Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

136 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

пустоту, тьму и путаницу и даже, если я не ошибаюсь, — прямые

185

противоречия и нечто невозможное» . Карл Маркс также говорил о ложности и мистифицированности этих методов дифферен­ циального исчисления, которые достигают своих результатов «с помощью фокуса»186.

Критическую точку зрения, показывающую, что проблема Зенона до сих пор так и не решена, поддерживал и Бертран Рассел: «В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одной из наиболее заметных жертв превратного мнения потомков является элейский философ Зенон. Его, изобре­ тателя четырех неизмеримо тонких и глубоких аргументов, грубая

Беркли. Аналитик. 8. С. 402.

«Итак, экспериментальным путем — уже на втором шагу — неизбежно при­ шли к выводу о необходимости отбросить dx2, чтобы получить не только правильный, но вообще какой-нибудь результат. Но, с другой стороны, имели перед собой в Ixdx + dx2 правильное математическое выражение (вторые и третьи члены) бинома (х + dx)2. Что этот математически правиль­ ный результат основывается на столь же математически ложном в самом основании предположении, будто бы х\-х = ах с самого начала есть не что иное, как *I-JC = dx, — этого не знали. Иначе тот же результат был бы получен и предложен математическому миру не с помощью фокуса, а по­ средством алгебраической операции простейшего типа. Итак, сами верили в таинственный характер новооткрытого исчисления, которое давало пра­ вильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециа­ листов и необходимые для прокладывания пути новому» (Маркс. Матема­ тические рукописи. С. 169). Или: «Утешение, за которое крепко держатся некоторые рационализирующие математики, что якобы количественно dy и

dx в действительности являются лишь бесконечно малыми, лишь близко к 0/0, есть химера...» (с. 33). Или «Мистическое дифференциальное исчис­ ление X] = χ + Ах сразу превращается в xj = χ + dx, где dx предпосылается с помощью метафизического разъяснения. Сперва существует, а затем разъясняется» (с. 165). Или же: «Здесь, как и всюду, важно сорвать с науки покров тайны» (с. 193). О «диалектической» интерпретации dx/dy Марксом см.: Там же. С. 289-293.

Проблемы логического мышления 137

манера мышления последующих философов провозгласила не более чем искусным жонглером, а все его аргументы — лишь софизмами. После двух тысяч лет непрерывного отвержения эти софизмы были восстановлены в правах и легли в основу математического возрождения...»1

Похожую идею высказывает Курт фон Фриц: «Хотя они [аргументы Зенона] часто отбрасывались как логическая бессмыс­ лица, было предпринято множество попыток, чтобы избавиться от них с помощью математических теорем, таких как теория сходя­ щихся рядов или теория множеств. Однако в конечном итоге трудности, вытекающие из его аргументов, всегда возвращались с удвоенной силой, поскольку человеческий разум построен таким

образом, что может смотреть на континуум двумя способами,

188

которые не полностью совместимы друг с другом» Д. Гилберт и П. Бернайс обращают внимание на то, что в пара­

доксе Ахилла скрыта еще одна сложность: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако это рассуж­ дение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бес­ конечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе

даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на

189

самом деле все-таки должна завершиться» . В. Хайч подтверждает

Russell. The Principles of Mathematics. P. 352. (См. также P. 328-336 и 340343, где представлены решения Зеноновых парадоксов Расселом).

Fritz К. von. Western philosophy — Ancient Greek and Roman Philosophy — Epistemology of Appearance // Encyclopaedia Britannica.

Гилберт, Бернайс. Основания математики. С. 40. В связи с этим см. также следующую цитату: «Математика — это интеллектуальное приключение, и было бы разочарованием, если бы ее прозрения могли быть оправданы в понятиях или процедурах, которые мы могли бы в полной мере описать. Каково ее отношение к поэзии? Только то, что как математика, так и

13 8 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

это рассуждение с точки зрения марксистско-ленинской фило­ софии: математически можно доказать, что заключение Ахилла

является ошибочным, «но настоящее логическое затруднение таким

190

образом еще не устранено» Платон — в отличие от упомянутых Расселом современных

философов с их «грубой» манерой мышления — хорошо осознавал серьезность элейских, так же как и софистических проблем. И он четко видел суть зеноновских парадоксов, т. е. фундаментальные различия между сферой дискретных чисел и континуумом, между

сферой «покоя» и сферой «движения», и проблему перехода из

191

одной сферы в другую . Здесь скрываются вопросы такого рода:

поэзия представляются отчасти творениями, а отчасти открытием чего-то фундаментального в самих себе и окружающем мире. Элегантность, плодо­ витость и глубина — это важные качества в обеих дисциплинах, а за ними обеими скрывается неполнота и непостижимая странность» (Holcombe. Truth in mathematics. URL: http://www.textetc.com/theory/truth-in-mathematics.html).

190Heitsch. Mathematik und Weltanschauung. S. 296. Другой автор марксистсколенинского направления видит те же проблемы в другом знаменитом парадоксе: «Сложной для философской интерпретации является и апория "покоящаяся стрела", так как основной вывод, который в виде парадокса получается из ее анализа, — "тело и находится в этой точке, и не находится в ней" — вступает как бы в противоречие с формально-логическим законом недопустимости противоречия. Впрочем, как нами уже отмечалось, любой логический парадокс в конце концов не согласуется с упомянутым законом. Потому-то он и является парадоксом, который (в отличие от софизма и паралогизма) не связан с логической ошибкой» (Жуков. Философские основания математики. С. 73). Проблема, очевидно, глубока: невозможно свести непрерывное (изменяемое) к дискретному (устойчивому), как это, кстати, замечал и сам Маркс: «Этот скачок из обыкновенной алгебры, и притом с помощью обыкновенной алгебры, в алгебру переменных принимается за совершившийся факт, он не доказывается и, первым делом, противоречит всем законам обыкновенной алгебры...» (Маркс. Математические рукописи. С. 207).

