156СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Впротивоположность этому «пустому и громкому вздору», Платон требует тщательных и неопровержимых выводов и доказательств везде, где это возможно. В этом он не был первым. Во времена Платона греческая математика была уже довольно изощренной не только в своем содержании, но и в отношении строгих требований к приводимым доказательствам. О математиках-пифагорейцах Ван дер Варден пишет, что они «обычно доказывали свои теоретикочисловые предложения очень подробно, переходя постепенно от одной ступени к другой. Это можно видеть из подробного доказа-
230
тельства, которое Архит дает для предложения А , в котором тщательно разработан каждый самый тривиальный силлогизм; это можно также видеть и из пифагорейской теории четного и нечет ного, где детально доказываются самые очевидные вещи, вроде того, что любое количество четных чисел дает в сумме четное число (IX, 21), а также и в разобранном ранее доказательстве иррацио нальности диагонали квадрата, в котором, например, заключение "если m четное, то будет четным и /п" правильно получается доказательством от противного; наконец, это можно видеть из тщательно разработанных доказательств самой книги VII» 31.
Теэтет, от которого Евклид воспринял большую часть положений,
232
содержавшихся в «Началах» , особенно отличался точностью своих доказательств, в которых каждый, даже самый маленький шаг полностью обосновывался, перед тем как перейти к следующему233.
В принадлежащей Архиту теории музыки главную роль играют два следующих теоретико-числовых предложения. Предложение А: «Между двумя числами, находящимися в эпиморном отношении, нельзя вставить никакого среднего пропорционального числа». Предложение В: «Если отношение чисел, будучи сложено с самим собой, дает кратное отношение, то оно является кратным».
Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 160.
Этот интересный факт доказан в книге: Van der Waerden. Die vier Wissen schaften der Pythagoräer. S. 9-10.
См., напр., доказательство: Евклид. Начала. IX, 21. Заметим здесь, что само понятие «доказательство» до какой-то степени спорно. Какие требования должны быть удовлетворены, чтобы мы могли быть совершенно уверены,
Дедукция и доказательство 157
Платон, вследствие своих занятий математикой, усвоил эти два пункта — самостоятельность мышления и точность в доказательст вах, — перенеся их на диалектический процесс в философии234. Ничто не должно быть принято на веру, и ничто не должно объявляться ex cathedra . Так же резко осуждается Платоном
что представленное размышление или цепь аргументов являются несомненным «доказательством»? Об этом мы будем говорить ниже, а здесь приведем одну цитату, которая покажет, что даже в математике не всегда все сразу ясно и верно. Знаменитый математик Якоби однажды написал Гумбольдту: «Если Гаусс говорит, что он доказал нечто, мне представляется это очень вероятным; если так скажет Коши, то это примерно столь же вероятно, как и нет, а если так говорит Дирихле, то это бесспорно». Цит. по: Gray. Plato's Ghost. P. 268.
Ван дер Варден подчеркивает: «Математические доказательства были образцами как для диалектики Платона, так и для логики Аристотеля» (Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 12). При этом Платон также в чемто следовал за софистами, несмотря на его столкновения и споры с ними, касающиеся их субъективизма и релятивизма. Дело в том, что многие из софистов играли положительно-критическую, просветительскую роль, как это подчеркивала П. Гайденко: «Критика софистов положила конец непосредственному знанию: она требовала рефлексии, опосредствования, проверки всякого утверждения, требовала выносить на суд всякое непосредственное наблюдение, бессознательно приобретенное убеждение или дорефлективно сложившееся мнение. Софистика истребляла все непосредственное, воевала против всего того, что жило в сознании людей без удостоверения его законности. Отныне право на жительство имело только такое содержание, которое было допущено в сознание самим этим сознанием; все же, что проникло в него не этим законным путем, а через какие-то неконтролируемые сознанием каналы, т. е. то, что было усвоено бессознательно, должно быть исторгнуто как недостоверное, неистинное, а потом, может быть, частично и впущено назад — после проверки. В этом состоял радикальный рационализм софистики, который роднит ее с ново европейским Просвещением» (Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. С. 96).
Как сказал знаменитый математик Цермело, «в математике нет безошибоч ных авторитетов» (Zermelo. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. S. 112.) Ср. также высказывание Гоббса: «Призывая других на помощь или как свидетелей, вы поступаете не как геометр; ибо они не доказывают свои выводы свидетельскими показаниями, но полагаются на
158 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
любая попытка затемнить истину с помощью хитроумных аргумен тов236. Рассуждение должно протекать убедительно, постепенно, с проверкой . Платоновский Сократ строго реагирует на каждое
силу своего разума; и когда ваши свидетели появятся, они не пойдут вашим путем» (The English Works of Thomas Hobbes. Vol. VII. P. 213). Сам Платон старался соответствовать этому требованию: «Платон не провозглашал ортодоксальные интерпретации ex cathedra, не налагая таким образом никаких ограничений на свободу» (Cherniss. The Riddle of the Early Academy. P. 85).
236 Многочисленные примеры острых высказываний Платона в адрес софистов приведены в диалоге «Софист», а также в других местах. Например, в «Федре» центром рассуждения, вопреки многочисленным толкованиям, выступает не вопрос о любви — эта тема служит, несмотря на ряд ценных высказываний, лишь примером, — а вопрос о возможности истинного, бесспорного познания в противоположность дезориентирую щим аргументам софистов.
