Числа и числовые соотношения 101
Аристотелю, Платон признавал идеальными только числа от одного
120
до десяти 3) Математические числа — αριθμός μαθηματικός. Они вечны и
неизменны, как и идеальные числа, но их много. Например, есть много «троек», поэтому мы можем написать равенство «3 + 3 = 6», в котором присутствуют сразу две тройки.
У Платона мы, конечно же, не находим настоящей теории чисел, но есть довольно интересные фрагменты. Приведем не которые примеры:
Довольно часто Платон обсуждает и использует в своих рассуж дениях существование двух родов чисел: чета и нечета . В диалоге
Аристотель. Физика III. 6, 206Ь32. Число 10 имело у пифагорейцев особен ный статус: «Пифагор назвал десятку священной четверицей, в себе самой "имеющей источник и корни вечной природы". Из этого числа получили начало все числа. Действительно, одиннадцать, двенадцать и остальные числа началом своего существования сопричастны десятке. Сама же десятка составляется из единицы, двух, трех и четырех: 1 +2 + 3 + 4 = 10. Десять заключает столько четных чисел (2, 4, 6, 8) сколько и нечетных (3, 5, 7, 9), столько составных (4, 6, 8, 9), сколько и простых (2, 3, 5, 7)» (Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 153).
Хармид. 166Ь: «Но разве при этом чет и нечет не являются чем-то отличным от самого искусства счета?»; Евтифрон. 12с: «Стыд ведь есть как бы часть страха, подобно тому как нечетное есть часть числа, однако дело обстоит не так, чтобы там, где было число, было и нечетное; наоборот, где нечетное, там и число»; Парменид. 160а: «Оно было бы причастно и одному, и двум, и трем, и нечетному, и четному...»; Парменид. 164е: «И одно в них покажется четным, другое нечетным, но это противно истине, поскольку единого не существует»; Горгий. 451с: «Искусство счета одинаково с арифметикой: ведь оно обращено на то же самое, на четные и нечетные числа»; Теэтет. 190Ь: «Даже и во сне ты не отваживался себе сказать, что нечетное на самом деле есть четное»; Теэтет. 198а: «Предположи, что арифметика — это охота за всевозможными знаниями четного и нечетного»; Федон. 103е—105а: «Нечетное всегда должно носить то имя, каким я его теперь обозначаю, или не всегда?.. Но одно ли оно из всего существующего — вот что я хочу спросить, — или же есть еще что-нибудь: хоть оно и не то же самое, что нечетное, все-таки кроме своего особого имени должно всегда называться нечетным, ибо по
102 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
«Политик», например, он сравнивает бессмысленное разделение человеческого рода на две части с бессмысленным разделением чисел:
природе своей неотделимо от нечетного? То, о чем я говорю, видно на многих примерах, и, в частности, на примере тройки. Поразмысли-ка над числом "три". Не кажется ли тебе, что его всегда надо обозначать и своим названием, и названием нечетного, хотя нечетное и не совпадает с тройкой? Но такова уж природа и тройки, и пятерки, и вообще половины всех чисел, что каждое из них всегда нечетно и все же ни одно полностью с нечетным не совпадает. Соответственно два, четыре и весь другой ряд чисел всегда четны, хотя полностью с четным ни одно из них не совпадает...»; Федон. 105d: «Что же выходит? Как мы сейчас назвали то, что не принимает идеи четного? — Нечетным»; Федон. 106Ь: «Если бессмертное неуничтожимо, душа не может погибнуть, когда к ней приблизится смерть: ведь из всего сказанного следует, что она не примет смерти и не будет мертвой! Точно так же, как не будет четным ни три, ни [само] нечетное»; Федон. 106с: «И мы не были бы вправе решительно настаивать, что нечетное не погибнет, — ведь нечетное не обладает неуничтожимостью. Зато если бы было признано, что оно неуничтожимо, мы без труда отстаивали бы свой взгляд, что под натиском четного нечетное и три спасаются бегством. То же самое мы могли бы решительно утверждать об огне и горячем, а равно и обо всем остальном»; Гиппий Больший. 302а: «Итак, если каждый из нас один, то, пожалуй, он будет также нечетным; или ты не считаешь единицу нечетным числом? — Считаю. — Значит, и оба вместе мы нечет, хотя нас и двое? — Не может этого быть, Сократ. — Тогда мы оба вместе чет. Не так ли? — Конечно. — Но ведь из-за того, что мы оба вместе — чет, не будет же четом и каждый из нас? — Нет, конечно»; Гиппий Больший. 303b: «И что же мешает, чтобы из двух величин, составляющих вместе четное число, каждая в отдельности была бы то нечетной, то четной»; Государство. 510с: «Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде»; Законы. 717а-Ь: «Благочестивой цели, скажем мы, вернее всего достигнет тот, кто прежде всего вслед за почитанием олимпийских богов и богов — охранителей государства будет уделять подземным богам все четное, вторичное и левое, высшие же почести, противоположные перечисленным, следует уделять тем богам, которые были названы первыми»; Законы 818с: «Многого недостает человеку, чтобы стать божественным, если он не может распознать, что такое единица, два, три и вообще, что такое четное и нечетное».
