Числа и числовые соотношения 201
1)Рассуждение начинается с вопроса: «Кого же иного заставишь ты встать на страже государства, как не тех, кто вполне сведущ
вделе наилучшего государственного правления, а вместе с тем имеет и другие достоинства и ведет жизнь более добро детельную, чем ведут государственные деятели? — Никого».
2)Поэтому следует рассмотреть, «каким образом получаются такие люди и с помощью чего можно вывести их наверх, к свету».
3)Может быть, подойдут «мусическое искусство, и гимнастика, и все остальные искусства»? Нет, они оказываются полезными, но недостаточными.
4)Их недостаточность заключается в том, что они не подстре кают разум. «Кое-что в наших восприятиях не побуждает наше мышление к дальнейшему исследованию, потому что достаточно определяется самим ощущением». «Если нечто единичное достаточно хорошо постигается само по себе, будь то зрением, будь то каким-либо иным чувством, то не возникает стремления выяснить его сущность».
5)«Но кое-что решительно требует такого исследования, поскольку ощущение не дает ничего надежного».
6)Значит, надо искать другой предмет обучения: «Если, кроме них, мы уже ничем не располагаем, давай возьмем то, что рас пространяется на них всех».
7)Подходящим предметом является «арифметика и счет», т. е. «то общее, чем пользуется любое искусство, а также рассудок и знания; то, что каждый человек должен узнать прежде всего. — Что же это? — Да пустяк: надо различать, что такое один, два и три. В общем я называю это числом и счетом».
8)Пригодность этих искусств заключается в том, «что как раз онито и ведут к истине», поскольку относятся «к тому, что ведет человека к размышлению, то есть к тому, что мы с тобой ищем».
9)Этот решающий пункт Платон объясняет более подробно. Существуют ощущения, которые, как мы уже сказали, не
202 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
возбуждают разум: если мы видим, допустим, разные виды пальцев, то они просто разные, и мы удовлетворяемся этим фактом. Но если мы занимаемся единицей, ситуация другая. «Если же в нем постоянно обнаруживается какая-то противо положность, так что оно оказывается единицей не более чем ее противоположностью, тогда требуется уже какое-либо суж дение: в этом случае душа вынуждена недоумевать, искать, будоражить в самой себе мысль и задавать себе вопрос, что же это такое — единица сама по себе! Таким-то образом познание этой единицы вело бы и побуждало к созерцанию бытия». «Не меньше это наблюдается и в том случае, когда мы созерцаем тождественное: одно и то же мы видим и как единое, и как бесконечное множество».
10)«Раз так бывает с единицей, не то же ли самое и со всяким чис лом вообще? — Как же иначе?»
11)Это значит, что арифметика и счет действительно являются теми науками, которые подстрекают разум «и ведут к истине». «Они принадлежат к тем познаниям, которые мы искали. Воину необходимо их усвоить для войскового строя, а философу — для постижения сущности, всякий раз как он вынырнет из области становящегося, иначе ему никогда не стать мысли телем».
12)Заключение таково: «Эта наука, Главкон, подходит для того, чтобы установить закон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счета».
13)К сожалению, пока «никто не пользуется арифметикой действи тельно как наукой, увлекающей нас к бытию». Обычно ею занимаются «как попало», «по-торгашески», «ради куплипродажи». Если это так, то спрашивается, как надо заниматься математикой в новом, «философском» смысле.
Последний вопрос является решающим, хотя мы практически ничего не знаем о том, какие средства и методы использовались в Академии для математического обучения, понимаемого в этом новом
Пропорции 203
смысле. В Приложении Г (особенно Г11 и Г12) мы предпринимаем попытку предложить несколько подходящих упражнений, зная, что эта важная область пока почти не исследована.
Пропорциям отведена в трудах Платона весьма обширная роль, а исследованию этой темы посвящена целая докторская диссерта ция . Ее автор различает пять областей, в которых Платон использует пропорции: математика, физика, искусство, политика и теория идей, и показывает, «каким образом Платон видит теорию пропорций как часть математики и как он применяет математи ческие пропорции в других областях»34.
