196 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Также из текста можно получить геометрический ряд чисел, начи ная с числа З3 = 27, и с множителем 4/3: 27, 36, 48, 64:
2 7 - ( | ) ° - 2 7 . 3 6 - ( ΐ ) ' · 2 7 . 4 8 - ( f ) 2 - 2 7 , 64 = ( l ) 3 - 2 7 .
Особое толкование дает Я. Фриз25, который ссылается на текст 545d-e: «Обратимся с мольбой к Музам, чтобы они нам поведали, как впервые вторгся раздор, и вообразим, что они станут отвечать нам высокопарно, на трагический лад и как будто всерьез, на самом же деле это будет с их стороны лишь шутка, и они будут под дразнивать нас, как детей».
Для Фриза текст Платона является загадкой, «шуткой», хотя его тема вполне серьезна. Поэтому нахождение загадочного числа имеет двоякий облик: это головоломка, с одной стороны, и определение «числа геометрического», которое «имеет решающее значение для лучшего или худшего качества рождений» — с другой. А «хорошее качество рождений» — крайне важный аспект хорошего и справедливого государства. И здесь Фриз вспоминает «Законы»: там число 5040, как мы видели, является лучшим средством для учреждения хорошо и справедливо функционирующего государства. Может быть, 5040 — это также «свадебное число»? Любопытно, что это число обладает свойствами, которые хорошо соответствуют частично мало понятным вычислительным инструкциям Платона: его множители (5040 = 1 2 3 4 5 6 7), как пробует подробно доказать Фриз, хорошо соотносятся с текстом Платона, хотя он иногда вынужден подправлять и «адаптировать» текст. Фриз также приводит цитаты из Никомаха, Ямвлиха и Плутарха, которые показывают, что уже древние мыслители мучились с этим текстом, но в которых находятся идеи, которые могут пролить какой-то свет. Плутарх, например, ссылался на диаграмму, которую приписывал Платону:
Fries. Piatons Zahl, de Republica. 1.8. P. 546. Steph. Eine Vermuthung. Heidelberg: Christian Friedrich Winter, 1823.
Числа и числовые соотношения 197
Он хвалил число 35 и говорил, что пифагорейцы назвали его «гармонией» из-за того, что оно является суммой чисел 6, 8, 9, 12. Эти числа представляют интервалы греческой октавы: 8 : 6 = 4 : 3 = кварта, 9 : 8 = целый тон, 12:9 = 4 : 3 = кварта, а также 12 : 6 = 2 : 1 = октава.
Если мы заметим, что в диаграмме появляются оба ряда из «Тимея» (35b-36b): 2-4-8 и 3-9-27, которые мы исследовали выше, то мы увидим связь этих двух платоновских текстов. «Гармони ческое устройство» необходимо как в устройстве государства, так и в частной жизни. Фриз заканчивает свою попытку толкования утверждением, что Платон никогда не играл числами поверхностно, «применение им чисел имеет глубокое основание в его натур философии, несмотря на то что мы их больше не применяем» .
Четвертый пример. В нижеследующем тексте Платон рассчиты вает, во сколько раз тиран живет хуже хорошего царя, и оказы вается, что в 729 раз.
Значит, тиран будет вести жизнь, совсем лишенную удовольст вий, а у царя их будет много. — Да, и это совсем неизбежно.
—А знаешь, во сколько раз меньше удовольствий в жизни тирана, чем у царя? — Скажи мне, пожалуйста, ты. — Существуют, как видно, три вида удовольствий: один из них
—подлинный, два — ложных. Тиран, избегая закона и разума, перешел в запредельную область ложных удовольствий. Там он и живет, и телохранителями ему служат какие-то рабские удовольствия. Во сколько раз умалились его удовольствия, не так-то легко сказать, разве что вот как... — Как? — После олигархического человека тиран стоит на третьем месте, а
Fries. Piatons Zahl. S. 28.
198 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
посредине между ними будет находиться демократ. — Да. — И сравнительно с подлинным удовольствием у тирана, считая от олигарха, получится уже третье призрачное его подобие, если верно все сказанное нами раньше. — Да, это так. — Между тем человек олигархический и сам-то стоит на третьем месте от человека царственного, если мы будем считать последнего тождественным человеку аристократическому. — Да, на третьем. — Значит, трижды три раза — вот во сколько раз меньше, чем подлинное, удовольствие тирана. — Повидимому. — Значит, это призрачное подобие было бы [квадратной] плоскостью, выражающей размер удовольствия тирана. — Верно. — А если взять вторую и третью степень, станет ясно, каким будет расстояние, отделяющее тирана [от царя]. — По крайней мере ясно тому, кто умеет вычислять. — Если же кто в обратном порядке станет определять, насколько отстоит царь от тирана в смысле подлинности удовольствия, то, доведя умножение до конца, он найдет, что царь живет в семьсот двадцать девять раз приятнее, а тиран во столько же раз тягостнее. — Ты сделал поразительное вычисление! Вот как велика разница между этими двумя людьми, то есть между человеком справедливым и несправедливым, в отношении к удовольствию и страданию. — Однако это число верно и вдобавок оно подходит к [их] жизням, поскольку с ними находятся в соответствии сутки, месяцы и годы. — Да, в соответствии. — Если даже в смысле удовольствия хороший и справедливый человек стоит настолько выше человека подлого и несправедливого, то насколько же выше будет он по благообразию своей жизни, по красоте и добродетели! — Клянусь Зевсом, бесконечно выше27.
