Дедукция и доказательство 161
б) следует обозначить исходную позицию: имеются ли между нами различия? согласны ли мы с общим исходным пунктом?
в) нужно использовать точный язык и ясные понятия;
г) необходимо упорядоченное, постепенное движение, сопровож дающееся контролем за правильностью каждого шага;
д) согласие с каждым следующим шагом преподавателя должно достигаться в результате действительного понимания, а не слепого доверия к его авторитету.
Мы приводим в дальнейшем несколько избранных отрывков (особенно из «Горгия»), которые показывают, что Платон в полной мере осознает характеристики математической логики и применяет их, хотя, конечно, не в области самой математики и не в совре менном понимании этого слова.
а) Необходимо четко сформулировать задание и цель исследования:
Я прошу тебя — ни в коем случае не отступайся, чтобы действительно, по-настоящему выяснилось, как нужно
242
жить
б) Следует обозначить исходную позицию: имеются ли между нами различия? согласны ли мы с общим исходным пунктом?
Стало быть, мы расходимся вот в чем.. .243
Давай начнем сначала и скажи мне, что такое лучшие, по-
244
твоему...
Попытаемся же осторожно установить исходный пункт -этого
245
рассуждения
Там же. 492d. Там же. 473а. Там же. 489d.
162 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Как мог бы, мой друг, кто-нибудь, исходя из ложного
мнения, добиться хоть малой толики истины и обрести
246
разумение Каждому человеку нужно более всего внимательным быть
при начале всякого дела, и тогда нужно обдумать, правильно или нет он закладывает основание. А коль скоро это достаточно испытано, остальное уже явится следом247.
Сократ: И такое знание доступно не всякому... Так ведь ты говоришь? — Никий: Да, именно так248.
У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием? — Никогда249.
Можно было бы добавить еще несколько подходящих отрывков,
250
показывающих, насколько важным Платон считал этот пункт .
245Филеб. 23Ь.
246Политик. 278d.
247Кратил. 436d.
248Лахет. 196d.
249Государство. 533с.
250См. также Федр. 237с: «Во всяком деле надо для правильного его обсуж дения начинать с одного и того же: требуется знать, что же именно под вергается обсуждению, иначе неизбежны сплошные ошибки. Большинство людей и не замечает, что не знает сущности того или иного предмета: словно она им уже известна, они не уславливаются о ней в начале рас смотрения; в дальнейшем же его ходе это, естественно, сказывается: они противоречат и сами себе и друг другу»; Федон. 107Ь: «И не только в этом, Симмий, твои слова надо бы отнести и к самым первым основаниям. Хоть вы и считаете их достоверными, все же надо их рассмотреть более отчет ливо. И если вы разберете их достаточно глубоко, то, думаю я, достигнете в доказательстве результатов, какие только доступны человеку. В тот миг, когда это станет для вас ясным, вы прекратите искать»; Тимей. 29Ь: «В каждом рассуждении важно избрать сообразное с природой начало»; Феаг. 122Ь: «Сначала нам надо с тобой договориться, как именно мы определим, о чем мы советуемся, дабы не выходило, что я разумею одно, ты же —
Дедукция и доказательство 163
В дальнейшем Наторп указал на то, что диалог «Федр», который так часто понимался как «диалог о любви», имеет своей основной темой как раз это — значение ясно определенного начала для диалектического процесса251.
С современной точки зрения можно сказать, что Платон уже понял суть «аксиоматического метода» (конечно, не в нашем фор мальном смысле). Правильная дедукция необходима, но не доста точна, так как
если учредитель обманулся в самом начале, то и остальное он поневоле делал уж так же, насильно согласовывая даль нейшее с первым. В этом нет ничего странного, так же ведь и в чертежах: иногда после первой небольшой и незаметной ошибки все остальное уже вынужденно следует за ней и с ней согласуется. Поэтому каждому человеку нужно более всего внимательным быть при начале всякого дела, и тогда нужно обдумать, правильно или нет он закладывает осно вание. А коль скоро это достаточно испытано, остальное уже явится следом252.
Поэтому каждое доказательство, если оно хочет заслуженно носить это имя, должно быть построено на ряде аксиом, которые сами не
другое, и потом, зайдя чересчур далеко в беседе, мы не показались бы сами себе смешными — и я, дающий тебе советы, и ты, их выслушивающий, — потому что ни по одному вопросу не придем к согласию».
