126 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Теперь наша задача такова: доказать равенство площадей прямо угольника 1-3-11-9 (его площадь равна ах-х ) и квадрата 13-2-10-12 (его площадь равна Ь). Для этого проделаем следующие шаги:
(1) Площадь прямоугольника 1-2-8-9 равна площади прямоугольника 3-4-5-6. Из этого следует: (2) площадь фигуры 1-3-6-7-8-9 (такая «многоугольная» фигура называется «гномон») равна площади квадрата 2-4-5-7. Далее: из того, что отрезок 10-3, как и отрезок 4-5, равен я/2, следует: (3) площадь квадрата под отрезком 10-3 равна площади квадрата 2-4-5-7. Из (2) и (3) следует: (4) площадь квадрата под отрезком 10-3 равна площади гномона 1-3-6-7-8-9. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник 2-3-10. Согласно теореме Пифагора, получается: (5) площадь квадрата, построенного на катете 2-10, равна квадрату, построенному на гипотенузе 10-3, минус площадь квадрата, построенного на катете 2-3. Дальше: (6) площадь квадрата, построенного на катете 2-3, равна площади квадрата 8-11-6-7. Из (5) и (6) следует: (7) площадь квадрата, построенного на катете 2-10, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе 10-3, минус площадь квадрата 8-11-6-7. Из (7) и (4) следует (8) площадь квадрата, построенного на катете 2-10, равна площади гномона 1-3- 6-7-8-9 минус площадь квадрата 8-11-6-7. Но гномон 1-3-6-7-8-9 минус ква драт 8-11-6-7 — это прямоугольник 1-3-11-9. Поэтому: (8') площадь квадра та, построенного на катете 2-10, равна площади прямоугольника 1-3-11-9. А в нашей конструкции мы выбрали отрезок 1-4 равный я, и отрезок 2-10 равный
А если мы обозначаем отрезок 3-4 величиной х, мы получаем для площади прямоугольника 1-3-11-9 выражение (α-χ)·χ, и для площади квадрата 13—2— 10-12 выражение (^Ь)2 = Ъ. А мы доказали геометрически, что площади прямоугольника 1-3-11-9 и квадрата 13-2-10-12 равны, поэтому получается алгебраическое уравнение (а - х) · χ = b, или χ - αχ + b = 0.
Такие геометрические конструкции являлись единственным способом решения многих задач до эпохи Средневековья, так как еще не существовало нашего представления о вещественных числах. Об этом пишет Мордухай-Болтовской: «Заслугой Декарта иногда считают арифметизацию геометрии, приведение геометрических операций к действиям над числами. Но это неверно. Это было бы возможно только в том случае, если бы Декарт представлял себе взаимно-однозначное соответствие между
Проблемы логического мышления 127
числами и геометрическими величинами, т. е. если бы он имел в своем распоряжении иррациональные числа, хотя бы не строго обоснованные, но принятые на веру. Но в это время этого не было, да и не могло быть» . Декарт использует буквы, но мыслит их не
как числа, а как отрезки. Например, величину χ « — он строит геометрически (рисунок приводит Мордухай-Болтовской):
Этот пример еще раз показывает нам разницу между нашими и древнегреческими математическими представлениями и методами.
В параграфах 2.10 и 2.11 мы рассмотрим две математические области с целью показать, как Платон, всегда стремившийся избегать сомнительных соображений, пытался создать методологию правильного научного мышления и какие средства он предлагал для достижения этой цели. Чтобы понять важность этого стремления, мы предварительно остановимся на проблемах логического мышления — как на элейских апориях1 , так и на «софистических
Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 375.
См., напр.: Парменид 127d—128а — «Прослушав все, Сократ попросил прочесть снова первое положение первого рассуждения и после прочтения его сказал: — Как это ты говоришь, Зенон? Если существует многое, то оно должно быть подобным и неподобным, а это, очевидно, невозможно, потому что и неподобное не может быть подобным, и подобное —
128 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
подвохах» . Платон стремился избегать и того и другого , но для этого он должен был обратиться к логическим проблемам, постав ленным элейцем Зеноном и софистом Протагором.
Платон иногда говорил о софистах иронически и язвительно170, но хорошо понимал, что этого недостаточно для научного спора. Ведь зачастую было трудно или даже невозможно точно определить
неподобным. Не так ли ты говоришь? — Так, — ответил Зенон. — Значит, если невозможно неподобному быть подобным и подобному — неподобным, то невозможно и существование многого, ибо если бы многое существовало, то оно испытывало бы нечто невозможное? Это хочешь ты сказать своими рассуждениями? Хочешь утверждать вопреки общему мнению, что многое не существует? И каждое из своих рассуждений ты считаешь доказательством этого, так что сколько ты написал рассуждений, столько, по-твоему, представляешь и доказательств того, что многое не существует? Так ли ты говоришь, или я тебя неправильно понимаю? — Нет, — сказал Зенон, — ты хорошо схватил смысл сочинения в целом».
Теэтет. 154d. Софизм — это ложное умозаключение, которое тем не менее при поверхностном рассмотрении кажется правильным. В отличие от этого, апория — это аргумент, который не содержит логической ошибки (по крайней мере, легко обнаруживаемой), но приводит к парадоксальному выводу.
В реальности не всегда легко определить разницу между софизмом и апорией. Парадокс Ахилла, например, носит в себе черты и софизма, и апории. Вспомним, что однажды платоновский Сократ представил Зенона настоящим софистом: «В самом деле, он написал примерно то же, что и ты, но с помощью переделок старается ввести нас в заблуждение» (Парменид. 128а).
