Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016
186 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
построения антропоморфного космоса, данное Платоном в "Тимее",
— одно из самых темных мест в философии этого мыслителя» . Несмотря на кажущуюся непонятность этого фрагмента, нам более близка позиция физика-теоретика и философа Карла Фридриха фон Вайцзеккера: «Конечно, мое понимание Платона не бесспорно, так как в его трудах имеются места, которых я еще до конца не понял, но я убежден, что он точно знал, о чем говорил» . Вот этот текст:
Слив их [т. е. три начала] таким образом при участии сущности и сделав из трех одно, он это целое в свою очередь разделил на нужное число частей, каждая из которых являла собою смесь тождественного, иного и сущности. Делить же он начал следующим образом: прежде всего отнял от целого одну долю, затем вторую, вдвое большую, третью — в полтора раза больше второй и в три раза больше первой, четвертую — вдвое больше второй, пятую — втрое больше третьей, шестую — в восемь раз больше первой, а седьмую
— больше первой в двадцать семь раз. После этого он стал заполнять образовавшиеся двойные и тройные промежутки, отсекая от той же смеси все новые доли и помещая их между прежними долями таким образом, чтобы в каждом проме жутке было по два средних члена, из которых один превышал бы меньший из крайних членов на такую же его часть, на какую часть превышал бы его больший, а другой превышал бы меньший крайний член и уступал большему на одина ковое число. Благодаря этим скрепам возникли новые проме жутки, по 3/2, 4/3 и 9/8, внутри прежних промежутков. Тогда он заполнил все промежутки по 4/3 промежутками по 9/8, оставляя от каждого промежутка частицу такой протяжен ности, чтобы числа, разделенные этими оставшимися проме жутками, всякий раз относились друг к другу как 256 к 243. При этом смесь, от которой бог брал упомянутые доли, была истрачена до конца4.
Еремеев. Теория психосемиозиса и древняя антропокосмология. С. 19.
3Weizsäcker. Platonische Naturwissenschaft im Laufe der Geschichte. S. 327.
4Тимей. 35b-36b.
188 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Первый средний член — назовем его H — таков, что он «превышал бы меньший из крайних членов на такую же его часть, на какую часть превышал бы его больший», т. е. (Н - а) : а = (Ь - Н) : Ь. Если мы вычислим H из этой пропорции, то увидим, что H является средним гармоническим чисел а и Ь:
Η-a |
b-H |
H |
, t H |
„ |
„, 0 , _ |
„ |
lab |
α |
= —;— -* |
a |
1 = 1-— |
-* |
Ha + Hb = 2ab |
-* |
# = г |
b |
b |
|
|
a + b |
|||
Второй средний член — назовем его А — таков, что он «превышал бы меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число», т. е. А - а = b - А. Значит, А является средним арифмети ческим чисел а и Ь:
А-а = Ь-А -> 2А = а + Ь -> Α^^γ-
Это значит, что в «двойной» прогрессии 2-4-8 Бог наполнил: промежуток между 2 и 4 дробями 8/3 и 3, промежуток между 4 и 8 дробями 16/3 и 6.
Мы получаем прогрессию 2···^'"3···4"*γ"'6···8
В «тройной» прогрессии 1-3-9-27 Бог наполнил: промежуток между 1 и 3 дробями 3/2 и 2, промежуток между 3 и 9 дробями 9/2 и 6, промежуток между 9 и 27 дробями 27/2 и 18.
Мы получаем прогрессию 1...^-2-*3···^···6'"9···γ···]Β'"27
В этом месте Платон продолжает свое изложение следующим образом: «Благодаря этим скрепам возникли новые промежутки, по 3/2, 4/3 и 9/8, внутри прежних промежутков». Если мы интер претируем это так: «разделить соседние дроби» (вторую разделить на первую), то получим действительно эти и только эти три дроби (или, по Платону, «промежутки»):
2 8 3 4 1 6 6 8 |
и |
1 3 2 3 9 6 9 2 7 1 8 2 7 |
4 |
9 |
|
4 |
4 |
9 |
9 |
3 |
4 |
3 |
3 |
|
"Т""Т'"~3~'"~4~"~3~' |
|||||
3 |
8 |
3 |
|
3 |
8 |
8 |
2 |
3 |
|
|
2 |
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
Числа и числовые соотношения 189
Теперь мы видим, что скрывалось за данной конструкцией: эти три дроби соответствуют музыкальным интервалам (3/2 ~ квинта, 4/3 ~ кварта, 9/8 ~ целый тон). И если мы согласимся с интерпретацией М. Бергер, согласно которой ряд четных и нечетных чисел показывают трехмерность пространства5, то увидим, что, по Платону, Бог-демиург создал Вселенную и душу согласно законам гармонии.