191См. Парменид. 156c-d: «А когда оно [единое], находясь в движении, останавливается или из покоя переходит в движение, то, полагаю я, оно не должно пребывать ни в каком времени... Прежде покоясь, а затем двигаясь и прежде двигаясь, затем покоясь, оно не будет в состоянии испытывать это, не подвергаясь изменению... Ведь не существует времени, в течение

Проблемы логического мышления 139

как можно представить себе отрезок в виде совокупности точек? Ведь точка имеет «длину», равную 0, и, следовательно, сколько угодно точек никогда не смогут в совокупности составить какойлибо длины — сумма даже бесконечно многих слагаемых, равных О, будет всегда составлять 0. Так же в вопросе о времени: как можно представить себе настоящее «границей» между прошедшим и будущим? Ведь «граница» не имеет времени. Или — как соотносятся между собой мир чисел и геометрия, если в геометрии сторона и диагональ «точно» предстают перед нами в виде конечных отрезков, а в виде чисел они дают нам бесконечную дробь192.

которого что-либо могло бы сразу и не двигаться, и не покоиться... Но оно ведь и не изменяется, не подвергаясь изменению... Так когда же оно изменяется? Ведь и не покоясь, и не двигаясь, и не находясь во времени, оно не изменяется... В таком случае не странно ли то, в чем оно будет находиться в тот момент, когда оно изменяется?... "Вдруг", ибо это "вдруг", видимо, означает нечто такое, начиная с чего происходит изменение в ту или другую сторону». Любопытно привести здесь похожие размышления Ф. Энгельса: «Пока мы рассматриваем вещи как покоящиеся и безжизненные, каждую в отдельности, одну рядом с другой и одну вслед за другой, мы действительно не наталкиваемся ни на какие противоречия в них. Мы находим здесь определенные свойства, которые частью общи, частью различны или даже противоречат друг другу, но в этом последнем случае они распределены между различными вещами и, следовательно, не содержат в себе никакого противоречия. В пределах такого рода рассмо­ трения вещей мы и обходимся обычным, метафизическим способом мыш­ ления. Но совсем иначе обстоит дело, когда мы начинаем рассматривать вещи в их движении, в их изменении, в их жизни, в их взаимном воздействии друг на друга. Здесь мы сразу наталкиваемся на противоречия. Движение само есть противоречие; уже простое механическое переме­ щение может осуществиться лишь в силу того, что тело в один и тот же момент времени находится в данном месте и одновременно — в другом, что оно находится в одном и том же месте и не находится в нем. А постоянное возникновение и одновременное разрешение этого противо­ речия — и есть именно движение» (Энгельс. Анти-Дюринг. С. 123).

См. подробные рассуждения в книге: Jonath. Quantik. В принципе, совре­ менные размышления не очень отличаются от рассуждений древних — это детально видно из работы: Sorabji. Atoms and Time Atoms. P. 37-86; см.

140 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Видя подобные проблемы, Платон искал своего рода предохранитель, дабы «избежать ситуаций, когда считались бы

доказанными самые странные вещи» . А где можно найти его, если не в математике? Благодаря общению со своими друзьями математиками Платон мог видеть, как смутные догадки и мнения превращаются в стройные теории и законы, или, выражаясь другими словами, как «движущаяся волна жизни» сгущается в «кристаллический шар»194 ясных и вечно неизменных идей.

Правда, как мы видели выше, человеческое мышление — не простая вещь, и даже математики сталкиваются с неразрешимыми проблемами . Тем не менее математическая форма мышления с ее тщательным использованием дефиниций, дедукций и доказательств служит необходимым образцом для философов — это реальная форма мудрости, которая «необходимо заставляет правильно действовать и преуспевать»196.

также рассуждения Секста Эмпирика (Против ученых. III—IV). Кажется, что дискретное и континуум — это несовместимые, но взаимодополняю­ щие («комплементарные») аспекты (как корпускулярная и волновая при­ рода света в физике).

Froese N. Pythagoras & Co. — Griechische Mathematik vor Euklid. S. 29.

Tumarkin. Die Methoden der psychologischen Forschung. S. 22. Тумаркин пишет: «Возникает вопрос, являлось бы с самого начала математическое мышление столь привлекательным для человека, не будь он наполнен осознанием зыбкости окружающей действительности и скован ощущением убегающей жизни, которые находили своего рода противовес в неподвижности математической формы. Возникшая из стремления древнего Востока к вечности, возрожденная из духа мистики в начале Нового времени, математика оказывается и для нас неопреодолимо привлекательной, поскольку дает надежду, что благодаря ей "движущаяся волна жизни" может сгуститься в "кристаллический шар"».

Вопрос, до какой степени математика может служить таким «пре­ дохранителем», т. е. гарантом безупречности мышления, и, в частности, до какой степени математический язык может служить образцом для философии, мы обсудим в параграфе 4.4. См. также параграф 4.7, где излагаются более подробно недостатки и преимущества математики.

Евтидем. 280а.