146 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
был в курсе даже таких деталей. С точки зрения математики инте ресно также, что Теэтет «сумел общим образом охарактеризовать первый бесконечный класс иррациональностей, а именно таких, которые мы теперь обозначаем VN, где N — целое число, не являющееся полным квадратом. Ему принадлежит, по-видимому, следующая замечательная теорема: если площадь квадрата выра жается целым неквадратным числом, то его сторона несоизмерима со стороной единичного квадрата»212.
Итак, с помощью ясных, определенных дефиниций Феодор и Теэтет смогли поделить бесконечное множество M (множество чисел) на две группы А и Б так, что каждый элемент бесконечного множества M принадлежит к одной и только одной группе — А или Б, и при этом каждый элемент групп А и Б принадлежит к М. Это означает, что с помощью дефиниций в математике возможно соединять бесконечное количество элементов, хотя бы теоре тически.
Интересно также стремление Платона точнее определить то, что
213
мы называем «плоскостью» . В «Меноне» (74-76) он избегает уже принятого в то время, но не ясно определенного понятия επιφάνεια. Платон определяет три четких понятия, с помощью которых воз можно однозначно обозначить различные проявлении плоскости:
сравнение р2 = Nq2 будет сравнимо по любому модулю. Если же это сравнение не разрешимо по какому-либо модулю, то отсюда следует невозможность равенства р2 = Nq2. Для N = 2 получается знакомое доказательство из Евклида (X книга), а Феодор мог без труда показать, что при N = 3, 5... 15 сравнениер2 = Nq2 не разрешимо по одному из модулей 2 . Однако при N = 17 этот метод оказывается недостаточным, так как сравнение р2 = \lq2 (mod 2 ) разрешимо при любом к, и никакого заключения относительно возможности равенства р2 = 1 lq2 сделать нельзя (это рассуждение взято у Башмакова: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1. С. 74.) Как бы то ни было, Платон, хотя он не дает объяснений, говорит о каком-то математическом факте.
Башмаков. История математики с древнейших времен до начала XIX сто летия. Т. 1.С. 75.
Мы используем здесь исследования и диаграммы Гайзера (Gaiser. Piatons Menon und die Akademie. S. 248).
|
|
|
Дефиниции 147 |
|
, , _ |
|
чисто двумерное |
|
έπίπεδον |
= |
измерение |
|
|
|
|
επιφάνεια (плоскость) |
σχήμα |
= |
форма поверхности |
|
|
|
(какого-то тела) |
|
χρώμα |
= |
внешная видная сторона |
|
(какого-то тела) |
Но по-прежнему остается неясным, работают ли дефиниции в философии? В этом Теэтет не уверен: после демонстрации математического примера он говорит, что не смог бы ответить на вопрос Сократа о знании «так же, как о стороне и диагонали квадрата, хотя мне и кажется, что ты ищешь нечто подобное»214. Видимо, Платон чувствовал, что дефиниции в математике и в философии — разные вещи. Это подтверждает и Рассел: «Необходимо понимать, что определение в математике не означает, как в философии, анализ идеи, понимаемой в качестве сово купности составляющих ее идей. Такой взгляд на вещи в любом случае применим только к концепциям, в то время как в математике возможно давать определение терминам, которые концепциями не являются. Таким образом, многие понятия также определены путем символической логики и им нельзя дать философское определение, так как они просты и не поддаются анализу. Математическое определение состоит в указании на некое зафиксированное отношение к некоему уже установленному термину, и только один другой термин будет состоять в этом отношении к данному термину: затем этот другой термин будет определен через уже установленное отношение и установленное понятие. Момент, в котором это отличается от философского определения, выявляется замечанием, что математическое определение не объясняет термин, о котором идет речь, и что только то, что можно назвать философским прозрением, открывает нам, каков именно термин среди всех существующих. Это связано с тем, что термин
Теэтет. 148Ь.
148 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
определяется через понятие, которое обозначает его однозначно, а не через фактическое упоминание указанного термина»215.
Но, как бы то ни было, в диалогах Платона ясно видно его стремление найти такие дефиниции, с которыми все собеседники смогут согласиться. При этом математические дефиниции служат образцами:
Итак, вперед! Ведь только что ты прекрасно повел нас. Попытайся же и множество знаний выразить в одном определении, подобно тому как, отвечая на вопрос о [несоизмеримых с единицей] сторонах квадрата, ты все их многообразие свел к одному общему виду216.
