166 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Да, это может быть трудно и утомительно, но без таких усилий мы получаем только видимость знания, что еще хуже, чем невежество:
Я опасаюсь и того, о чем ты сейчас говоришь, но еще более боюсь я людей, прикоснувшихся к этим наукам, но прикос нувшихся плохо. Полное невежество вовсе не так страшно и не является самым великим из зол, а вот многоопытность и многознание, дурно направленные, — это гораздо более
264
тяжелое наказание
В формальной математической дедукции для получения полной уверенности при каждом шаге указывают, какая аксиома и какое правило использовались; у Платона это невозможно в подобной форме, тем не менее соответствующее выражение согласия («да!», «несомненно!») должно сообщать о том, что слушатель внутренне проверил правильность этого шага. Поэтому платоновские диалоги в своей структуре часто аналогичны дедуктивным доказательствам, что разъясняется в следующей схеме 65:
Законы. 819а. См. также: Законы. 966d-968a, особенно 961а: «Никто из смертных не может стать твердым в благочестии, если не усвоит двух только что указанных положений. Первое — что душа старше всего, что получило в удел рождение; она бессмертна и правит всеми телами; второе
— что в звездных телах, как мы не раз говорили, пребывает ум всего существующего. Следует усвоить предваряющие эти положения необходи мые знания, чтобы заметить их общность с мусическими искусствами и воспользоваться ими для нравственного усовершенствования в согласии с законами и чтобы быть в состоянии отдать себе разумный отчет во всем том, что разумно. А кто не в состоянии в дополнение к гражданским добродетелям приобрести эти знания, тот едва ли когда-нибудь будет удовлетворительным правителем всего государства: он будет только слугою другим правителям».
Правая сторона схемы взята из: Протагор. 332а-с. Левая сторона схемы демонстрирует выведение правила скобок К: а - (Ь - с) = а - Ъ + с. Это правило — последняя строка дедукции. Читатели, желающие проследить за решением по-настоящему, так, чтобы «почувствовать» дух формальноматематического мышления, могут обратиться к приложению Г5.
Дедукция и доказательство 167
а - (Ь - с)1 + (Ь - с) - а
а - (Ъ - с)] + (Ь - с) + с - а + с
а - (Ь - с)] + b - а + с
a - ( b - c ) ] + b - [(a-b) + b] + c
a - ( b - c ) ] + b = (a-b) + (b + c)
> - ( b - c ) ] + b = (a-b) + (c + b)
> - (b - c)] + b = [(a - b) + c] + b
a - (b - c) = (a - b) + с
а - ( Ь - с ) = а - Ь + С
|
Называешь ли ты что-нибудь |
|
^""^ |
Не полная ли ему противоположность - |
|
^ ^ ^ |
мудрость? |
|
По-моему, так. |
|
|
|
Когда люди действуют правильно и с |
|
|
ПОЛЬЗОЙ |
? |
|
Они поступают рассудительно благодаря |
|
|
рассудительности? |
|
|
А те. кто действует неправильно, поступают |
|
|
безрассудно...? |
|
|
Значит, безрассудные поступки |
|
|
противоречат рассудительности? |
|
|
Безрассудные поступки совершаются по |
|
|
безрассудству....? |
|
|
Огало быть, если что совершается с силой, |
|
|
это будет и |
|
|
** е с л и |
Яе я с т в У, о т быстро, то /то быстрый |
^ р < ^ - ^ |
поступок, а если медленно - медленный? |
|
Диалог «Парменид» имеет почти такую же структуру: каждый шаг проверяется, и там, где что-то непонятно («постой-ка!», «какое же?», «пока я совершенно себе этого не представляю!»), дается отдельное обоснование. Такой тщательный контроль правильности каждого отдельного шага очень важен:
Согласимся мы? Подумай получше, прежде чем ответить266.
Все мы наперебой должны стараться понять, что в наших
267
рассуждениях правда и что ложь
д) Согласие с каждым следующим шагом преподавателя должно достигаться в результате действительного понимания, а не слепого доверия к его авторитету:
Сократ: Что ж, если тебе больше так нравится, буду говорить я. Ты же подтверждай мои слова, если сочтешь их
268
правильными, а если нет — опровергай и стой твердо
Горгий. 496с. Там же. 505е.
168 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Во всяком случае, рассмотреть надлежит не кто это сказал, но истинны эти слова или нет269.
Если ты не сам от себя услышишь, что справедливость полезна, а от другого, не поверь ему270.
Только ты наблюдай за мной повнимательнее, как бы мне не сказать чего-нибудь несуразного271.
