Высшая польза математики 181
существуют несоизмеримые отрезки. В ответ на это невежество нужно сказать: «Лучшие из эллинов, это и есть одна из тех вещей, не знать которые, как мы сказали, позорно»305.
Мы видим здесь, что, согласно позднему Платону, математи ческие знания важны не только для господствующих классов, но и для всех эллинов. Эти знания, не имеющие практической пользы, которыми невозможно заработать деньги, должны, однако, форми ровать дух народа и просвещать его.
Эту цель занятий по математике, заданную Платоном, удачно сформулировал Прокл следующими словами: «Следует заниматься той геометрией, которая с каждой теоремой делает шаг на пути к горнему и подымает душу ввысь, и не позволяет ей опускаться в область чувственно воспринимаемого и применять геометрию к обычным человеческим нуждам, в погоне за которыми забывают о бегстве отсюда»306.
Можно спросить: занимаемся ли мы сегодня «той геометрией», той математикой? Тот, кто изучал математику в наших универси тетах, вполне может в этом усомниться. Тамошние преподаватели вынуждены готовить будущих научных тружеников, а число математических предметов столь велико, что заниматься «философскими вопросами» у многих профессоров и студентов нет ни времени, ни даже желания. Что же касается самих философов, то Андреас Шпайзер сожалел, что наши университеты допускают обучение философии без математики. Философия как предмет высшей школы, сказал он, «беспрерывно меняет форму и содержание так сильно, что это вызывает удивление. Только одно неизменно в течение последних 100 лет, а именно то, что при этом
307
математика остается чужой на этом празднике жизни»
Там же. 820Ь.
Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 20.
Speiser. Elemente der Philosophie und der Mathematik. S. 9-10.
182 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Интересно, что есть место, где серьезно используют математику в качестве подготовки для высшего философского мышления, но мало кто знает о нем. Это математико-астрономическая секция в Гетеануме в Дорнахе (Швейцария). На ее примере можно увидеть, как основательная математическое подготовка может способство
вать философскому мышлению и расширять его границы, служа для
308
него подготовительной ступенью . В настоящей книге, к сожале нию, невозможно представить подобный курс, но в Приложениях Г11 и Г12 мы предлагаем два таких предварительных упражнения.
И вот еще что: во всех произведениях Платона видно его убеждение, что наука должна служить в конечном счете не только просветительским, но и этическим целям. Гайденко коротко и удачно выразила это таким образом: «Платон прочно связывает теоретическое познание — науку — с жизнедеятельностью человека и общества. Ни одна из наук не является для него частной в том смысле, как это впоследствии понимал Аристотель: все они
вместе образуют единое |
целое, вершину которого |
составляет |
философия, а корни — |
309 |
. «Корни», |
математика и астрономия» |
См. публикации Гетеанума, напр.: Locher-Ernst L. Mathematik als Vorschule zur Geist-Erkenntnis. Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag,
1973; Locher-Ernst L. Urphänomene der Geometrie. Dornach: Philosophisch-
Anthroposophischer |
Verlag, |
19802; Ziegler |
R. |
Mathematik und |
Geisteswissenschaft. Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag, 1992; Ziegler R. Platonische Körper: Verwandtschaften — Metamorphosen — Umstülpungen. Dürnau: Kooperative Dürnau, 1998; Adam P., Wyss A.
Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben, 1994; Штайнер Р. Четвертое измерение. Математика и действительность. М.: Титурель, 2007; Рудольф Штайнер и многомерное пространство. М.: Титурель, 2010. — Многие считают, что в антропософском движении есть «чересчур эзотерические» учения. Я не высказываю здесь свое мнение об этом, хочу только сказать, что как минимум математическая часть антропософии заслуживает внимания — Л. Лохер-Эрнст, например, был профессором математики в техническом институте Винтертура (Швейцарии) и серьезным мыслителем, а Р. Циглер
— доктором математических наук.
Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. С. 179.