Знакомство Платона с чисто математическими пропорциями доказывает отрывок из «Тимея», в котором говорится:
Когда из трех чисел... при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и, соот ветственно, последнее к среднему как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места, выяснится, что отношение необходимо остается прежним35.
То есть пропорция обладает таким свойством, что при соответст вующей перестановке ее членов математическое выражение не изменяется:
а : b = Ъ : с <=> Ъ : а = с : Ъ.
Для Платона это означает, что члены пропорции «образуют между собой единство»36, и он использует эту идею при объяснении зарождения Вселенной. Дело в следующем: для Творца проблема состояла в соединении несовместимых элементов (огня, земли,
33Berger. Proportion bei Platon.
34Ibid. S. 61.
35Тимей. 31c-32a.
36Тимей. 32a.
204 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
воды и воздуха) таким образом, чтобы из них возникло унифици рованное, устойчивое произведение. Именно это требование и выполняет пропорция, на основании следующего ее качества:
Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция37.
При этом рассматриваемой выше трехчленной пропорции хватило бы, если бы Вселенная была плоскостью, но поскольку она является телом, то возникает необходимость в пропорции с 4 членами: огонь, воздух, вода, земля.
огонь : воздух : вода = воздух : вода : земля.
Это значит, что отношения между парами этих элементов соответ ствуют друг другу:
огонь : воздух = воздух : вода = вода : земля.
Платон заканчивает свое размышление словами:
На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам его сплотил38.
Понятно, что Платон использует математическую пропорцию в ограниченном смысле. Так пишет и Бергер: «При описании струк туры элементов понятие "среднего пропорционального" лишается
Там же. 31Ь.
Тимей. 32с. Диоген Лаэртский описывает цель этой конструкции таким образом: «Мир состоит из огня, воды, воздуха, земли; из огня — чтобы быть видимым, из земли — чтобы быть твердым, из воды и воздуха — чтобы быть связным (ибо твердые силы связуются двумя промежуточными, чтобы из Всего возникло Единое), и, наконец, из всех вместе — чтобы быть завершенным и безущербным» (DL. III, 73).
Пропорции 205
своего количественного аспекта, принятого в математике. Речь идет не об определении размера или числа; количество не имеет зна чения. На элементы переносится только качественный аспект мате матического высказывания. Именно такого чисто качественного среднего пропорционального — что математически невозможно — ищет Платон, когда представляет структуру 4 элементов в виде математической модели. Я исключаю вероятность того, что Платон намеревался впоследствии представить с количественной, арифме тической точки зрения при расчете круговорота элементов такое качественное соотношение элементов, существование которого предполагается в этом отрезке. Да и как можно было бы определить соотношение двух типов треугольников между собой? Высказы вание вида "огонь : вода = 24 треугольника типа А : 24 треугольника типа В" малопоказательно» .
Однако можно задать вопрос, не имел ли Платон в виду спе циальную формулу золотого сечения, а вовсе не любую пропорцию а : Ь = Ь : с ? В этом случае с = а - Ъ, и пропорция выглядит как
а:Ь = Ь:(а-Ь).
В геометрической интерпретации: «Данный отрезок поделен на две части таким образом, что отношение большей части к меньшей равно отношению всего отрезка к его большей части». Или в обыч ной формулировке, с величинами а = 1 и Ъ = х:
\:х = х:(\- |
х). |
|
Из этого следует квадратное уравнение χ |
+ χ - 1 = 0, и отсюда |
|
χ =0,618... Так что, например, если |
окно |
должно быть сделано |
согласно золотому сечению, то одна его сторона должна составлять 0,618... от другой стороны. Это особое отношение воспринимается не только как красивое и гармоничное и, следовательно, играет значительную роль в искусстве и архитектуре, но и встречается во
Berger. Proportion bei Platon, S. 144-145.
Этот вопрос поставил M. В. Быстрое в своем докладе «Знал ли Платон о "золотой пропорции"?» на XXI Всероссийской конференции «Универсум платоновской мысли», проходившей в Санкт-Петербурге 26-27 июня 2013 г.