Дедукция и доказательство 171
торжественное. Но я-то не знал такого способа строить похвальные речи и по неведению согласился говорить в очередь с вами. Стало быть, «язык лишь дал согласье, но не сердце, нет». А на нет и суда нет. Строить свою речь по такому способу я не стану, потому что попросту не могу278.
Но что еще хуже, нас легко может ввести в заблуждение не только кто-то другой, но и мы сами:
Добрый мой Кратил, я и сам давно дивлюсь своей мудрости и не доверяю ей. Видимо, мне еще самому нужно разобраться в том, что я, собственно, говорю. Ибо тяжелее всего быть обманутым самим собой. Ведь тогда обманщик неотступно следует за тобой и всегда находится рядом, разве это не ужасно?279
Поскольку все это действительно так, мы нуждаемся, по словам Афинянина, в правильном способе исследования, который позволит нам решить спорные вопросы:
Я хочу говорить о том же самом, то есть об опьянении, но иным образом — тем, который мне кажется надлежащим, если только я смогу выяснить для нас правильный способ исследования всех подобных вопросов280.
Пир. 198е-199а. Кратил. 428d.
Законы. 638е. Можно сказать и так: нам следует чаще «оглядываться на сказанное» и пытаться «смотреть одновременно и вперед и назад» (Кратил 428d). Критичная тщательность важна, конечно же, не только в математике
ив философии, но и в других областях, например в литературных произ ведениях — и литераторы, такие как Л. Н. Толстой, знали это и соз нательно стремились к этому: «Ясность, точность, прозрачность формы, полное соответствие ее внутреннему содержанию — это, можно сказать, первое и последнее требование в эстетике Толстого. Отвечая... Леониду Андрееву, он советовал ему больше работать над своими произведениями, "доводя в них свою мысль до последней степени точности и ясности". "Как ни страшно это сказать, — говорит он по другому поводу, — а художество требует еще большей точности, précision, чем наука» (Гуревич. Литература
иэстетика. С. 242).
172 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Такой «правильный способ» представляет именно матема тическая дедукция, в которой заложена возможность самокритики и самопроверки. Она важна везде, и не в последнюю очередь в самой математике. Любопытно здесь высказывание знаменитого мате матика Феликса Хаусдорфа. В предисловии к своему основному труду «Grundzüge der Mengenlehre» он строго подчеркивал необходимость тщательной дедукции: «В области, где абсолютно
ничего не является само собой разумеющимся, где правильное
281
часто является парадоксальным , а убедительное — ошибочным, вряд ли есть другие средства, кроме полной дедукции, для предохранения себя и читателя от ошибок»282.
Второе примечание:
Платон не считал, что познание всегда добывается дедуктивнорациональным путем. Имеются и области, познание которых пре восходит возможности нашего разума; в этом случае мы полагаемся на сообщения «более высоких авторитетов»:
Повествовать о прочих божествах и выяснять их рождение — дело для нас непосильное. Здесь остается только довериться тем, кто говорил об этом прежде нас; раз говорившие сами были, по их словам, потомками богов, они должны были отлично знать своих прародителей. Детям богов отказать в доверии никак нельзя, даже если говорят они без правдо подобных и убедительных доказательств, ибо, если они
Хаусдорф сам приводит и доказывает такой парадокс: можно разобрать шар на части таким образом, что эти части, если сложить их новым способом, дадут в итоге два полных шара, каждый из которых равен по размеру первоначальному. (Более точно: Хаусдорф доказал, «dass eine
Kugelhälfte mit einem Kugeldrittel kongruent sein kann, genauer, dass (von einer abzählbaren Menge abgesehen) die Kugel К in drei Mengen А, В, С gespalten werden kann derart, dass А, В, С und В + С paarweise kongruent sind»). Это действительно «безумный» результат! (См. Hausdorff. Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. S. 428-433.)
Hausdorff. Gesammelte Werke. Band II. S. 97.
Дедукция и доказательство 173
выдают свой рассказ за семейное предание, приходится им верить, чтобы не ослушаться закона283.