Высшая польза математики 183
«средство», «пример», «путь» — можно разными словами описы вать роль математики в нахождении правильного и справедливого образа личной и общественной жизни, но важно, что математика играет такую роль. «Если есть общая аналогия существующего, то можно исследовать ее с помощью математики, а затем, с другой стороны, более определенно выводить из нее нормы и законы политического строя» . Можно сформулировать это и более философски: «Путь познания ведет от отдельного математического наблюдения к совокупности математического знания и к обзору раз личных математических дисциплин и, наконец, отсюда к единому
— обобщающему все существующее — систематическому и ноэтическому познанию наивысших причин» ] !.
Мы хотели бы завершить данный параграф комментарием, кото рый хорошо подходит к «числовым текстам» Платона, к их смыслу, к их возможностям и к их ограниченности. В. А. Карпунин, коммен тируя труд Рене де Клере, попробовавшего представить математи
ческую модель творения вселенной Богом 12, писал, что тот «интер-
д
претировал формулу 7Г = 0° и л и А - О · » таким образом, что фор мула "Вселенная = 0·α> = Бог" производит мир "из ничего" = нуль ("ничто"), помноженный (творящая сила Бога) на конкретную
бесконечность (конкретная интенция, цель |
Бога) = |
"Из ничего" |
творящей силой Бога, выполняющей Его намерение, |
производится |
|
вселенная. Такова "Божья арифметика"...» |
. И Карпунин продол |
|
жает: «Разумеется, приведенная цепочка равенств не является ни доказательством бытия Божия... ни доказательством сотворения вселенной Богом. Она представляет собой не более чем некоторую модель, иллюстрацию на языке математики убеждения в том, что
Gaiser. Piatons Menon und die Akademie. S. 245. Ibid. S. 262.
Клере Р. де. Математическое доказательство необходимости Бытия Божия. Сергиев Посад: Издательство А. Трепова, 1915.
Карпунин. Актуальная бесконечность и некоторые традиционные аргу менты в пользу бытия Божия. С. 345-346.
184 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Вселенная создана Богом. Думаю, что язык математики удобен для создания подобных моделей прежде всего потому, что сфера математики — сфера чистой творческой интеллектуальной само деятельности человеческого духа, созданного с богословской точки зрения по образу и подобию Божию. Занимаясь "чистой матема тикой", человек в какой-то степени уподобляется Богу...»
Там же. С. 346. См. также примеч. 31 (с. 61-62) настоящего издания, где приводятся похожие высказывания нескольких математиков, и список подходящей к этой теме литературы в примеч. 308 (с. 182).
Глава 3.
Мы уже установили, что Платон сравнительно мало интересовался применением математики в повседневной жизни. Он ценил ее скорее как образец чистого мышления, способного к абстракции. Занятия математикой очищают и оттачивают душевные силы разума, поднимая их на более высокий уровень. Они имеют и психологическое значение: тот, кто не умеет считать, легко может быть устрашен высшими и, возможно, зловещими силами1. Однако в некоторых диалогах Платон использует математические факты и методы совершенно конкретным образом. Ниже мы приводим несколько примеров этого.
В параграфе 2.6 мы сказали, что Платон мог свободно использовать числа для описания философских или нравственных проблем. Приведем теперь несколько примеров.
Первый пример. Душа, согласно Платону, была сотворена раньше тела, а ее положение — повелительницы этого тела — является более почетным. При создании души ее Творец придерживался точных числовых соотношений.
Текст, который мы собираемся интерпретировать, совсем не прост. Так считал, например, В. Еремеев: «Описание принципов
Тимей. 40c-d: «Что касается хороводов этих божеств, их взаимных сближений, обратного вращения их кругов и забеганий вперед, а также того, какие из них сходятся или противостоят друг другу и какие становятся друг перед другом в таком положении по отношению к нам, что через определенные промежутки времени они то скрываются, то вновь появляются, устрашая тех, кто не умеет расчислить сроки».