Образец того, как Платон с помощью дефиниций упорядочивает понятия, мы находим в следующем «упражнении» для студентов из диалога «Политик»:
Все, что мы производим и приобретаем, служит нам либо для созидания чего-либо, либо для защиты от страданий. А из того, что защищает нас от страданий, одни вещи служат противоядиями — божественными и человеческими, другие
— средствами защиты. Из последних же одни — это военное оружие, другие — охранные средства; а из охранных средств одни — это укрытия, другие же — средства защиты от холода и жары. Из этих средств одни — это кровли домов, другие — различные покровы. Из покровов одни — это ковры, другие — накидки. Из накидок же одни — цельные,
Russell. The Principles of Mathematics. P. 27. Ср. также: «Слово "опреде лимость" имеет точный смысл в области математики, хотя этот смысл соотносится с некоторым заданным набором понятий. В каждой системе понятий какой-либо термин может определяться с помощью этих понятий тогда и только тогда, когда он является единственным термином, имеющим к некоторым из этих понятий определенное отношение, которое само по себе является одним из указанных понятий. Но с философской точки зрения слово "определение" не использовалось, как правило, в этом смысле, и было, по сути, сведено к анализу идеи в ее составляющих. Такое применение неудобно и, я думаю, бесполезно...» (Ibid. Р. 111-112).
Теэтет. 148d.
Дефиниции 149
другие состоят из частей. Из этих последних одни — сшитые, другие же связаны и держатся без швов. А из этих несшитых накидок одни делаются из растительных нитей, другие же — из волос. Те, что сделаны из волос, одни скреплены водой и землей, другие же связаны между собой. Так не защитным ли средствам и покровам, созданным путем такого взаимного переплетения, дали мы имя одежды?217
Представим цепь отдельных понятий, необходимых для опреде ления понятия «одежда», в виде схемы:
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
созидание |
защита |
|
|
|
|
|
|
|
|
противоядие | |
средства |
|
|
|
|
|
|
|
|
военные |
охранные |
|
|
|
|
|
|
||
|
укрытия |
| |
защиты |
|
|
|
|
|
|
|
|
кровли |
| |
покровы |
|
|
|
|
|
|
|
|
ковры |
| |
накидки |
|
|
||
|
|
|
| |
цельные |
из частей |
|
|
||
|
|
|
|
|
сшитые |
связанные |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
из нитей |
из волос |
|
|
|
|
|
|
|
|
скреплены |
связанные |
|
217 Политик. 279с-280а.
150 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Найти подходящую «цепь», подходящий «путь», на котором мы получим точную дефиницию218, это, конечно же, особая непростая задача. «Каким образом, — спрашивает Чужеземец в диалоге «Политик», — отыскать путь политика? А ведь нужно его отыскать и, отделив его от других путей, отметить знаком единого вида; все другие ответвляющиеся тропки надо обозначить как другой единый вид, с тем чтобы душа наша мыслила знания в качестве двух видов»219. На этом пути необходимо дойти до самого конца:
Здесь нужно отметить, что существуют различные мнения о том, что такое дефиниция и какую роль дефиниции играют в научном дискурсе. Например, Карл Поппер считал, что не имеет смысла сначала определять употребляемые в дискурсе понятия. «Надо всегда придерживаться утверждений, теорий и их истинности. Никогда не надо ввязываться в
обсуждение словесных вопросов или вопросов о значении, и никогда не надо интересоваться словами... Надо всегда держаться в стороне от обсуждения понятий» (Поппер. Объективное знание. С. 293-294). Сам Платон, вероятно, согласился бы с Поппером. В «Законах» он пишет: «Ни мне, ни вам не подобало бы гоняться за словами... Ведь не ради благообразия или безобразия слов ведем мы это рассуждение сообразно с пониманием большинства людей, но рассуждаем о том, что в законах правильно по природе и что ошибочно» (Законы. 627с). Но даже в том случае, если мы ограничиваем роль языка и используемых терминов, мы все равно высоко оцениваем стремление Платона установить ясный фундамент для плодотворной дискуссии.
Политик. 258с. См. также: 262а-Ь — «Чужеземец: Ты весьма смело и с великим усердием произвел разделение. Но по возможности давай избежим этого в другой раз. — Сократ-мл.: Чего именно? — Чужеземец: Не следует одну маленькую частичку отделять от многих больших, да притом еще без сведения к виду: часть должна вместе с тем быть и видом. Прекрасно, если можно искомое тотчас же отделить от всего остального, коль скоро это сделано правильно, — подобно тому как сейчас, подумав, что здесь необходимо деление, ты подстегнул рассуждение, усмотрев, что оно клонится к людям. Но, милый, дело здесь не в изящных игрушках: это небезопасно, гораздо безопаснее серединный разрез, он скорее приводит к идеям. Это-то и есть главное в исследованиях». При этом Платон советует искать определение не только тщательно, но и «медленно»: «Чужеземец: Стало быть, не будем делить их, как тогда, принимая во внимание всех сразу, и не будем спешить немедленно перейти к государственному