Но данная конструкция, видимо, все еще слишком «груба», поэтому начинается заполнение еще более мелких подразделений. Бог «заполнил все промежутки по 4/3 промежутками по 9/8, оставляя от каждого промежутка частицу такой протяженности, чтобы числа, разделенные этими оставшимися промежутками, всякий раз относились друг к другу как 256 к 243».
Возьмем в качестве примера первые дроби первой |
прогрессии |
||||||
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
2/1 и 8/3 с «промежутком» 4/3, т. е. кварту у |
·—, и заполним ее |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
промежутками |
х, у, ζ |
следующим образом: |
γ··χ··γ·ζ-·-~. |
|
|||
Платоновская |
конструкция |
требует, |
что ^T:^ = "Ö И Х:ТЖ~О· |
МЫ |
|||
64 |
9 |
|
|
ζ |
64 9 |
256 |
|
получаем ζ = — и |
* = Т' |
И з ЭТ0Г0 |
с л е д У е т |
У = ~= ~yf:Τ= |
243 ' |
||
Последная дробь представляет собой полутон. |
|
|
|
||||
Значит, кварту |
4 |
|
|
|
|
9 |
|
-т- Бог заполнил двумя целыми тонами |
-^ и одним |
||||||
256 3 |
|
|
|
|
о |
|
|
полутоном ^тт; |
|
|
|
|
|
|
|
Berger. Proportion bei Platon. S. 173.
190 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Мы можем проделать такую операцию со всеми квартами. Тогда все кварты «исчезнут», и мы будем иметь три интервала: квинту К, целый тон Ц, полутон П. В итоге «двойная» прогрессия 2-4-8 и «тройная» прогрессия 1-3-9-27 принимают «музыкальный вид»6:
ЦПЦЦЦПЦЦПЦЦЦ и КЦПЦККЦПЦККЦПЦК
Конечно, Платон не сам изобрел всю эту теорию. Известно, что пифагорейцы тщательно исследовали музыкальные законы. Все по лученные Платоном дроби мы встречаем и в пифагорейском строе:
до |
ре |
|
ми |
фа |
|
соль |
ля |
си до |
|
EZZ: |
ι |
|
i |
l |
|
ι |
ι |
i |
l |
ι |
9 |
|
81 |
4 |
|
3 |
27 |
243 |
? |
|
8 |
|
64 |
3 |
|
2 |
16 |
128 |
L |
9 |
|
9 |
^25б" |
9 |
9 |
9 |
^25б" |
||
8 |
|
8 |
243 |
8 |
8 |
8 |
243 |
||
Приведенное толкование, представленное такими авторы, как, например, А. Ф. Лосев, В. Е. Еремеев считал формально верным, «но в результате получается очень громоздкая конструкция, не имеющая, пожалуй, никакого отношения к реальному положению дел... Звукоряд, состав ленный А. Ф. Лосевым посредством всех проделанных им операций, охватывает диапазон в четыре октавы с большой секстой (1-27). Но такой огромный диапазон никогда не использовался в теории древних греков...
"совершенная неизменная система" имела диапазон в две октавы. И это максимум, что древние греки могли себе позволить. Меньший диапазон — пожалуйста. Например, малая "совершенная неизменная система" имела диапазон октавы с квартой (иначе, чистой ундецимы)» (Еремеев. Теория психосемиозиса и древняя антропокосмология. С. 22). Далее Еремеев указывает на то, что Платон мыслил космическую душу в качестве объемного образования. Поэтому следует рассматривать ряд чисел в виде трех групп: 1-2-3, 12-22-32 и 13-2 -З3. «Первая группа будет соответствовать подразделению линии на пропорции музыкального звукоряда диапазоном в октаву с квинтой (иначе, в чистую дуодециму); вторая — аналогичному подразделению плоскости; третья — объему. Таким образом, объемная космическая душа подразделяется на октаву с квинтой по всем трем координатам». Но в главном Еремеев приходит к такому же выводу: «что внешняя часть космической души... коррелирует с интервалами квинты второй октавы. Значит, и космический ум имеет такую же "музыкальную" корреляцию» (Там же. С. 24).