Косвенный метод 251
В «Пармениде» Платон излагает аргументы Зенона, которыми тот хотел опровергнуть доводы противников Парменида: предполо жение, что существует многое, приводит к недопустимым выводам, следовательно, оно неверно
Косвенное доказательство применяется Платоном довольно часто. Ван дер Варден пишет: «Рейдемейстер в своей "Mathematik und Logik bei Platon" (Leipzig, 1942) подчеркивает, что этот метод доказательства при помощи приведения к абсурду заимствован из математики. Сам Платон неоднократно приводит доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата как типичный пример математического рассуждения и при этом указывает, что как раз при помощи такого приведения к абсурду можно кое-что узнать о вещах самих по себе. Чувственно воспринимаемые вещи изменчивы и противоречивы, но истинное бытие, которое за ними скрывается, напротив, не может обладать двумя взаимно противо речивыми свойствами»
Тот факт, что Платон использует косвенный метод и в рас суждениях, не связанных с математикой, подтверждает диалог «Лисид», где несколько раз предполагаются гипотезы, которые оказываются затем противоречивыми и должны быть отвергнуты, так как «если бы мы вели рассмотрение правильно, мы не впали бы
что одно бывает противоположно только одному? — Да, я это утверждаю.
— От какого же из двух утверждений нам отказаться, Протагор? От того ли, что одному противоположно только одно, или от того, которое гласило, что мудрость есть нечто иное, чем рассудительность, между тем как и то и другое — части добродетели, хотя и разные; они не похожи друг на друга, и назначение их различно, все равно как частей лица. Так от чего же мы откажемся? Ведь оба этих утверждения, вместе взятые, звучат не слишком складно — они не ладят и не соглашаются между собою. Да и как им ладить, если необходимо, чтобы одному было противоположно только одно, и не больше, а вот оказывается, что одному только безрассудству противоположны и мудрость, и рассудительность. Так ли, Протагор, или нет? — Протагор согласился, хотя и очень неохотно. — Так не получится ли, что рассудительность и мудрость — одно и то же?»
Парменид. 121Q. СМ. об этом статью: Matson. Zeno Moves! P. 87-108. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 207.
252 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
в такое заблуждение»150. В диалоге «Горгий» мы находим этот метод в немного описательной форме:
А стало быть, повторяю еще раз, либо опровергни ее и докажи... либо, если ты оставишь это неопровергнутым, клянусь собакой, египетским богом, Калликл не согласится с Калликлом и всю жизнь будет петь не в лад с самим собою151.
Критическое примечание: Рейдемейстер сказал, что косвенный метод «заимствован из математики», поэтому можно подумать, будто с ним не связано никаких проблем или сомнений. Тем не менее мы хотим обратить внимание на то, что этот метод, если мы посмотрим более внимательно, вызывает определенное неудобство или даже сомнение. Возьмем, например, знаменитое доказательство Евклида о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, с которым мы уже встречались (см. параграф 2.7). Мы, с нашими
150Лисид. 213е.
151Горгий 482Ь. Ван дер Варден описывает применение косвенного метода доказательства в диалогах Платона следующими словами: «Истина не может быть в противоречии с самой собой. Таким образом, если, исходя из некоторой предварительной гипотезы, мы приходим к противоречию, то эта гипотеза должна быть отброшена. И так, диалектически переходя от одной гипотезы к другой, преодолевают заблуждения, в которые мы впадаем, а это позволяет, наконец, свободно взглянуть на истину. Таков метод, который постоянно применяется в подлинно диалектических диа логах, в которых не обучают, но ведут философские беседы. Собеседник ставит на обсуждение какое-нибудь мнение; Сократ опровергает его. После этого изменяется точка зрения, формулировка делается более точной, и снова Сократ показывает, что эта формулировка также приводит к противоречию и поэтому не может быть сохранена. Так дело идет и далее. Достигнуть положительного результата невозможно, но дискуссия все время подымается на более высокую ступень, все больше заблуждений отбрасывается и, наконец, иногда заходят так далеко, что истина может быть высказана в форме мифа. Но это теперь уже не диалектика: по собственным словам Платона, диалектика есть точный метод доказа тельства, и в диалогах Платона никогда не встречается иного метода доказательства, кроме опровержения принятых гипотез» (Ван дер Варден. Пробуждающаяся Наука. С. 206-207).