Он [Гомер] — первый наставник и вождь всех этих великолепных трагедийных поэтов. Однако нельзя ценить человека больше, чем истину, вот и приходится сказать то,
272
что я говорю
Отказ от слепого доверия важен и потому, что зачастую ученик способен видеть яснее, чем преподаватель:
Часто, прежде чем разглядят зоркие, это удается сделать
273
людям подслеповатым
Ксожалению, сильная личность преподавателя затрудняет это:
Втвоем присутствии я не решился бы ничего сказать, даже если бы мне это и прояснилось274.
268Там же. 504с.
269Хармид. 161с.
270Алкивиад I. 114е. В 117а Платон устанавливает, что тому, кто согласился с доказательством вопреки своей воле или без ознакомления с ним, не удастся прийти к настоящему знанию. Поэтому еще в 113а требуется, чтобы учащийся сам приводил доказательство. Он должен осознавать: я сам привел доказательство утверждаемого! Важно в этой связи замечание в 117с: «Если кто-нибудь чего-то не знает и уверен в том, что этого не знает, он не станет колебаться в этом отношении». Это является плодотворной основой для более глубокого проникновения в проблему, в то время как кажущееся знание или упование на преподавателя приводят к само довольству и лени. «Такое непонимание — это причина всех бед и невежество» ( 118а).
271Гиппий Больший. 295с.
272Государство. 595Ь-с.
273Государство. 596а.
Дедукция и доказательство 169
Призыв к самостоятельному мышлению — это, конечно, не изо бретение Платона. П. Гайденко установила, что это требование было неизбежно, учитывая тогдашнюю ситуацию в Греции: «Понятно, что социально-экономические изменения, происходив шие в VII-VI вв. до н. э., вели к разрушению сложившихся форм связи между людьми и требовали от индивида выработки новой жизненной позиции. Философия и была одним из ответов на это требование. Она предлагала человеку новый тип самоопределения: не через привычку и традицию, а через собственный разум. Философ говорил своему ученику: не принимай все на веру, думай
275
сам» . Однако Платон осознанно подхватил это требование независимого мышления и придал ему большое значение в сократических диалогах.
Если мы строго следовали всем вышеприведенным указаниям, то, оглянувшись назад, мы увидим успешность и неопровержимость нашей дедукции:
Но теперь ты видишь сам, что хоть вас и трое и хотя мудрее вас — тебя, Пола и Горгия — нет никого в целой Греции, вы не в состоянии доказать, что надо жить какою-то иной жизнью, чем эта, которая, надо надеяться, будет полезна для нас и в Аиде. Наоборот, как много было доводов, а все опрокинуты, и только один стоит твердо — что чинить
276
несправедливость опаснее, чем терпеть
Там же. 596а.
Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. М.: Наука, 1980. Введение. (Текст отсутствует в более позднем издании: M.: URSS, 2012.)
Горгий. 527b. Н. Бурбаки приводит цитату из «Государства» (510с-е): «Те, кто занимается геометрией и арифметикой... предполагают чет и нечет, три вида углов; они рассматривают их как известные вещи: как только это предположено, они считают, что не должны отдавать в них больше отчета ни себе, ни другим [считая их] ясными для всех; исходя из этого, они действуют по порядку, для того чтобы с общего согласия прийти к тому, что имели в виду рассмотреть» и резюмирует это положение следующим
170 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Первое примечание:
Такая аккуратность в выводах, характерная для большинства диа логов Платона, необходима потому, что наши доводы зачастую — просто набор мнений и предрассудков, а вовсе не настоящие аргументы:
Услышав одно лишь упоминание об опьянении, одни тотчас стали его порицать, другие — хвалить; все это совершенно неуместно. Каждый из нас пытался это делать при помощи свидетелей и хвалителей. Одни из нас, опираясь на большинство, полагали, что высказывают господствующее мнение; другие основывались на том, что мы видим, как побеждают в сражениях те, кто не употребляет вина. Однако в свою очередь и это у нас осталось невыясненным. Если мы и каждое из остальных узаконений будем разбирать таким образом, то, по-моему, это будет неразумно277.
В ироническом комментарии Сократ показывает, как его друзья слагают хвалебные речи без оглядки на их истинность или ложность:
Видно, заранее был уговор, что каждый из нас должен лишь делать вид, что восхваляет Эрота, а не восхвалять его в самом деле. Поэтому-то вы, наверное, и приписываете Эроту все, что угодно, любые свойства, любые заслуги, лишь бы выста вить его в самом прекрасном и благородном свете — перед теми, разумеется, кто не знает его, но никак не перед людьми осведомленными. И похвальное слово получается красивое и
образом: «Итак, то, из чего слагается доказательство, — это прежде всего точка отправления, выбранная с некоторым произволом (хотя и "ясная каждому"), за пределы которой, как говорит он немного ниже, и не пытаются выходить; затем исследование, состоящее из ряда промежу точных этапов, проходимых по порядку; и, наконец, согласие собеседника, гарантирующее на каждом этапе правильность рассуждения» (Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 23).
Законы. 638d-e.