

Weizsäcker. Die Tragweite der Wissenschaft. S. 107-109.

Уже Лукреций утверждал, что в вакууме все тела падают с одинаковой скоростью: «Должно поэтому все, проносясь в пустоте без препятствий, равную скорость иметь, несмотря на различие в весе» (О природе вещей. II, 238-239), но и он пришел к этому выводу на основании атомистических соображений, а не на основании эмпирических фактов.