Аксиоматический метод 253
современными математическими выражениями, можем перечислить некоторые проблемы: (1) Мы хотим доказать, что V2 не рационален. Но прямое доказательство этому до сих пор не найдено. (2) Мы исходим из ложного предположения, что V2 рационален, и демонстрируем, что это предположение действительно ложно. Значит, мы доказали противоположность того, что мы должны были доказать. (3) Мы доказали не то, что V2 существует, но только то, что он не рационален, если существует. (4) Так как рацио нальные числа идентичны дробям целых чисел, и дроби целых чисел являются либо конечными, либо бесконечными, но периоди ческими десятичными дробями, то получается, что V2, если он не рационален, является бесконечной непериодической дробью, — но, разумеется, только при условии, что такое «число» вообще сущест вует. (5) Наше доказательство не дает возможности полностью записать V2 в форме десятичной дроби. То, что мы видим или можем записать, это всегда лишь рациональные приближение.
(6) Наше доказательство основано на действительности логического принципа tertium non datur, но этот принцип не применяется повсюду в математике, по крайней мере не в представлениях интуиционистов.
Греки довольно скоро пришли к выводу, что достигнуть несом ненных результатов в математике можно только при условии совер шенно четкого прояснения для самих себя предпосылок и значений используемых понятий. Поэтому Евклид начинает свои «Начала» списком определений, постулатов и общих понятий (аксиом).
В философии гениальным создателем аксиоматического метода был Аристотель152. Но уже Платон знал суть этого метода153.
См.: Scholz. Die Axiomatik der Alten. S. 27-44.
«Наиболее важным вкладом древних греков в разработку основ мате матики были, вероятно, аксиоматический метод и понятие доказательства. На них настаивали еще в Академии Платона, а навысшего развития эти
254 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
В диалоге «Протагор» он показывает, как запутанна и бесплодна философская беседа о возможности научить добродетели, если заранее точно не договориться о том, что нужно понимать под добродетелью. Поэтому мы находим в конце диалога требование начать все сначала, однако в этот раз предварительно определить аксиоматическую основу . Если это требование выполнено, можно относительно легко решить поставленную задачу155.
Платон постоянно требует предварительных разъяснений исход ного положения и уточнения используемых понятий и в философс ких диспутах:
Во всяком деле, юноша, надо для правильного его обсуж дения начинать с одного и того же: требуется знать, что же именно подвергается обсуждению, иначе неизбежны сплош ные ошибки. Большинство людей и не замечает, что не знает сущности того или иного предмета: словно она им уже известна, они не уславливаются о ней в начале рассмотрения; в дальнейшем же его ходе это, естественно, сказывается: они противоречат и сами себе, и друг другу. Пусть же с нами не случится то, в чем мы упрекаем других156.
идеи достигли в Александрии около 300 г. до н. э. в Началах Евклида. Эти понятия дошли до наших дней, подвергшись лишь некоторым космети ческим изменениям» (Foundations of Mathematics // Encyclopaedia Britannica Online).
Протагор. 361c: «Меня же, Протагор, когда я вижу, как все тут перевернуто вверх дном, охватывает сильное желание все это выяснить, и хотелось бы мне, после того как мы это разберем, разобраться и в том, что такое добродетель, и снова рассмотреть, можно ей научить или нет». См. также: Менон. 86d — «Если бы я мог повелевать не только собою, но и тобою, Менон, мы бы ни за что не стали исследовать, можно ли научиться добродетели или нельзя, прежде чем мы не нашли бы, что же такое сама добродетель».
Протагор. 360е-361а: «Да ведь я спрашиваю обо всем этом... только ради того, чтобы рассмотреть, как обстоит дело с добродетелью и что это такое
— добродетель. Я знаю, если это будет раскрыто, тогда лучше всего выяснится и то, о чем каждый из нас держал столь длинную речь».
Федр. 237с.
Аксиоматический метод 255
В целом Платон придает большое значение строгости и ясности изложения как в математике, так и в философии. В «Федре», например, он различает два вида риторики: риторика как искусство и риторика как простое изготавливание. Только первой подобает имя науки, так как
кто не учтет природные качества своих будущих слушателей, кто не сумеет различать существующее по видам и охваты вать одной идеей все единичное, тот никогда не овладеет искусством красноречия настолько, насколько это возможно для человека. Достичь этого без усилий нельзя, и человек рассудительный предпримет такой труд не ради того, чтобы говорить и иметь дело с людьми, а для того, чтобы быть в состоянии говорить угодное богам и по мере сил своих делать все так, чтобы им это было угодно. Ведь те, кто мудрее нас с тобой, Тисий, утверждают, что человек, обла дающий умом, должен заботиться о том, как бы угодить не товарищам по рабству — им разве лишь между прочим, — но своим благим владыкам, потомкам благих родителей. Поэтому, если путь долог, не удивляйся: ради великой цели надо его пройти157.
Но крайне интересно, что Платон так же хорошо знал суть аксиоматического метода в математике. В «Государстве» мы находим следующее описание:
Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений они разбирают уже все остальное и
последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения158.
157Федр. 273е-274а. Государство. 510c-d.