Числа и числовые соотношения 103
...разделить число на два вида и, выделив из всех чисел десять тысяч, представил бы это число как один вид, а всему остальному дал бы одно имя и считал бы из-за этого проз вища, что это единый вид, отличный от того, первого. Ведь гораздо лучше и более сообразно с двуделением по видам было бы, если бы разделили числа на четные и нечетные, род же человеческий — на мужской и женский пол122.
В «Пармениде» (143) Платон докажет — хотя для Ведберга это «довольно смутный набросок»123, — что ряд чисел простирается до бесконечности. Дедукция Платона выглядит так:
1.Существует «бытие» и «единое».
2.Значит, существует две вещи, т. е. существует «два».
3.«Два» состоит из двух отдельных членов.
4.При сложении единицы с этими двумя членами получается три.
5.Три — нечетное число, а два — четное.
6.Когда есть два, то есть «дважды», а когда есть три — «трижды» (коль скоро в двух содержится дважды один, а в трех трижды один).
7.А когда есть два и дважды, то есть и «дважды два». И когда есть три и трижды, то есть и «трижды три».
8.Когда есть три и дважды, а также два и трижды, то есть «дважды три» и «трижды два».
9.Следовательно, есть произведения четных чисел на четные, нечетных на нечетные, а также четных на нечетные н нечетных на четные.
10.А если это так, то не остается какого-либа числа, существование которого не необходимо.
11.Следовательно, если существует одно, то необходимо, чтобы существовало и число.
12.А при существовании числа должно быть многое и бесконечная множественность существующего.
Политик. 262d-e.
Wedberg. Plato's Philosophy of Mathematics. P. 23.
104 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Из этой дедукции Платон сделал вывод, что «число оказывается бесконечным по количеству и причастным бытию», т. е. получив шаяся в результате конструкция производит числа, четные и не четные, и данный процесс не имеет предела1 .
В «Пармениде» (154Ь) Платон приводит следующее уравнение: «Равные величины, будучи прибавлены к неравным, всегда остав ляют их различающимися настолько, насколько они различались с самого начала», — сегодня мы бы записали это уравнение в такой форме:
\a-b\ = |(я + л)-(Ь + л)|
В «Пармениде» ( 161 d) есть и следующее утверждение: «Что обладает великостью и малостью, то обладает и равенством, находящимся между ними», т. е. между двумя числами существуют три возможных вида отношений:
а<Ъ а = Ъ а> b
А в «Евтифроне» мы находим первое представление о том, что в наше время называется «элементарной теорией множеств»: «Стыд ведь есть как бы часть страха, подобно тому, как нечетное есть часть числа, однако дело обстоит не так, чтобы там, где было число, было и нечетное; наоборот, где нечетное, там и число»125. Так, если
Платон говорит также о необыкновенных качествах в сфере бесконечного: «Стало быть, любые [члены другого] взаимно другие как множества; они не могут быть взаимно другими как единицы, ибо единого не существует. Любое скопление их беспредельно количественно: даже если кто-нибудь возьмет кажущееся самым малым, то и оно, только что представлявшееся одним, вдруг, как при сновидении, кажется многим и из ничтожно малого превращается в огромное по сравнению с частями, получающимися в результате его дробления» (Парменид. 164d). При этом, конечно, Чернисс прав, когда отмечает, что «в трудах Платона нет последовательной теории бесконечного, как математической, так и физической» (Cherniss. Plato as Mathematician. P. 405). Однако мы и не ожидаем встретить такую «теорию» в трудах Платона.
Евтифрон. 12с.
Числа и числовые соотношения 105
M означает «число» (т. е. все натуральные числа), и U означает «нечетное» (т. е. все нечетные числа), то мы сегодня пишем:
M DU или U СМ
и называем M «множеством», a U «подмножеством». В следующей цитате мы также видим, что у Платона было яркое представление о различных вариантах образования подмножеств: «Если существует вид чего-либо, то он же необходимо будет и частью предмета, видом которого он считается. Часть же вовсе не должна быть необходимо видом»126. Мы выражаем это так: пусть M есть конечное множество, и {U; CM |iE{l,2,3,...,n}}ecTb множество его
подмножеств. Пусть некоторые из этих Ui имеют особенность Е; эти особенные подмножества мы называем U^, и их множество
выглядит как^и^ CM |kE{l,2,3,...,n}}. Тогда каждый U^ является
Ui, но не каждый Uj необходимо является U^.
У Платона также было правильное представление о том, что мы называем сегодня «полной математической индукцией». Ее опреде ление звучит так: допустим, что утверждение Ρ верно для числа 1. Если мы можем доказать, что когда Ρ верно для числа п, то Ρ верно также для числа η + 1, тогда Ρ верно для всех чисел. В «Пармениде» (149а-с) Платон представляет этот принцип следующим образом: Допустим, что у нас есть два числа, друг рядом с другом, тогда между ними мы имеем одно соприкосновение, и если у нас есть η чисел, то очевидно, что мы имеем (п - 1) соприкосновений:
1.23.4·-η
/2-1
Из этого можно сделать общий вывод, «что соприкосновений одним меньше сравнительно с числом членов соединения»127.
Политик. 263Ь. Парменид. 149Ь.