237Конечно, Платон хорошо отдавал себе отчет в разнице между настоящим доказательством и более-менее убедительным рассказом. Его обстоятель ное описание строения Земли, например, Сократ считает предпочти тельным, разумным и убедительным, но все же не настоящим дока зательством, и завершает это описание словами: «Правда, человеку здравомыслящему не годится утверждать с упорством, будто все обстоит именно так, как я рассказал» (Федон. 114d). Однако проблему можно заострить и далее: способен ли человеческий дух вообще приводить абсолютные доказательства? Несомненно, говорит Платон, мы можем далеко проникнуть своим разумом, так как «Бог изобрел и даровал нам зрение, чтобы мы, наблюдая круговращения ума в небе, извлекли пользу для круговращения нашего мышления, которое сродни тем, небесным,
хотя в отличие от их невозмутимости оно подвержено возмущению»
(Тимей. 47Ь). По этой причине хорошо было бы полагаться не только на разум; «Итак, приступая к речам, еще раз обратимся с молитвой к богуспасителю, дабы он указал нам счастливый путь от странного и необычного повествования к правдоподобному выводу» (Тимей. 48d). Именно здесь поднимается основной вопрос. Швейцарский математик Пауль Финслер, получивший известность благодаря «Финслерову пространству» и «Финслеровой геометрии», утверждал, как мы уже говорили, что наш дух (или разум) способен познать несомненную истину, если в ходе исследования не были совершены логические ошибки; другие,
кпримеру его коллега И. И. Буркхардт, не были так оптимистичны. Так, Мордухай-Болтовской утверждал, что «математические ошибки суть не
Дедукция и доказательство 159
доказательство, которое не соответствует этим суровым требова ниям. И если Гиппий пытается выдать свой материальный успех за доказательство своей мудрости, Сократ отвечает ему саркастически:
Ты, Гиппий, приводишь прекрасное и важное доказательство мудрости и своей собственной, и вообще нынешних людей,
— насколько же они отличаются ею от древних! Велико было, по твоим словам, невежество людей, живших прежде. С Анаксагором произошло, говорят, обратное тому, что случается с вами: ему достались по наследству большие деньги, а он по беззаботности все потерял — вот каким неразумным мудрецом он был! Да и об остальных живших в старину рассказывали подобные же вещи. Итак, мне кажется, ты приводишь прекрасное доказательство мудрости нынеш них людей по сравнению с прежними. Многие согласны в том, что мудрец должен быть прежде всего мудрым для себя самого. Определяется же это так: мудр тот, кто заработал больше денег238.
Конечно, Платон не мог быть знаком с современными формаль ными методами дедукции и математических доказательств, но интуитивно он ухватил их суть и применял их в своих диалогах. Сначала, в исходной ситуации, достигается изначальное согласие, затем следует цепочка аргументов, состоящая из отдельных, обозримых шагов, причем собеседник должен подтверждать пра вильность каждого из них; только после этого подтверждения
что иное, как погрешности памяти или внимания», но в то же время он признавался, что избежать таких ошибок нелегко: «Случается, что даже при последней окончательной проверке мы оказываем то же прене брежение на вид обычным и простым положениям, но таящим в себе смертельный яд и гибель для всего организма нашего построения» (Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 94, 97). Этот вопрос — о «надежности» наших рассуждений — сыграл впоследствии значительную роль при обсуждении того, что же лежит в основе математики, однако этим его роль не ограничивается: Финслер, к примеру, создал, опираясь на свои убеждения, самостоятельную теорию множеств.
238 Гиппий Больший. 283а-Ь.
160 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
можно перейти к следующему шагу. То, что собеседники Сократа так однообразно выражают свое согласие («конечно», «так оно и есть», «да, несомненно» и т. д.), может немного утомить читателя, однако в этом проявляется стремление Платона не к догматичным поучениям, а к основанным на аргументах дедуктивным выводам.
Возьмем, например, — в отношении не содержания, а струк туры, — диалог «Горгий», в котором явно воспроизводится образец математической дедукции. Она противопоставляется более ранней практической математике, правила которой позволяли решать повседневные задачи, но суть этих правил никто не смог бы ясно сформулировать. Платон хочет, чтобы правила рассуждения
постигались изнутри, чтобы истина представала неопровержимой;
239
это возможно, так как «истину вообще нельзя опровергнуть» Также строгая логическая дедукция противопоставляется образу действий софистов, применяющих искусство убеждения и обман; их искусство — лишь «красноречивое ораторство... льстивое угодничество» . Кроме того, ориентированный на математику способ аргументации отличается от способа аргументации в зале судебного заседания:
Милый мой, ты пытаешься опровергать меня по-ораторски, по образцу тех, кто держит речи в судах. Ведь и там одна сторона считает, что одолела другую, если в подтверждение своих слов представила многих и вдобавок почтенных свидетелей, а противник — одного какого-нибудь или же вовсе никого. Но для выяснения истины такое опровержение
241
не дает ровно ничего
Характеристиками же математической дедукции являются:
а) необходимо четко сформулировать задание и точную цель иссле дования;
Горгий. 473с. Там же. 502d. Там же. 47le.