Поэтому считается целесообразным не полагаться исключительно на свой разум, а взывать к богам о поддержке:
Итак, приступая к речам, еще раз обратимся с молитвой к богу-спасителю, дабы он указал нам счастливый путь от странного и необычного повествования к правдоподобному
284
выводу
Третье примечание:
Мы увидели, что ценность дедукции и доказательства состоит в том, чтобы «гарантировать» правильность какого-либо утверж дения. Но они важны только для нас, смертных существ. Сама правильность утверждения, согласно платоникам, не зависит от нашей возможности или способности доказать ее. Удачно описал это И. Р. Браун: «Платоники... утверждают, что истина отличается от доказательства. Доказательство Π не делает Π истиной, скорее это свидетельство того, что Π истинно. Отсутствие выводов из изначальных постулатов значит только, что мы могли бы навечно остаться в неведении о значении истинности Я, но Π все равно имеет это значение. Инстинкты любого платоника подобны инстинктам большинства из нас в отношении естественнонаучных утверждений. Не существует возможности тем или иным путем получить подтверждение тому, что ровно 75 миллионов лет назад с точностью до секунды на том самом месте, где я стою сейчас, стоял тираннозавр. Тем не менее большинство из нас полагают такое
Тимей. 40d-e. Интересно, что Аристотель также считает доверие оправ данным, но он ссылается не на связь с богами, а на практический опыт: «Поэтому недоказательным утверждениям и мнениям опытных и старших внимать следует не меньше, чем доказательствам. В самом деле, благодаря тому что опыт дал им "око", они видят правильно» (Аристотель. Никомахова этика. 1143b 10-15).
Тимей. 48d.
174 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
утверждение истинным или ложным. Возможность его доказать или
опровергнуть не имеет ничего общего с его истинностью или
285
ложностью. Таково же отношение платоника к СН . СН либо действительно истинно, либо действительно ложно, даже если мы не можем доказать ни того ни другого» 86.
Платон был, без сомнения, очарован математикой и с оживленным интересом следил за ее развитием, особенно тогда, когда она не была связана с непосредственным «практическим применением». Тем не менее самые глубокие устремления Платона были не математическими — и в принципе даже не философскими, — а гуманистически-просветительскими. Это отчетливо видно из сле дующей цитаты, в которой Платон описывает состояние невежест венного человека:
Кто не в силах с помощью доказательства определить идею блага, выделив ее из всего остального; кто не идет... сквозь все препятствия, стремясь к опровержению, основанному не на мнении, а на понимании сущности; кто не продвигается через все это вперед... — про того, раз он таков, ты скажешь, что ему неведомо ни самое благо, ни какое бы то ни было благо вообще, а если он и прикоснется каким-то путем к призраку блага, то лишь при помощи мнения, а не знания.
СН означает «континуум-гипотеза» — знаменитая проблема теории множеств. Она предполагает, что «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. Доказать эту гипотезу не удалось, и наконец Гедель и Коэн показали, что на основе аксиом теории множеств можно принимать эту гипотезу или не принимать, и это не приведет к противоречиям. В этом смысле гипотеза «неразрешима». При этом платоник все равно уверен, что «в реальности» гипотеза либо истинна, либо нет, несмотря на то что мы не можем узнать, какая возможность действительна (по крайней мере пока...).
Brown. Philosophy of Mathematics. P. 182. Более подробно мы обсудим эти убеждения платоников в Приложении А.
Высшая польза математики 175
Такой человек проводит нынешнюю свою жизнь в спячке и сновидениях, и, прежде чем он здесь пробудится, он, придя в
А |
287 |
Аид, окончательно погрузится в сон |
|
Математика особенно помогает в том, чтобы очнуться от сонного состояния невежества88 и приблизиться к истинному знанию и самопониманию. Дело в том, что математик продвигается в поле абстрактности с помощью разума. При этом надо заметить, что слово «абстрактность» не имеет здесь оттенок «нереальности», поэтому Р. Штайнер по праву предпочитал выражение «свободное от чувственности мышление» и настаивал на том, что это «не
абстрактное мышление, а очень, очень настоящее, реальное мыш-
289
ление» . Это мышление возникает тогда, когда исчезают пред ставления, вызванные внешними явлениями. Поэтому Штайнер считает, что лозунг «Негеометр да не войдет!» призывает не к ценности обычной школьной геометрии (которая, конечно, необхо дима как основание), а к успешному достижению «свободного от чувственности мышления» ***. Такая математика, в которой истин ное познание приобретается не с помощью чувств, а с применением чистого разума, является примером для философии. Таким обра-
287Государство. 534с. Ср. 484с, где Платон различает «слепых» и людей, имеющих «острое зрение».
Ср. слова Лапласа: «Сохраним же тщательно и умножим сокровищницу этих возвышенных знаний, отраду мыслящих существ. Эти знания сослу жили важную службу мореплаванию и географии. Но их гораздо большее значение состоит в том, что они рассеяли страхи, вызываемые некогда небесными явлениями, и уничтожили заблуждения, рождавшиеся от не знания наших истинных отношений с природой. Заблуждения и страхи, которые очень скоро возродились бы, если бы светоч науки погас» (Лаплас. Изложение системы мира. С. 318).
289Steiner. Mythen und Sagen. S. 246.
290«Когда [у человека] исчезают представления, вызванные внешними явле ниями, тогда он понимает, что подразумевал греческий философ Платон, когда писал над воротами своей школы: "Негеометр да не войдет!" Смысл таков: не должен входить тот, кто не может подняться до свободного от чувственности мышления» (Ibid. S. 244).