«В центре [диалога], безусловно, стоит понятие, определение. Уже вторая речь хорошо обобщает это старое сократическое требование (237с). Отно сительно каждого предмета есть одно начало, если мы действительно хотим совещаться: знать, в чем состоит дело, о котором мы размышляем (ср., например: Лахет. 185Ь); вслед за тем: сущность (ουσία). Взаимном соглашением (ομολογία), достигнутым друг с другом, и соответствующим образом также с собой самим, мы должны установить понятие, определе ние (δρον) того, каковы свойства (οίον) вещи, какая сила, значение или функция (δύναμις) положены этому понятию, чтобы вести исследование правильно... Также 238d: "То, чем это является", мы определили (о τυγχάνει δν, что как раз есть...); принимая это во внимание, мы хотим теперь обсуждать следующее» (Natorp. Piatos Ideenlehre. S. 67).
Кратил. 436c-d.
164 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
могут быть доказаны, но признаются собеседниками «истинными»
— или же, как это принято в сегодняшнем формализме, собеседники просто соглашаются их использовать, поскольку они «работают», при этом не противореча друг другу (кстати, с точки
зрения обеих этих позиций неизбежен тот факт, что принципиально
253
невозможно доказать «все» ).
в) Нужно использовать точный язык и ясные понятия:
Я снова спрошу тебя о том, что, казалось бы, совершенно ясно, а я все-таки спрошу: ведь, повторяю еще раз, я задаю вопросы ради последовательного развития нашей беседы, не к твоей невыгоде, а из опасения, как бы у нас не вошло в привычку перебивать друг друга и забегать вперед. Я хочу,
чтобы ты довел свое рассуждение до конца, как сам найдешь
254
нужным, по собственному замыслу Ты коришь меня, что я постоянно твержу одно и то же, а я
тебя — наоборот, что ты никогда не говоришь об одном и том же одинаково.. .255
Пол: ...красноречие — это, по-твоему, угодничество? — Сократ: Нет, я сказал: только часть угодничества. Но что это, Пол? В твоем возрасте — и уж такая слабая память?256
«Недоказуемость в математике ничуть не равносильна недействитель ности, так как не все может быть доказано, а каждое доказательство снова предполагает недоказанные принципы» (Zermelo. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. S. 112). Более того, теорема Геделя о неполноте доказывает, что в каждой формальной и непротиворечивой арифметике неизбежно существует тезис, который нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Истинность, с точки зрения платоника, зафиксирована, но не доступна для нас с помощью формальных систем. Как сказал физик Р. Пенроуз: «Математическая истина не определяется произвольно прави лами какой-либо созданной человеком формальной системы, но имеет абсолютную природу и лежит за пределами любой системы точно определенных правил» (цит. по: Livio. The Golden Ratio. P. 241).
254Горгий. 454b-c. Горгий. 491b.
Дедукция и доказательство 165
Вот это ты мне ясно определи.. .257
Я предоставляю тебе распорядиться любым названием, как
тебе это будет угодно; разъясни лишь, к чему именно от-
258
носишь ты то имя, которое произносишь
Мы стремимся в нашем исследовании, чтобы твое мнение здесь не расходилось с нашим. Сейчас я тебе скажу, что мы
259
думаем; если же ты с этим не согласишься, укажи это нам
Но, дорогой мой, мера в таких вещах, если она хоть скольконибудь отстает от действительности, уже не будет в над лежащей степени доказательной260.
г) Необходимо упорядоченное, постепенное движение, сопровож дающееся контролем за правильностью каждого шага:
...в каком порядке располагает каждый все части своей работы...261
262
.. .и может дать отчет в каждом своем шаге...
Это важный принцип: ход мысли должен протекать таким образом, чтобы слушатель или читатель мог проверять каждый отдельный шаг и, если надо, спрашивать и уточнять:
Протарх: Если бы ты выразился яснее, я, может быть, и мог бы следовать за тобой263.
1ЪЬ Там же. 466а.
257Там же. 488d.
258Хармид. 163d.
259Лахет. 198Ь.
260Государство. 504с,
261Горгий. 503е.
262Там же. 501а.
263Филеб. 23е.