Числа и числовые соотношения 191
Но интересно, каким образом Платон использовал эти результаты для своего изложения строя Вселенной. Он заканчивает свой рассказ словами: «При этом смесь, от которой бог брал упомянутые доли, была истрачена до конца». Это значит, что мир и душа состоят из фундаментальных интервалов К, Ц и П, и только из них. Мир и душа созданы Богом по математическим и музыкальным законам.
Поэтому неудивительно, что цифры 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27 (доли, которые Бог впервые отнял от смеси) отражаются также в орбитах небесных тел (согласно пифагорейской системе мира), и начинает звучать знаменитая гармония сфер:
Земля
Луна 1
Солнце 2
Венера 3
Меркурий 4
Марс 8
Юпитер 9
Сатурн 27
Кстати, о трех «двойных» и трех «тройных» долях с их промежутками и об их связующих членах (три вторых, четыре третьих и девять восьмых) Платон говорит также в диалоге «Тимей»; там он настаивает на том, что «бог сотворил числа и их отношения», поэтому «никто не сможет разрушить их вечную гармонию» .
Тимей. 43d.
192 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Второй пример. Платон утверждал, что цель его набросков законов для государства состоит в том, чтобы «сделать людей возможно более счастливыми и дружелюбными»8. Для этого необходимо устроить все справедливо:
Надо разделить на двенадцать частей и самый город, и всю страну. Эти двенадцать частей должны быть равноценными, поэтому те участки, где почва хороша, будут меньше, а где плоха — больше. Всех наделов устанавливается пять тысяч сорок... Граждан также надо разделить на двенадцать частей9.
Но почему числа 12 и 5040 играют такую фундаментальную роль? Платон объясняет:
Теперь нужно внимательно рассмотреть, какой смысл в этом решенном нами разделении на двенадцать частей. Ведь внутри этих двенадцати частей есть много подразделений, а также других, вытекающих из этих последних как их естественное порождение. Так мы дойдем и до числа пять
10
тысяч сорок .
Значит, числа 12 и 5040 подходят из-за того, что их можно раз делить множество раз по-разному: 12 = 2 6 = 3 4 , 5040 =12 420 = 1 2 2 2 3 5 7 = 2 4 3 2 5 7 . В этом случае справедливость может распространяться даже на самые мелочи:
При этом не надо бояться упрека в мнимой мелочности, когда будет устанавливаться количество обиходной утвари, и не допускать несоразмерности даже здесь. Следуя общему правилу, надо считать числовое распределение и разно образие числовых отношений полезным для всего, без различно, касается ли это отвлеченных чисел или же тех, что обозначают длину, глубину, звуки и движение — прямое,
Законы. 743с.
9 |
Там же. 745c-d. |
|
|
10 |
Там же. 746d. |
|
Числа и числовые соотношения 193
вверх и вниз или же круговое. Законодатель должен все это иметь в виду и предписать всем гражданам по мере их сил не уклоняться от этого установления. Ибо для хозяйства, для государства, наконец, для всех искусств ничто так не важно и никакая наука не имеет такой воспитательной силы, как занятие числами11.
Мы не будем спорить с Платоном об этих числах и об особенностях его конструкции. В конце концов, сам Платон знает, что реальность нельзя втискивать в числовой корсет. Поэтому он и говорит о том, что реальная жизнь требует отбрасывать некоторые законы. Но начинать необходимо с идеала12, т. е. с умозрительной конструкции, при которой в теории гарантируется, что «должности и почести распределяются как можно более равномерно» и которая не допускала бы «ни тяжкой бедности среди некоторых граждан, ни, в свою очередь, богатства»14. Для конструирования такого идеала очень помогают подходящие числа. Кроме того, важно, что граждане понимают их смысл, видят роль этих чисел, и для этого, кстати, необходимо, чтобы числами занимались даже люди от природы вялые и невосприимчивые — ведь это пробуждает их и делает вопреки природе «восприимчивыми, памятливыми и проницательными» .
Законы. 746е-747Ь.
«Я держусь того мнения, что правильнее всего в каждом наброске будущего не опускать ничего из самого прекрасного и истинного; это будет служить образцом, к которому мы должны стремиться. Если там встретится что-либо неосуществимое, то, конечно, его нужно будет избегать и не стремиться к его выполнению. Но в остальном надо стараться осуществить то, что ближе всего к подобающему и по своей природе более всего ему сродни. Стало быть, надо дать законодателю возможность довести до конца все его намерения. Но затем надо вместе с ним рассмотреть, что из сказанного им полезно, а что слишком резко для законодательства» (Законы. 746Ь-с).
