Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

106 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Но это далеко не все, что следует сказать о числах. Необходимо вспомнить, что для греков каждое число содержало в себе не только количественные, но и «качественные» свойства. В пифагорейской традиции «числовое богословие» играло особенно важную роль. А. И. Щетников пишет об этом так: «Формирование числового богословия как особого жанра происходит в среде пифагорейцев. Великие математические открытия Пифагора и его последователей связаны с учением о числовых рядах и числовой природе музыкаль­ ной гармонии. Интерес пифагорейцев к природе — это интерес к неизменному и вечно сущему, проявляющему себя в изменчивом мире. Мы сегодня называем это неизменное и вечно сущее зако­ нами природы, пифагорейцы же говорили о разных его сторонах как о божествах. Но боги — это не то же самое, что законы природы: ведь к божеству человек может стремиться, а к законам природы — вряд ли. Первооснову пифагорейского учения как раз и составляло стремление к правильной настройке человеческой души на божест­ венный космический лад; и созерцание чисел и числовой структуры космоса было одной из существенных составляющих этой настройки» . В связи с этим неудивительно, что пифагорейцы детально изучили свойства чисел, особенно чисел до десяти. Приведем один пример: Филон Александрийский знал, что седьмое число во всякой геометрической прогрессии, идущей от единицы, является и квадратом, и кубом129. Сегодня мы легко можем это доказать: любая геометрическая прогрессия, идущая от единицы, пишется как 1, я, а2, а3, а4, а, я6, и седьмой член а является и квадратом, и кубом:

Но без наших алгебраических познаний совершить такие открытия можно лишь путем тщательного интеллектуального созерцания.

Афонасин, Афонасина, Щетников. Пифагорейская традиция. С. 628. Эта подборка содержит некоторые тексты, представляющие такое «числовое богословие», в русском переводе.

Там же. С. 633.

Дроби 107

Значение чисел и отношения между ними также играют немалую роль в платоновской философии130. Как Платон использо­ вал их для описания философских или нравственных проблем, мы обсудим в параграфе 3.1.

2.7. Дроби

Мало что зная об учении о рациональных числах, «мы можем толь­ ко с уверенностью утверждать, что такое учение существовало»1 . Ясно лишь то, что чистая математика во времена Платона допускала

существование только целых чисел, а дроби в качестве чисел не

132

рассматривались . Вместо дробей греки использовали отношения между целыми числами. Это менее удобно, но при этом впечатляет, «с какой удивительной строгостью, общностью и глубоким пони­ манием существа проблемы была построена древними первая тео­ рия пар и введен закон композиции для этих новых объектов»

О смысле и значении чисел в платоновской философии см.: Radke. Die Theorie der Zahl im Piatonismus. На с 430 мы читаем: «"Необычное" для нас представление о "числе" — необычное в том отношении, что оно обшир­ нее, чем наше стандартное представление, ограничивающееся количест­ венным и абстрактно вычислительным свойствами и далекое от того, чтобы обладать функцей учреждения своих принципов, — которое обосно­ вывается в платонизме, может стать понятнее через анализ обычно используемых нами понятий. Ведь в итоге он покажет, что знакомые нам понятия о "числе" вовсе не могут мыслиться как нечто определенное, без того чтобы предполагалось это определенное первоначальное понятие числа и учреждающие его понятия. В ходе такого анализа становится ясно, почему в сущности необходимо, наряду с абстрактными понятиями о числах, с помощью которых мы считаем, предположить кроме того (необычное для нас) всеобъемлющее понятие числа».

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. С. 70.

Подробное изложение см. в работе: Fowler. The Mathematics of Plato's Aca­ demy. P. 222-276. Фаулер утверждает, что «у нас нет никаких надежных свидетельств того, что греки использовали обыкновенные дроби или имели представление о них» (Р. 263).

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. С. 72.

108СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Вчастности, Платон объяснял, почему единицу следует брать только как целое. Это важно не только из-за ее главенствующего положения в пифагорейской мистической нумерологии, но и по следующей причине: при делении единицы мы получаем несколько частей, т. е. множество, большее единицы, что является бес­ смысленным:

Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они снова умножат части,

боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими

134

долями одного Греческим математикам было, конечно же, известно, что

торговые агенты и архитекторы использовали дроби без каких-либо проблем135, но сами они не хотели задействовать столь «низкий» инструмент. Ван дер Варден пишет об этом так: «До Архимеда дроби вообще не входили в официальную греческую науку. Но это объясняется не тем, что их не знали, а скорее тем, что их не хотели знать... Дробями пренебрегали и предоставляли их купцам...» Мордухай-Болтовской поддерживает это мнение, ссылаясь на

134 Государство. 525е. Здесь можно привести слова Юлиуса Штенцеля, который, ссылаясь на мнение Генриха Шольца, писал: «В то время, как для профана b = 3Аа, для серьезного математика это выглядит, как 5Ь = За. Шольц, ссылаясь на схолию к диалогу «Хармид»... делает вывод... что древние греки знали исчисление в дробях, например египетское, но намеренно "оставляли за дверью" все арифметические действия, связанные с дробями. Пропорция (logos) делает для греческой арифметики дробь ненужной, в то время как для египтян дробь явилась... новым типом числа, который они использовали наряду с целым числом» (Stenzel. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. S. 148. Примеч. 2).

Уже древние египетские математики использовали дроби и умели их складывать, вычитать, умножать и делить, правда, только на «эмпири­ ческом» уровне. Вавилонские математики также использовали дроби в своей шестидесятеричной системе. См. удивительные примеры в книге: Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 5-146.

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 68-69.

Дроби 109

определение 3 в книге VII «Начал» Евклида: «Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее». Он ком­

ментирует это определение следующим образом: «В подлиннике

137

καταμετρή — "измеряет", но ни в коем случае не "делит"» Штенцель, однако, не был столь категоричен: «Если поставить вопрос, разработали ли греки методы исчисления с дробями, то факты свидетельствуют против однозначного ответа, положитель­ ного или отрицательного». Он указывает на определение 4 в VII книге Евклида: «Части же, если оно его не измеряет...», где

множественное число слова «части» означает такие дроби, как 23,

138

34, 45 и т. д. В общем, Штенцель говорит об «особенном отношении к дробям»1 у греков, но при этом он согласен, что дроби не находились в центре внимания, так как пропорции сделали «разрушение» единицы ненужным. И действительно, чаще всего вместо дробей математики пользовались пропорциями, в которых были задействованы только целые числа

Добавим к сказанному слова Фаулера на этот счет: древние греки не использовали дроби, так как «они не думали о соот­ ношениях, подобных нашим рациональным числам, и потому не

Примечание Мордухай-Болтовского (Евклид. Начала. Кн. VII-X. С. 9). Stenzel. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. S. 28.

Ibid. S. 33. M. Выгодский также констатирует, «что греки имели не один, а целых три способа канонического представления дробей. Один из них — это наш способ образования "обыкновенных" дробей. Ему соответствует в греческом языке способ словесного выражения, вполне аналогичный существующему в русском языке: мы выражаем, например, дробь 7/60 словами "семь шестидесятых" (частей)... Точно так же образуется соответствующее греческое название той же дроби επτά έξέκοσται (μέρη). Письменное выражение обыкновенных дробей совершалось у древних греков различными способами» (Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире. С. 276).

Античная арифметика не имела способа описания всех соотношений вели­ чин, конструируемых в геометрии. Для решения этой проблемы Евдокс создает довольно глубоко разработанную теорию пропорций, которая сохранилась в книге V «Начал» Евклида.