Сущность математических объектов 91
Добавим последнее замечание, призванное сопоставить раз-
98
мышления древних с современными дискуссиями. Михаэль Отте указал на то, что существуют два разных представления о термине «конструировать» и способе его употребления, которые детер минируют понимание существования математических объектов. «Конструировать» у Евклида означает «создавать какую-то фигуру с помощью циркуля и линейки за конечное число шагов с целью подтвердить правильность какого-либо положения». Это чисто вспомогательный способ конструирования: «конструкция» лишь служит для нахождения и утверждения какой-то теории. Таков взгляд Платона и современного математического платонизма. Здесь «объекты» математики — это умопостигаемые и вечно существую щие предметы, свойства которых мы хотим познать. Но «констру ировать» можно и при решении конкретных задач; тогда кон струкция понимается как действие, начинающееся с обнаружения какой-то проблемы и заканчивающееся достижением результата. В этом случае можно использовать любые способы и приспособления, а не только циркуль и линейку. Таков взгляд
Броуэра и конструктивистской математики: «объекты» математики
99
— это проблемы и задачи, которые мы хотим и должны решать .
точку зрения, и почти каждый математик рассматривает связь между математикой и физикой как тесную и жизненно важную, хотя и загадочную. В математике частично присутствует сверхъестественная и прекрасная сила, так что это может быть правдой (в некотором смысле). Математический модернизм уважает связи даже тогда, когда их трудно сформулировать» (Gray. Plato's Ghost. P. 32). В параграфе 4.5 мы чуть более подробнее говорим об этих вопросах.
Otte. Konstruktion und Existenz. S. 169-191.
См. также различие между знанием и деятельностью, которое проводит СМ. Кускова при обсуждении ряда натуральных чисел: «Рассматривая математику как знание, мы принимаем постулат, что "все переходы уже сделаны", и следуем линейным порядком с заданным извне шагом. Но если математика также есть деятельность, нет оснований считать ряд в себе завершенным и метод его прохождения принудительным» (Кускова. Проблема единственности натурального ряда. С. 132).
92 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Согласно точке зрения Платона, математика занимает промежу точное положение, располагаясь ниже философии, но выше тех искусств и навыков, что относятся к видимому и ощущаемому миру. Главкон в диалоге «Государство» описывает ситуацию так:
Мне кажется, ты говоришь о сложных вещах. Однако ты хочешь установить, что бытие и все умопостигаемое при по мощи диалектики можно созерцать яснее, чем то, что рассма тривается с помощью только так называемых наук, которые исходят из предположений. Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка, а не посредством ощущений, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположений, не восходя к первоначалу, то, по-твоему, они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало. Рассудком же ты называешь, помоему, ту способность, которая встречается у занимающихся геометрией и им подобных. Однако это еще не ум, так как рассудок занимает промежуточное положение между мне-
r~ |
~ |
100 |
нием и умом. — Ты выказал полнейшее понимание Аристотель рассматривал позицию Платона следующим образом:
«Платон утверждал, что помимо чувственно воспринимаемого и эйдосов существуют как нечто промежуточное математические предметы, отличающиеся от чувственно воспринимаемых тем, что они вечны и неподвижны, а от эйдосов — тем, что имеется много одинаковых таких предметов, в то время как каждый эйдос сам по себе только один»101.
а) По сравнению с ремесленными и художественными способ ностями и достижениями математика отличается тем, что она дости гает первой ступени абстракции. Да, она еще использует слова и
1°° Государство.511 с-е.
101 Аристотель. Метафизика. А6, 987Ь, 14-17.
Промежуточное положение математики 93
воззрения чувственного мира, однако обращается уже не к кон кретному образцу, а к более высокому умопостигаемому уровню:
Я думаю, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное и последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения... Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном102.
Другими словами, математик использует термины и наглядные вспомогательные средства, принадлежащие обыденной жизни, но следует понимать, что математические объекты — это не чувственные предметы, а идеальные, неизменные и независимые от времени сущности. По этому поводу математик Френкель пишет: «Дла Платона мир математики — это мир независимый, содержащий свои собственные законы, и этот мир выше физики в своем образе бытия. Существование математических вещей, следовательно, не зависит от мышления человека, так же как и от всяких внешних воздействий»103. Одним словом, объекты матема-
Государство. 510с-е.
