116 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
был первым, кто засвидетельствовал этот факт. Сам Платон уже не удивлялся этому, но знал, что многим такие соотношения неиз вестны и непонятны, что показывает разговор между Афинянином и Клинием:
Ты знаешь, что такое длина? — Да. — А ширина? — Конечно, знаю. — А также и то, что это составляет два [измерения], третьим же [измерением] будет глубина? — Разумеется, так. — Не кажется ли тебе, что все это соизмеримо между собой? — Да. — А именно что по самой природе возможно измерять длину длиной, ширину — шириной и точно так же и глубину? — Вполне. — А если бы оказалось, что это возможно лишь отчасти, поскольку коечто несоизмеримо ни полностью, ни чуть-чуть, ты же считаешь все соизмеримым, — в какое положение, потвоему, ты бы попал? — Ясно, что в незавидное15 .
В «Теэтете» мы находим следующее описание, которое доказывает осведомленность Платона в этой области:
Всякий отрезок, который при построении на нем квадрата дает площадь, выраженную равносторонним числом, мы наз-
вателями, либо считается совершенно неправильным (как в работах Tarrant D., 1928; Woodruff, 1982). Тем не менее, оно верно, на что указал мне Франц фон Кучера. Сумма двух нерациональных чисел может быть рацио нальной, как утверждает этот текст; например, сумма чисел V2 и 2-V2 рациональна, а именно равна 2» (Heitsch. Platon — Grösserer Hippias. S. 101. Примеч. 162). Платон мог бы представить выражение 2-V2 геоме трически: отрезок длиной 2 минус диагональ квадрата со стороной равной
1.Но есть и более интересные примеры, такие как следующий: пусть
а= 0,101001000100001... (каждый раз перед 1 пусть будет на один ноль больше) и Ъ = 0,0101101110111... (каждый раз после 0 пусть будет на одну
1больше), оба бесконечные непериодические десятичные дроби, т. е. иррациональные числа, при этом их сумма а + Ъ = 0,111111111... = 0,( 1 ) = 1/9 — т. е. рациональное число.
Законы. 819е-820Ь. См. также: 820с — «Это причины, по которым, согласно природе, возникает соизмеримость и несоизмеримость. Необходимо иметь их в виду и различать, иначе человек будет совсем никчемным».
Иррациональные отношения 117
вали длиной, а всякий отрезок, который дает разностороннее продолговатое число, мы назвали [несоизмеримой с единицей] стороной квадрата, потому что такие отрезки соизмеримы первым не по длине, а лишь по площадям, которые они образуют. То же и для объемных тел153.
В «Филебе» (16с-18с) Платон приводит замечательные рассуж дения, тесно связанные с проблемой существования чисел, которые не могут быть записаны полностью. Они, по мнению Платона, содержат некоторую «опасность»:
Беспредельное множество отдельных вещей и [свойств], содержащихся в них, неизбежно делает также беспредельной и бессмысленной твою мысль, лишает ее числа, вследствие чего ты никогда ни в чем не обращаешь внимания ни на какое число
Одна из проблем, например, состоит в том, что ряд натуральных чисел, начиная с единицы155, содержит в себе, с одной стороны, конечное, ограниченное множество, но, с другой — множество беспредельное, ничем не ограниченное. Оба «конца» совпадают друг с другом диалектически, как «сросшиеся воедино предел и беспредельность» 6. Но оказывается, что между единством и
Теэтет. 148а. Ср. со словами Евы Сакс: «Платон знает и цитирует в "Государстве" (VII, 534d) и "Теэтете" (148а) учение Теэтета об άλογοι γραμμαί. Но, согласно Евклиду (Def. X 1,4), άλογος — это прямая, квадрат которой не рационален; этот факт показывает, что Платон знал и другие геометрические площади (έτερα τίνα ευθύγραμμα), которые были нерацио нальны» (Sachs. Die fünf platonischen Körper. S. 172).
Филеб. 17e.
Таково и наше представление. Для греков первым числом было «три» — см. подробное описание в работе: Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 102-118.
Филеб. 16с. Об этом совпадении в примеч. 26 к диалогу «Парменид» пишет А. Тахо-Годи: «Идея единства этих двух, как будто бы столь различных, категорий бытия всегда была близка античности» (Платон. Собр. соч. в 4-х томах. Т. 2. С. 509).
118 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
беспредельным имеется что-то еще, то, что должно, по мнению Платона, обязательно исследоваться и упорядочиваться:
Теперешние мудрецы устанавливают единство как придется
— то раньше, то позже, чем следует, и сразу после единства помещают беспредельное; промежуточное же от них ускользает157.
Платон прямо не поясняет, что же это такое — «промежу точное», которое легко ускользает от нашего внимания. Вот что он говорит по этому поводу в «Филебе»:
Все, о чем говорится как о вечно сущем, состоит из единства и множества и заключает в себе сросшиеся воедино предел и беспредельность. Если все это так устроено, то мы всякий раз должны вести исследование, полагая одну идею для всего, и эту идею мы там найдем. Когда же мы ее схватим, нужно смотреть, нет ли кроме одной еще двух, а может быть, трех идей или какого-то иного их числа, и затем с каждым из этих единств поступать таким же образом до тех пор, пока первоначальное единство не предстанет взору не просто как единое, многое и беспредельное, но как количественно определенное. Идею же беспредельного можно прилагать ко множеству лишь после того, как будет охвачено взором все его число, заключенное между беспредельным и одним; только тогда каждому единству из всего [ряда] можно дозволить войти в беспредельное и раствориться в нем. Так вот каким образом боги, сказал я, завещали нам исследовать все вещи, изучать их и поучать друг друга158.
