Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

Проблемы логического мышления 131

связанной с проблемой обоснования возможности научного знания вообще. Решение обеих и взял на себя Платон»177.

Но, строго говоря, Платон не смог найти решения — и это не удивительно. Здесь кроются проблемы, которые до сих пор вызывают серьезные дискуссии. Известный философ и логик У. Куайн писал: «В этом и состоит старая платоновская загадка небытия. Небытие должно в каком-то смысле быть. Иначе что это, чего нет? Эту запутанную доктрину можно назвать бородой

Платона, и она исторически доказала свою жесткость, часто

178

притупляя лезвие бритвы Оккама» . Сам Куайн в своем довольно пространном трактате попытался найти более-менее однозначный выход из этой дилеммы, но интересно, что это оказывается практически невозможно без некоторых компромиссов179.

Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 100— 101.

Куайн. С точки зрения логики. С. 22.

Куайн описывает три возможные позиции: номинализм, концептуализм и платонизм. В принципе сам он склонен к номинализму, но при этом хорошо осознает трудности этой позиции, поэтому он не возражает против «смягченного» номинализма: «Номиналист, или тот, кто сохраняет агностицизм в отношении бесконечности сущностей, все еще может, некоторым обходным путем, приспособиться к математике тех, кто вы­ ступает приверженцем бесконечности — концептуалистам или платонистам. Хоть он не может поверить в такую математику, он может сформулировать правила ее выполнения. Но ему хотелось бы также показать, что любая служба, которую классическая математика осущест­ вляет для науки, может в теории, хотя и менее просто, равным образом осуществляться посредством действительно номиналистических методов

— без помощи бессмысленной математики, чей синтаксис просто описы­ вается номиналистически. И здесь номиналист сокращает для себя работу. Здесь он обнаруживает сильнейшее искушение пойти по более легко про­ ходимому пути концептуалиста, который, приняв соответствующим способом значительный кусок классической математики, нуждается только в том, чтобы показать необязательность теории более высоких бесконеч­ ностей и разрядов действительных чисел. Тактически концептуализм, без сомнения, оказывается самой сильной позицией из трех: ибо утомленный номиналист может снизойти до концептуализма и все-таки успокаивать

132 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим, в качестве примера «запутанной» ситуации, знаме­ нитую апорию Ахилла180, которая опирается на представление, что сумма бесконечного количества слагаемых является всегда бесконечной. Это является очевидным, если слагаемые — либо одинаковые, либо возрастающие величины:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = оо

5 +5 +5 + 5 + . . .

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... = оо

Но иногда это справедливо, даже если слагаемые становятся все меньше и меньше:

1 1 1 1 1 1

— + — + — + — + — + — + ... - оо

2 3 4 5 6 7 Поэтому можно легко впасть в соблазн, решив, что это работает и в

случае парадокса Ахилла, где ряд слагаемых выглядит так:

1 1 1 1 1

— + — + — + — + + ... - оо

2 4 8 16 32 Так как сумма этого ряда бесконечна, Ахилл не может догнать

черепаху. Где же здесь ошибка? Сегодняшний математик, считая себя умнее древних греков, уверен, что может легко разрешить этот парадокс — он просто докажет, что

свою пуританскую совесть размышлением, что он еще не вполне разделяет участь лотофагов с платонистом» (Там же. С. 186-187).

Парадокс Ахилла звучит так: древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет определенное расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху!

Проблемы логического мышления 133

На одном из интернет-сайтов мы читаем следующее: «Вплоть до XVII века ученые не могли "перехитрить" черепаху, пока Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц не изложили идею дифференциального исчисления. Люди научились обращаться с бесконечно малыми величинами. Время, за которое Ахилл догонит черепаху, представ­ ляется в виде суммы бесконечного ряда. Каждое следующее слагаемое — время, за которое бегун доберется до очередного "старта" черепахи, становится все меньше и меньше. Основная "хитрость" заключается в том, что такая сумма дает конечный результат — то, что не могли понять древние»181. Бедные древние греки! Они не смогли проникнуть в суть дела... Но, может быть, они лучше нас поняли, что за парадоксами лежат настоящие неразрешимые вопросы? И наш современный математик не решил, а просто закрыл, прикрыл, замазал проблему своими формулами?