13Там же. 744с.
14Там же. 744d.
15Законы. 747Ь.
194 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Третий пример. В «Государстве» (546b-d) находится число, из вестное под названием «свадебного». В этом фрагменте Платон старается определить подходящие периоды для бракосочетаний и зачатий:
Для божественного потомства существует кругооборот, охва тываемый совершенным числом, а для человеческого есть число, в котором — первом из всех — возведение в квадрат ные и кубические степени, содержащие три промежутка и четыре предела (уподобление, неуподобление, рост и убыль), делает все соизмеримым и выразимым. Из этих чисел четыре трети, сопряженные с пятеркой, после трех увеличении дадут два гармонических сочетания, одно — равностороннее, то есть взятое сотней столько же раз, а другое — с той же длиной, но продолговатое: иначе говоря, число выразимых диаметров пятерки берется сто раз с вычетом каждый раз единицы, а из невыразимых вычитается по двойке, и они сто раз берутся кубом тройки. Все в целом это число геометри ческое, и оно имеет решающее значение для лучшего или худшего качества рождений. Коль это останется невдомек нашим стражам и они не в пору сведут невест с женихами, то не родятся дети с хорошими природными задатками и со счастливой участью .
К сожалению, удовлетворительного толкования этого текста
17
пока не существует . Даже само число, которое Платон имел в виду, нам не известно — разные авторы, согласно Бергер18, предлагают 12 960 000 (Д. Адам), 24 300 (Р. Брамбо), 10 000 (К. Гайзер), а К. Пиковер думает о числе 216, которое обнаруживается «в неясном для истолкования отрывке из "Государстве"» . Правда, в этом тексте имеются детали, которые понятны, рациональны и
16Государство. 546b-d.
17Крайне любопытную историю самых разных толкований этого текста в течение последних столетий см. в работе: Brumbaugh. Plato's Mathematical Imagination. P. 143-150.
18Berger. Proportion bei Platon. S. 84-85.
19Pickover. Die Mathematik und das Göttliche. S. 67.
Числа и числовые соотношения 195
интересны с точки зрения математики; это показывает, что Платон использовал настоящие математические рассуждения . Но «мате матическое содержание представляется поэтически-риторическими языковыми средствами. Вследствие этого оно, с одной стороны, ускользает, так как не сформулировано на обычном научном языке. С другой стороны, оно представляется более многослойным, так как в дополнение к чисто математической релевантности ему приписы
ваются другие значения, хотя мы и должны признать, что их трудно
21
ухватить» . Поэтому неудивительно, что Нейгебауэр говорит о «числовом мистицизме» и «каббалистических правилах» , а Жмудь
— об «арифмологических спекуляциях», игравших значительную роль не только у пифагорейцов, но и у Платона .
Д. Хелвиг указывает на то, что все якобы приводимые Платоном расчеты — это на самом деле речь муз, которая в действительности является игрой. Если в ней и кроется какая-то истина, то мы не узнаем ее, в лучшем случае мы сможем только догадаться. Платон использует здесь «софистическую форму беседы», «горгиевскую риторику», которую он сам критикует в диалоге «Евтидем». Таким образом он уходит из диалектического дискурса и представляет числа как магическую силу, способную действовать на людей. Зачем он делает это — трудно сказать. Но ясно, что числовые соотношения интересуют его: уже число 216, которое можно получить из первой половины текста, демонстри рует свойства, связанные с числами 2, 3, 4 и 5:
216 = 23-33 = 63, 216 = 33 + 43 + 53.
Платон говорит о «совершенном числе», т. е. он знал о существовании натуральных чисел, равных сумме всех своих делителей (например, 28 имеет делители 1, 2, 4, 7, 14, и их сумма равна 28). См. также: Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 175-176.
21Berger. Proportion bei Platon. S. 84.
22Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity. P. 27.
23Жмудь. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. С. 232.
4Hellwig. Adikia in Piatons «Politeia». Interpretationen zu den Büchern VIII und IX. Amsterdam: B. R. Grüner, 1980.