Олаф Жигон подробно истолковал весь текст о страданиях
28
тирана (577с-588а) — за исключением нашего отрывка! О нем он только сказал: «Завершением всего приведенного доказательства является короткая часть, которая выглядит для современного
27Государство. 587Ь-588Ь.
28Gigon. Die Unseligkeit des Tyrannen in Piatons Staat. S. 129-153.
Числа и числовые соотношения 199
интерпретатора взбалмошной, так же как и известное место 546ЬЗd3, — игра чисел, относительно которой мы можем только признать, что не знаем, какое значение она имела для самого Платона» . Другие авторы были менее пессимистичны, они признавали расчеты Платона более или менее ясными, за исключением странных деталей. Почему, например, Платон берет вторую и третью степень? Бергер напоминает нам об античном толковании: «Царь и тиран — трехмерные существа (Arist. Quint. De Mus. III). Поэтому промежуток между ними должен представляться как кубическое число»30.
Как бы то ни было, ясно, что Платон стремился получить число 729, так как оно есть сумма дней и ночей одного года, и если сказано, что царь живет в 729 раз лучше тирана, это означает, что царь проживает лучше каждый день и каждую ночь в году, — а тиран, соответственно, хуже. Можно что угодно думать о расчетах Платона, но надо признать, что ему удалось представить мораль в форме «рассказа», который нелегко забыть...
Пятый пример. Существует и современная теория, полагающая, что за словами диалогов Платона скрываются числовые соотношения, которые Платон сознательно использовал, дабы придать своим текстам «математическую» структуру, в частности, двенадцатичастную структуру, которая отражает музыкальные взгляды пифаго рейцев. Эти структуры обнаруживаются с помощью стехиометрических компьютерных исследований. Как считает Д. Кэннеди , это касается как длины диалогов, так и размеров речей в них.
Примеры, подтверждающие первую теорию: в «Апологии» 1200 строк, или 100 χ 12. В «Протагоре», «Кратиле», «Филебе» и «Пире»
— по 2400 строк в каждом, или 200 χ 12. В «Горгии» 3600 строк, или 300 χ 12. В «Государстве» 12 000 строк, или 1000 χ 12. В «Законах» 14 400 строк, или 1200 χ 12.
Ibid. S. 152.
Berger. Proportion bei Platon. S. 71. Примеч. 199.
Kennedy. Plato's Forms, Pythagorean Mathematics, and Stichometry. P. 1-31.
200 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Примеры второго утверждения: в «Пире» речи Павсания, Эриксимаха (включая иронизирование над икотой Аристофана) и Аристофана составляют примерно 1/12 от всего диалога каждая. Долгая речь Сократа, включая беседы с Агафоном и Диотимой, занимает 3/12, или 1/4 всего диалога. Речь же Алкивиада — это оставшиеся 2/12 диалога.
Кэннеди резюмирует свои исследования так: «В настоящее время есть несколько видов доказательств того, что диалоги Платона имеют стехиометрическую структуру: продолжительность речей, выстраивание некоторых речей и ключевых понятий в двенадцатичастном порядке, параллельные отрывки и параллельные отрицательные и положительные цепочки рассуждений. Музыкаль ная интерпретация этих черт является естественной и последова тельной: шкала из двенадцати нот с гармоническими и диссонирую щими диапазонами лежит в основе поверхностного повествования в диалогах. Доказательство и его интерпретация соответствуют исто рическому контексту: стехиометрия была обычной практикой и применялась в диалогах Платона, аллегории широко обсуждались, Платон и Академия продвигали новую математику, числовое пред ставление музыкальной гаммы и гармонической теории было хоро шо известно, корреспонденты, коллеги и последователи Платона связывали его с пифагореизмом, и неопифагорейцы сделали шкалу из двенадцати регулярно расположенных нот частью своих иссле дований метафизики, предположительно спрятанной в диалогах»32.
Это были примеры конкретного использования чисел и числовых отношений Платоном. Но до самого главного мы пока не добрались. Для этого необходимо обратиться к диалогу «Государство», где Платон обосновывает основополагающую и единственную в своем роде роль чисел — и роль арифметики как науки о числах. Вот каков ход мыслей Платона (все цитаты взяты из: Государство. 525а-526с):
Kennedy. Op. cit. P. 26-27.