«Если бы мы... были великими мудрецами, изведавшими все глубины сердца, и нам от избытка премудрости оставалось бы только ловить друг друга на софистических подвохах, то... мы могли бы отражать одно рас суждение другим» (Теэтет. 154d); «Не дай бог, чтобы кто-нибудь из моих родных, домашних или друзей, здешних или иноземных, настолько сошел с ума, чтобы идти к ним себе на погибель. Ведь софисты — это очевидная гибель и порча для тех, кто с ними водится» (Менон. 91с); «Между тем, кто так говорит, они-то и являются величайшими софистами, в совершенстве умеющими перевоспитывать и переделывать людей на свой лад — юношей и стариков, мужчин и женщин» (Государство. 492а); «...искусный чародей, колдун и софист» (Пир. 203d); «Софист оказался у нас обладателем какогото мнимого знания обо всем, а не истинного» (Софист. 233с).
Проблемы логического мышления 129
ошибку в их аргументации171. Что же касается апорий Зенона172, то Платон прекрасно видел всю их сложность и парадоксальность. Неудивительно, что еще молодой Сократ в диалоге «Парменид» восклицает:
Клянусь Зевсом, определить это мне представляется делом совсем не легким173.
Но и сам Парменид и уже опытный Зенон признают трудность некоторых вопросов, как мы видим из следующего разговора:
Тяжкое бремя возлагаешь ты, Сократ, на старика, ответил Парменид... Будем, Сократ, [сказал Зенон] просить самого
«Ведь в действительности то, о чем зашла теперь речь, не так просто, как, может быть, понадеется кто-то, судя по вопросу, но нуждается в длинном рассуждении» (Софист. 217е); «Видишь, как справедливо говорят, что зверь этот [софист. — В. 3.] пестр и что, по пословице, его нельзя поймать одной рукой» (Софист. 226а); «Человек этот поистине удивителен, и его весьма затруднительно наблюдать; он и в настоящее время очень ловко и хитро укрылся в трудный для исследования вид» (Софист. 236d); «Вполне справедливо, чужеземец, было вначале сказано о софисте, что род этот неуловим» (Софист. 261а). См. также рассуждения Платона в «Теэтете» (152-155), в частности, о мысли Протагора, «что ничто не существует само по себе как одно» (Теэтет. 153е). После нескольких попыток проникнуть в суть дела Сократ характеризует каверзное положение следующим образом: «Вот эти три допущения и сталкиваются друг с другом в нашей душе, когда мы толкуем об игральных костях или когда говорим, что я в своем возрасте, когда уже не растут ни вверх, ни вниз, в какой-то год то был выше тебя, то вскоре стал ниже, причем от моего роста ничего не убавилось, просто ты вырос. Ведь получается, что я стал позже тем, чем не был раньше, пропустив становление. А поскольку нельзя стать не становясь, то, не потеряв ничего от своего роста, я не смог бы стать меньше. И с тысячью тысяч прочих вещей дело обстоит так же, коль скоро мы примем эти допущения» (155Ь—с).
См.: Diels. Vorsokratiker, Zenon В 1-2. См. также интерпретацию Уоллеса Мэтсона, согласно которой Зенон «не претендовал на доказательство невозможности движения, а скорее демонстрировал, что оппоненты Парменида оказываются в глупом положении, когда их логично подводят к отрицанию движения» (Matson. Zeno moves! P. 88).
Парменид. 131e.
130 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Парменида: не так-то просто то, о чем он говорит. Разве ты не видишь, какую задачу задаешь?., ведь большинство не понимает, что без всестороннего и обстоятельного разыс кания и даже заблуждения невозможно уразуметь истину174.
Диалог «Парменид», прекрасно показывающий проблематич
ность логического мышления, завершается следующим высказы-
175
ванием, которое напоминает некую «замысловатую игру» Выскажем же... что существует ли единое или не существует, и оно и иное, как оказывается, по отношению к
самим себе и друг к другу безусловно суть и не суть, кажутся
176
и не кажутся На серьезность зеноновских вопросов и их влияние на Платона
указывала и П. Гайденко: «Зенон Элейский впервые логически проанализировал проблему единого и многого, тем самым поставив в центр внимания проблему бесконечности, имеющую огромное значение не только для логики и философии, но и для математики...
Проблема обоснования математики теперь оказывалась тесно
174Парменид. 136d-e.
175Там же. 137Ь.
176Там же. 166с. См. также высказывание В. Ф. Асмуса: «По учению, развиваемому в "Пармениде", бытие, поскольку оно рассматривается само по себе, едино, вечно, тождественно, неизменно, неподвижно, без действенно и не подлежит страданию. Напротив, то же самое бытие, поскольку оно рассматривается через свое иное, множественно, возникает, содержит в себе различия, изменчиво, подвижно и подлежит страданию. Поэтому, согласно полному определению своей сущности, бытие одновременно и едино и множественно, и вечно и преходяще, и неизменно и изменчиво, и покоится и не покоится, и движется и не движется, и действует и не действует, и страдает и не страдает. В каждой паре этих определений все вторые определения высказываются как определения иного. Но так как иное есть иное по отношению к бытию, или, другими словами, иное бытия, то все эти определения оказываются определениями также и самого бытия. Итак, бытие как по самой своей природе (онтологически), так и по своему понятию (гносеологически и логически) заключает в себе противоположные определения» (Асмус. Платон. С. 86).