В диалоге «Парменид» мы также находим рассуждения, показы вающие, что у Платона были некоторые догадки о том, что сущест вуют не только «единица» и «бесконечное» как экстремальные
Филеб. 1 бе-17а. Филеб. 16с-е.
Иррациональные отношения 119
пункты, но и целый мир разных множеств . Поэтому Платон ставит задачу привести в порядок хаос беспредельного, т. е. определить иррациональность конструктивно160 и классифицировать ее161. В
Ср., напр.: Парменид. 158с—d — «Итак, если постоянно рассматривать таким образом иную природу идеи саму по себе, то, сколько бы ни сосредоточивать на ней внимание, она всегда окажется количественно беспредельной. — Безусловно, так. — С другой же стороны, части, поскольку каждая из них стала частью, обладают уже пределом как друг по отношению к другу, так и по отношению к целому и целое обладает пределом по отношению к частям. — Несомненно. — Итак, другое в отношении единого, как оказывается, таково, что если сочетать его с единым, то в нем возникает нечто иное, что и создает им предел в отношении друг друга, тогда как природа другого сама по себе — беспредельность». О рассуждениях Феодора («Теэтет») о различных нерациональных отношениях см. также параграф 2.9 наст. изд.
Примером простой, наглядной конструкции, известной древним матема тикам, является Золотое сечение. Оно делит непрерывную величину S на две части в таком отношении, при котором меньшая часть Т2 так относится к большей Г/, как большая Г/ ко всей величине 5, то есть Tj : S = Т2 : Tj. Если мы возьмем Tj как новую величину, а Т2 как большую и Т3 как меньшую части, то Золотое сечение выглядит так: Т2 : Tj = Т3 : Т2 , и следовательно, мы получим Т3 : Т2 = Т2 : Г/ = Tj : 5, то есть, если продолжить процесс тем же способом, то значение дробей Тп+] : Тп неизменно соответствует иррациональному числу 1,6180339887... в совре менных обозначениях.
Древние греки рассматривали иррациональные соотношения только геоме трически. Они не считали «дроби» числами, и тем более не могли представить, что существуют иррациональные числа. «Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной» — это они доказали, но не выражали отношение «диагональ : сторона» числом, как делаем это мы с помощью знака «V2». Поэтому о том, что мы назвали «занялись классификацией иррациональности в геометрии», правильней было бы сказать: «занялись классификацией разных степеней несоизмеримости в геометрии». То, что древние греки уже начали это классифицирование, подчеркивает О. Беккер: они в какой-то степени различали ступени и виды формирования иррациональных отношений в том смысле, что формулировки этих отно шений становились все более сложными и «не до конца произносимыми» (Becker. Mathematische Existenz. S. 578). X книга «Начал» Евклида в осо бенной степени показывает стремление конструировать и классифициро вать иррациональное. Такая классификация имела ценность для Платона
120 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
соответствии с этим требованием греческие математики, прежде всего Теэтет и Евдокс, занялись классификацией иррациональности в геометрии162, правда ограничиваясь конструкциями, которые могли быть построены с помощью «идеальных» циркуля и линейки (см. параграф 2.3).
Добавим несколько слов о геометрической форме математики, чтобы получить какое-то представление о том, как во времена Платона греки — да и сам Платон — ею занимались. Их геометрическое воображение было поразительным, но у них не было наших алгебраических возможностей. Кольман пишет об этом так: «Открытие несоизмеримости, невозможность выразить отно шение любых двух целых чисел привели к тому, что греки стали употреблять не арифметические, а геометрические отношения для выражения общих отношений между величинами. У них создалась своеобразная "геометрическая алгебра". Именно по этой причине, а вовсе не из-за особого предрасположения "греческого духа" к
потому, что «она выявляет способ бытия этих величин в градации, в кото рой они шаг за шагом удаляются от рациональных пропорций, которые можно выразить понятными грекам числами (αριθμοί)» (Ibid. S. 576).
См. короткое изложение у Кольмана: «Ученик Теодора из Кирены, Теэтет Афинский (около 414-369 гг. до н. э.) внес два важных вклада в математику, вошедшие позже в "Начала" Евклида. Во-первых, он дал классификацию иррациональностей. Кроме отрезков, соизмеримых и несоизмеримых Уд, вводится так называемая медиаль (в нашем обозначении -J^Tfb , где а и Ъ — соизмеримы), далее биномиаль Vä+Vfr ,
первая бимедиаль |
VVäVfc + -JeWd , |
где произведение |
-J-J^-Jb · -Je 4d — |
||
рационально, и |
вторая бимедиаль |
-J-Jä-Jb + -Jc-yfd , |
где произведение |
||
VVâVfc · л[с -yfd |
— |
иррационально, |
но |
имеет вид У7. Эти шесть видов |
|
величин образуют первую гексаду, в |
которой произведение квадратов |
||||
обеих слагаемых, |
образующих данную величину, всегда рационально. |
||||
Вторая гексада иррациональности отличается от первой тем, что упомянутое только что произведение иррационально. Третья и четвертая гексады аналогичны предыдущим двум, отличаясь от них лишь тем, что место сложения занимает вычитание; величина вида -Ja--JE (в нашем написании) называется вычет» (Кольман. История математики в древ ности. С. 112). Подробное изложение см. в работе: Раик. Очерки по исто рии математики в древности. С. 157-165.