103«Для Платона мир математики — это самостоятельный мир, несущий в себе свои собственные законы и превосходящий физический своим способом бытия. Существование математических объектов, таким образом, является независимым от человеческой мысли, как, в общем, и от любой внешней деятельности» [«Pour Platon le monde des mathématiques est un monde indépendant, portant en lui-même ses propres lois et supérieur au physique dans sa façon d'être. L'existence des êtres mathématiques est, de ce
94 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
тики — это «вечные идеи» , хотя математик, как правило, не идет дальше уровня абстракции, на котором строятся и доказываются его теоремы.
Математика является областью чистого абстрактного мыш ления, которое располагается где-то между простым мнением и разумным диалектическим познанием. Однако математическое мышление не является полностью «свободным плаванием», поскольку оно связано с эмпирической базой. Говоря современным языком, «профессиональные математики работают со знаковыми системами, имеющими какие-то интерпретации в реальном мире. Идеальное содержание этих интерпретаций представляет собой нечто в высшей степени устойчивое, более устойчивое, чем сам изменчивый мир эмпирических явлений»105.
б) Что касается отношения между математикой и философией, то может возникнуть вопрос, почему математика «обречена» занимать более низкую ступень, чем философия. Современные математики — если они вообще заботятся об отношении их специальности к философии, — безусловно, выразили бы протест по этому поводу. Однако точка зрения Платона, по крайней мере в его эпоху, имела «освобождающую» роль: она позволила выделить свое собственное поле деятельности не только для философов, но и
fait, indépendante de la pensée humaine comme, en général, de toute activité extérieure»] (Fraenkel. Sur la notion d'existence dans les mathématiques. P. 19).
Идеи представляют настоящую действительность; можно сказать, что они «существуют», но мы должны представлять их скорее не как «вещи», а как «силы»: «Я утверждаю теперь, что все, обладающее по своей природе способностью (δύναμιν) либо воздействовать на что-то другое, либо испытывать хоть малейшее воздействие, пусть от чего-то весьма незначительного и только один раз, — все это действительно существует. Я даю такое определение существующего: оно есть не что иное, как способность» (Софист. 247d-e). То, что мы ощущаем, например, прекрас ным, «становится прекрасным благодаря прекрасному» (Федон. ЮОе), т. е. идея прекрасного имеет силу делать какие-то вещи прекрасными.
Кричевец. В какой математике возможны стили математического мыш ления? С. 52.
Промежуточное положение математики 95
для математиков. Таким образом, математика смогла развиваться самостоятельно, не будучи ограниченной какими-либо фило софскими догмами. Очень верно пишет по этому поводу П. Гайденко: «Если бы математика не обрела уже в V в. до н. э. свой собственный предмет исследований, то мы не получили бы такое классическое наследие античной науки, как "Начала" Евклида»106.
Платоновская оценка отношений между математикой и фило софией имеет глубокие причины, которые требуют детального анализа. Одной из них является утверждение Платона о том, что математики используют «рассудок», в отличие от философов, пользующихся «умом» . Другая причина связана с разницей между математическим аксиоматическим методом и философскими исследованиями «первоначала», которая свидетельствует о том, что философы занимаются более высокой областью «умопости гаемого», чем математики . Вот как выразил это различие Карл
Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. С. 6. Однако выделение не значит отделение. Это как раз цель данной работы — указать на неразрывную связь между платоновской философией и основанной на платонизме математикой. Эту связь, опять же, отчетливо показывает Гайденко: «Одной из причин того, что математика стала в Древней Греции теоретической наукой, опирающейся на доказательство, был ее тесный союз с философией. Этот союз определил характер не только древне греческой математики, но и философии, особенно таких ее направлений, как пифагорейство, платонизм, а позднее — неоплатонизм. Не случайно время возникновения философии — конец VI-V вв. до н. э. совпадает с периодом становления теоретической математики» (Там же. С. 16-17).
Государство. 511с—е.
Ср.: Государство. 511а-с — «Вот об этом виде умопостигаемого я тогда и говорил: душа в своем стремлении к нему бывает вынуждена пользоваться предпосылками и потому не восходит к его началу, так как она не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образ ными подобиями, выраженными в низших вещах, особенно в тех, в которых она находит и почитает более отчетливое их выражение. — Я понимаю: ты говоришь о том, что изучают при помощи геометрии и родст венных ей приемов. — Пойми также, что вторым разделом умопостигаемого я называю то, чего наш разум достигает с помощью диалектической способности. Свои предположения он не выдает за нечто