Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016
Формы логического мышления 247
обнаружение внутренних отношений, т. е. путем теоретического познания.
Для Зескина ключевой пункт состоит в том, что математики во времена Платона не смогли решить задачу вписания данной пло щади в круг в форме треугольника, так как она требует решения уравнений четвертой степени. Они только могли сказать: «если...», т. е. сформулировать гипотезу. В этом случае «гипотеза» (или «предположение») является не фундаментом, на котором можно строить убедительное рассуждение и делать выводы, но только «пока нерешенной возможностью». При такой интерпретации геометрический пример используется Платоном не как образец рационального мышления, а как предупреждение «не ожидать от беседы больше, чем она на самом деле может дать» . Зескин пишет: «Метод гипотез в "Меноне" приводит, в связи с учением о добродетели, к апории. Чувство недоумения усиливается ссылкой на геометрическую задачу, решение которой выходило за рамки возможностей математиков, современных Платону. Если спросить, почему Платон вводит метод, в котором не был уверен, мы ответим, что, приводя нас к апории, он хочет, чтобы мы проследили свои шаги и увидели, где же произошла решающая ошибка. В нашем случае роковая ошибка происходит тогда, когда Сократ "поддается" Менону и соглашается вначале обсудить вопрос, который является производным. Смысл этого ясен: полагание производного вопроса первым приводит к возникновению неприятностей — так же, как это привело к проблемам и для геометров»138.
Применение логики Платоном также ярко продемонстрировано
в «Пармениде», который, по словами Гайденко, является «вершиной
139
логической мысли Платона» . В этом диалоге мы находим вопрос о едином и многом в логической формулировке, которая позволяет исследовать его «научно». При этом Платон «строит свое рассуж дение по тому же принципу, по какому строится косвенное доказа-
Seeskin. Meno 86с-89а. Р. 35. Ibid. Р. 38.
Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 104.
248 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
тельство в "Началах" Евклида, а именно принимает определенное допущение (гипотезу — υπόθεσις) и показывает, какие выводы из этого допущения следуют»1 . Платон сам говорит об этом141, что доказывает, что он применял этот метод ясно и осознанно.
Несмотря на отдельные «недостатки», о которых будет сказано ниже, и на тот факт, что лишь Аристотель впервые сформулировал законы логики, не будет преувеличением сказать, что Платон был не только «математиком» (по словам Рассела), но и «логиком»: он не просто видел в математике инвентарь примеров и средство на «пути вверх», но и требовал использовать логические размышления не только в математике, но и в философии, насколько это было возможно.
3.11. Косвенный метод
Изучая математику, Платон познакомился с методами исследо вания, которые он мог использовать и в философии. В принципе можно выделить два основных метода: «мягкий» и «строгий».
Мягкий — метод «проб и ошибок», а также сходный с ним метод
142
аппроксимации. Они используются довольно часто в математике
Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 104.
«Пойми также, что вторым разделом умопостигаемого я называю то, чего наш разум достигает с помощью диалектической способности. Свои пред положения он не выдает за нечто изначальное, напротив, они для него только предположения, как таковые, то есть некие подступы и устремления к началу всего, которое уже не предположительно. Достигнув его и придерживаясь всего, с чем оно связано, он приходит затем к заключению, вовсе не пользуясь ничем чувственным, но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним» (Государство. 511Ь-с).
Один примечательный пример: в 1964 г. математик Звонимир Янко нашел в теории групп новую конечную простую группу с 175 560 элементами. Это была сенсация! А как он нашел эту группу? На основании бес численных попыток и с помощью опыта, который он получил на этом трудоемком пути! (См.: Held. Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. S. 17).
Косвенный метод 249
Строгий — это логическая дедукция на основании аксиом, кон струкция с циркулем и линейкой и косвенный метод доказательства. При этом важно, что Платон хорошо знал разницу между этими методами и понимал, где их можно использовать. Если возможно, он использует второй, «строгий» метод, но есть многие вопросы, особенно в философии, где полная математическая строгость невоз можна, и тогда Платон ссылается на первый, «мягкий» математи ческий метод.
В «Меноне» мы находим первый способ достижения резуль тата. Он состоит в том, чтобы сделать благоразумное предполо жение, а потом исследовать, что из него следует. Это выглядит примерно так: «Попробуй удвоенную сторону квадрата взять как сторону нового квадрата и посмотри, что ты получишь. Результат неправильный? Ну, тогда возьми другое, может быть более адекватное, предположение...» И так, шаг за шагом, Сократ и раб приближаются к правильному результату.
Как пример второго метода мы рассмотрим теперь косвенный метод доказательства. Он состоит в том, чтобы выбирать как исходный пункт не просто разумное предположение или заданные фигуры, а противоположность того, что мы хотим доказать. И
на этом основании доказывается, что получается противоречие. Об этом методе Диоген пишет, что Платон, выстраивая доказательства, «по большей части пользуется способом индукции. Способ этот не единый, а двоякий. Индукция есть рассуждение, выводящее долж ным образом из некоторых истин новую подобную истину. Индукция имеет два вида: один — по противоположности, другой
— по следствию. Индукция по противоположности — это способ, при котором всякий ответ на вопрос будет противоположным. Например: "Мой отец — это то же, что твой отец, или не то же? Если твой отец — не то же, что мой отец, стало быть, твой отец — не то же, что отец; стало быть, он — не отец. Если же твой отец — то же, что мой отец, стало быть, твой отец есть мой отец". Или так: "Если человек — не живое существо, то он или дерево, или камень.
Менон. 82-85. См. также: параграф 2.1 наст. изд.
250 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Но он не дерево и не камень, ибо одушевлен и способен к само стоятельному движению; стало быть, он — живое существо. Но если он — живое существо, а собака и бык — тоже живые существа, то и человек, будучи живым существом, есть и собака и бык"» Мы сомневаемся, что Платон действительно использовал настолько
145
«глупые» примеры , в которых читатель сразу находил логические ошибки (к тому же примеры Диогена не очень хорошо подходят к его описанию метода индукции по противоположности). Лучше рас смотрим примеры непосредственно из платоновских диалогов.
Косвенный метод используется Платоном при доказательстве несоизмеримости стороны и диагонали квадрата — об этом мы уже говорили. Другой прекрасный пример мы находим в «Протагоре»146. Нужно доказать следующее утверждение А\ мудрость и рассудительность — это одно и то же. Косвенное доказательство происходит таким образом: мы принимаем, что утверждение А ошибочно, а это значит, что мы предполагаем верность утверж
дения поп-А:
non-Α: Мудрость и рассудительность различаются.
В дальнейшем у нас появляются предложения Б, В и Г, которые принимаются как действительные или обнаруживаются такими:
Б: у безрассудства имеется только одна противоположность, В: мудрость противоположна безрассудству, Г: рассудительность противоположна безрассудству.
Но, согласно утверждению non-Α, мудрость и рассудительность различаются, и, следовательно, из В и Г мы получим противоречие к Б. Поэтому утверждение non-Α неправильно, следовательно, утверждение А правильно — что и требовалось доказать
DL. III, 53-54.
В диалоге «Евтидем» (297-298) Платон приводит подобное размышление на тему «быть и не быть отцом», но в ироническом контексте.
Мы уже обсуждали этот текст в параграфе 3.10, но с точки зрения логики.
Протагор. 332е-ЗЗЗЬ: «А помнишь, ведь раньше-то мы согласились, что безрассудство противоположно мудрости? — Протагор подтвердил. — И