(с помощью точек ... изображается бесконечное множество слагае­ мых). Разделив левую и правую сторону уравнения (1) на 2, мы получаем уравнение (2). Получается система А:

(2)1/4 + 1/8 + 1/16+1/32 + ... = S/2

URL: http://mathehelp.ru/201 l/02/paradox-zenon/

Данное доказательство представлено в упрощенной, наглядной форме. Современная математика рассчитывает сумму подобного бесконечного ряда с помощью последовательности частичных сумм и анализа конвер­ генции. Но от этого проблема никуда не исчезает, просто она проявляется в другом месте; см. ниже мнения Беркли, Рассела и фон Фрица. Заинтересованный математик найдет детальное изложение в работе: Spalt. Vom Mythos der mathematischen Vernunft. S. 352-370.

134 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Если мы вычтем уравнение (2) из уравнения (1), результатом будет просто уравнение (2), и это нам ничего не даст. Но у современного математика «сверкает» идея: он сдвигает уравнение (2) на один шаг вправо и получает систему В:

Если из уравнения (1) вычесть уравнение (2'), то получается «чудо»: на левой стороне исчезают все дроби, и в результате мы получаем следующее:

Следовательно: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1, а не оо, что и требовалось доказать.

На первый взгляд все правильно. Однако все не так просто. Правомерен ли сдвиг уравнения (2) на один шаг вправо? Нельзя делать вид, что система В принципиально не отличается от системы А. Если бы уравнение (2) осталось на месте, т. е. если бы не изменилась система А, мы могли бы увидеть, что предлагаемое вычитание происходит по диагонали:

{(2) 1/4 + 1/8 + 1/16+1/32 +... = S/2

Сейчас мы видим, что представленное доказательство «нечестно». В «ложной» системе В, с помощью которой оно было построено, многоточие в уравнении (1) означает — на первый взгляд\ — то же самое, что и многоточие в уравнении (2'), поэтому все дроби исчезают. Но это настоящее «замазывание»: на самом деле, как мы видим в правильной системе А\ многоточие в уравнении (1) означает ряд, начинающийся со слагаемого 1/32, а многоточие в уравнении (2) означает ряд, начинающийся со

Проблемы логического мышления 135

слагаемого 1/64. Поэтому разница этих двух бесконечных рядов всегда будет выше нуля. И вновь перед нами встает парадокс Ахилла, и вновь нам не удается стать умнее древних греков...183

В цитате из Интернета, приведенной нами выше, говорится, что Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц с помощью дифференциального исчисления смогли «перехитрить» черепаху и, следовательно, загадка Зенона разгадана. Но это иллюзия. Уже Джордж Беркли подверг методы Ньютона и Лейбница строгой критике, подробно доказав, что их ход мышления «не будет справедливым или убедительным»184. Такие выражения, как х, х, х, ... {fluxions Ньютона) или dx, ddx, dddx, ... (differentials Лейбница), дейст­ вительно являются ясными и отчетливыми, разум не затрудняется в их восприятии. «Но если мы приподнимем завесу и посмотрим на то, что за ней скрывается, и если, оставив в стороне словесные обороты, мы поставим себе задачу внимательно рассмотреть сами явления, которые, как полагают, должны определяться или обозначаться упомянутыми оборотами, то мы обнаружим огромную

То, что греки ясно видели суть проблемы, подчеркивает Раик: «Греки обошлись без иррациональных чисел, нашли обходный путь. И понятно почему. На пути построения иррациональных чисел греческие математики встретились с непреодолимым для них препятствием. Понятие несоиз­ меримости, иррациональности связано с понятием бесконечности и непрерывности. Для того чтобы избрать путь развития математики через расширения понятия числа, надо было прежде всего справиться с противоречиями, которые заключены в понятиях бесконечности и непрерывности. Греки прекрасно понимали эти трудности» (Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 158). Иногда до сих пор не до конца решенный парадокс — если мне позволено будет привести здесь «математическую шутку» — может оказаться «полезным»; он может служить «оправданием» при невыполненном домашнем задании: «Я смог подойти к моей тетради на бесконечно малое расстояние, но так и не смог до нее дотянуться» (Федин. Математики тоже шутят. С. 209).

Беркли. Аналитик. 13. С. 406. В § 23, например, Беркли покажет, «что итог получается правильным не потому, что отброшенная площадь dy была бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой, противоположной по своему характеру, но равной ошибкой» (Там же. С. 413).